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竞赛试题选讲——集合与函数
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. (2006 陕西赛区预赛)a,b 为实数,集合 M ? { ,1}, P ? {a, 0}, f : x ? x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 P 中仍为 x,则 a+b 的值等于 A. -1 B.0 C.1 ( D. ? 1 )

b a

2. (2006 天津)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 ,当 x ? [?1,??) 时, f ( x) ? a 恒成立,则 a 的取值范围是 ( ) A. ? 2 ? a ? 1 B. ? 2 ? a ? 1 C . ? 3 ? a ? ?2 D . ? 3 ? a ? 1 3. (2006 陕西赛区预赛)若关于 x 的方程 ( ) ?
x

3 2

2 ? 3a 有负数根,则实数 a 的取值范围为 5?a
( )

3 4 2 2 3 C. (? ,5) D. ( ? , ) 3 3 4 2 ) ? log 2 x | x | ,则 f ( x) 的解析式是 4. (2006 陕西赛区预赛)若函数 f ( x ) 满足 f ( x? | x |
A. (??, ? ) ? (5, ??) B. (??, ? ) ? (5, ??) ( A. log2 x B. ? log2 x
log3 x

2 3

) )

C. 2

?x

D. x

?2

5. (2006 年江苏)函数 y ? 3

的图象是



A

B

C
2

D

6. (2006 陕西赛区预赛)已知实系数一元二次方程 x ? (1 ? a) x ? a ? b ? 1 ? 0 的两个实根为

b x1 , x2 且 0 ? x1 ? 1, x2 ? 1 则 的取值范围是 a 1 1 1 A. ( ?1, ? ] B. ( ?1, ? ) C. ( ?2, ? ] 2 2 2

( D. ( ?2, ? )



1 2

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7. (2006 年江苏)设 f ? x ? 是定义在 R 上单调递减的奇函数.若 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 , A. f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0 B. f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0 D. f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? 8. (2006 吉林预赛)如果集合 A={y|y=-x2+1,x∈R+},B={y|y=-x+1,x∈R},则 A 与 B 的交集是 ( ) A. (0,1)或(1,1) B.{(0,1),(1,1)} C. {0,1} D. (-∞,1) 1 9. (2006 安徽初赛)已知 lg x 的小数部分为 a,则 lg 2 的小数部分为 ( ) x A. ?2a 的小数部分 B. 1? 2a 的小数部分 C. 2 ? 2a 的小数部分 D.以上都不正确 10. (2006 吉林预赛)若函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是 ( ) A. (0,1) B. (-∞,1) C. (0,+∞) D. (0,0.5) 11. (2006 年南昌市) 设集合 A ? {a2 ? 8 | a ? N}, B ? {b2 ? 29 | b ? N} ,若 A ? B ? P ,则 P 中 元素个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.至少 3 个 12. (2006 年南昌市) 设 f ( x) ? C. f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0

x3 ? x1 ? 0 则





1? x ,记 f1 ? x ? ? f ? x ? ,若 f n?1 ( x) ? f ( f n ( x)),则 f 2006 ( x) ? 1? x
( ) C.

A. x

B.-

1 x

1? x 1? x

D.

x ?1 x ?1


二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
5 ? ?? x ? 11? ? 15 ? x ? 11? ? 5 1. (2006 安徽初赛)已知实数 x、y 满足 ? ,则 x ? y ? 5 ? ?? y ? 4 ? ? 15 ? y ? 4 ? ? ?5

2. (200 6 天津)已知集合 A ? B ? C ? {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 },且 A ? B ? {a1 , a2 },则集合 A 、

B 、 C 所有可能的情况有 500 种. 3. (2006 年南昌市) 设 M ={1,2,…,100}, A 是 M 的子集,且 A 中至少含有一个立方数,则这种 子集 A 的个数是____________. 4. (2006 年江苏) 集合 A ? ? x x ? 3n , n ? N , 0 ? n ? 10? ,B ? ? y y ? 5m, m ? N , 0 ? m ? 6? ,
则集合 A ? B 的所有元素之和为
2


?

5. (2006 年南昌市)若曲线 y ?| x ? 2 | 与直线 y ? 3x ? k 恰有三个公共点,则 k 的值为___ 6 .( 2006 年 上 海 ) 已 知 函 数 f : R → R 满 足 : 对 任 意 x, y ? R
?

,都有

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?1 1 ? f ( x) f ( y) ? f ( xy) ? 2006 ? ? ? 2005 ? ,则所有满足条件的函数 f 为 ?x y ?



7. (2006 年上海)对于任意实数 a,b,不等式 max a ? b , a ? b , 2006 ? b ? C 恒成立, 则常数 C 的最大值是
2

?

?

. (注: max ? x, y, z ? 表示 x,y,z 中的最大者. ) .

8. (2006 年上海) 设 f ( x) ? x ? ax ? b cos x , ? x f ( x) ? 0, x ? R? ? ? x f ( f ( x)) ? 0, x ? R? ? ? , 则满足条件的所有实数 a,b 的值分别为 三、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 1. (2006 年江苏)设集合 A ? ? x log 1 ? 3 ? x ? ? ?2 ? , B ? ? x

? ? ? ?

