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高一数学必修1知识点总结


高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 B 是同一集合。 ; 任何一个集合是它本身的子集。A?A ①真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A B(或 B A) ②如果 A?B, B?C ,那么 A?C ③如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 2. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 n n-1 ? 有 n 个元素的集合,含有 2 个子集,2 个真子集 二、函数的有关概念 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1; (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么,它的定义域是使各 部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ; ②定义域一致 (两点必须同时具备) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 ; (2)图象法;(3)配方法;(4)换元法 (5)利用函数单调性; (6)分离常数法. 三、函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数:x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2) 减函数:x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2) 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 2 ○ 作差 f(x1)-f(x2); 3 ; ○ 变形(通常是因式分解和配方) 4 ; ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) 5 . ○ 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) (B)图象法(从图象上看升降) (C)规律:增+增=增;减+减=减;增-减=增;减-增=减 复合函数:同增异减 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一 起写成其并集. 2.函数的奇偶性(整体性质) (1)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. (2)利用定义判断函数奇偶性的步骤:

1 ○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2 ○确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函 数. (3)规律:奇+奇=奇;偶+偶=偶;奇·偶=奇;奇·奇=偶;偶·偶=偶. 3.求函数的解析式 1) 换元法或配凑法 2) 待定系数法 3) 消去法 4) 利用函数奇偶性 4.函数最大(小)值 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b, c]上单调递减, 则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b). 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 ? 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。

当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 分数指数幂: a
m n
?

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
m n

a

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 (二)指数函数及其性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 定义域 R 值域 y>0 值域 y>0 在 R 上单调递增 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1) 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ; (2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ;
x

(3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; 二、对数函数 (一)对数 两个重要对数:○ 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 1 2 以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ○ 自然对数: (二)对数的运算性质

log a1 ? 0;log a a ? 1; alog a N ? N 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○ loga (M · N ) ? loga M + loga N ; M 2 ? loga M - loga N ; ○ log a N 3 ○ loga M n ? n loga M (n ? R) .
注意:换底公式

loga b ?

logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ;c ? 0 ,且 c ? 1 ;b ? 0 ) . logc a
1 n (2) loga b ? . log a b ; m logb a
0<a<1
3 2.5 2 1.5

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a m b n ? (三)对数函数 a>1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 定义域 x>0 值域为 R 值域为 R 在 R 上递增 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0) 函数图象都过定点(1,0) 三、幂函数 幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1) ; (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地, 当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右 边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 第三章 函数的应用 1、函数零点的意义:函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数

y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x)
有零点. 2、函数零点的求法: 1 ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; 2 ○ (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f (x) 的图象联系起 来,并利用函数的性质找出零点.


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