? ? ? ?

?

2

2a ? ? 1? .若 A ? B ? ? , ? x?a ?

求实数 a 的取值范围.

2.(集训试题)已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx2, (1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明:a≤2 b ; (2)当 b>1 时,证明:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 b ; (3)当 0<b≤1 时,讨论:对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件。

3.(06 重庆卷) 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f

? f ( x) ? x

2

? x ? ? f ( x) ? x 2 ? x.

(I)若 f (2) ? 3 ,求 f (1) ;又若 f (0) ? a ,求 f ( a ) ; (II)设有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,求函数 f ( x ) 的解析表达式.

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参考答案
一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) CDDBA ADBDD DCB 二、 填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.15; 2.500; 3. 2
100

? 296 ;

4. 225 ; 5.无解;

6. f ( x ) ?

8. 0 ? a ? 4 ,b=0; 三、 解答题(每小题 20 分,共 60 分) 1 . 解 : A ? x ?1 ? x ? 3

1 ? 2006 ; 7.1003; x

?

?

, B ? x ? x ? a ?? x ? 3a ? ? 0

?

?

. 当 a?0 时 ,

B ? ? x 0 ? a ? x ? 3a? , 由

A? B ? ? 得 0 ? a ? 3 ; 当 a ? 0 时 ,

B ? ? x 3a ? x ? a ? 0? ,由 A ? B ? ? 得 a ? ?1 ;当 a ? 0 时, B ? x x 2 ? 0 ? ? ,
与 A ? B ? ? 不符.综上所说, a ?? ?1,0? ? ? 0,3? . 2.解: (1)证:依题设,对任意 x∈R,都有 f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-

?

?

a 2 a2 a a2 )+ ,∴f( )= 2b 2 b 4b 4b

≤1,∵a>0, b>0, ∴a≤2 b 。 (2)证: (必要性) ,对任意 x∈[0, 1],|f(x)|≤1 ? -1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即 a-b≥-1, ∴a≥b-1。 对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 ? f(x)≤1, 因为 b>1, 可推出 f(

1 b

)≤1。 即 a·

1 b

-

≤1,∴a≤2 b ,所以 b-1≤a≤2 b 。 (充分性) :因 b>1, a≥b-1,对任意 x∈[0, 1],可以推出:ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x ≥-1,即:ax-bx2≥-1;因为 b>1,a≤2 b ,对任意 x∈[0, 1],可推出 ax-bx2≤2 b -bx2 ≤1,即 ax-bx2≤1,∴-1≤f(x)≤1。 综上,当 b>1 时,对任意 x∈[0, 1], |f(x)|≤1 的充要条件是:b-1≤a≤2 b 。 (3)解:因为 a>0, 0<b≤1 时,对任意 x∈[0, 1]。 f(x)=ax-bx2≥-b≥-1,即 f(x)≥-1; f(x)≤1 ? f(1)≤1 ? a-b≤1,即 a≤b+1;a≤b+1 ? f(x)≤(b+1)x-bx2≤1,即 f(x)≤1。 所以,当 a>0, 0<b≤1 时,对任意 x∈[0, 1],|f(x)|≤1 的充要条件是:a≤b+1. 3. 解:(I)因为对任意x ? R,有f(f(x)-x2 ? x) ? f ( x) ? x 2 ? x
所以f(f(2)-22 ? 2) ? f (2) ? 22 ? 2 又由f(2)=3,得f(3-22 ? 2) ? 3 ? 22 ? 2, 即f (1) ? 1 若f(0)=a,则f(a ? 02 ? 0) ? a ? 02 ? 0, 即f ( a) ? a

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(II)因为对任意x ? R,有f ( f ( x) ? x 2 ? x) ? f ( x) ? x 2 ? x. 又因为有且只有一个实数x0,使得f ( x0 ) ? x0 所以对任意x ? R, 有f ( x) ? x 2 ? x ? x0
2 在上式中令x ? x0,有f ( x0 ) ? x0 ? x0 ? x0 2 又因为f ( x0 ) ? x0,所以x0 ? x0 ? 0,故x0 =0或x0 =1

若x0 =0,则f ( x) ? x 2 ? x ? 0,即f ( x) ? x 2 ? x 但方程x 2 ? x ? x有两个不相同实根,与题设条件矛盾。故x0 ? 0 若x0 =1,则有f ( x) ? x 2 ? x ? 1, 即f ( x) ? x 2 ? x ? 1.易验证该函数满足题设条件。 综上,所求函数为f ( x) ? x 2 ? x ? 1 (x ? R)

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竞赛试题选讲之
1. (06 北卷)已知 f ( x) ? ? 围是 A.(1,+ ? ) B.(- ? ,3)

《集合与函数练习》

1, ?(3 ? a) x ? 4 a, x< 是(- ? ,+ ? )上的增函数,那么 a 的取值范 ?log a x, x ? 1
( )

3 C.[ ,3] 5

D.(1 ,3) ( )

19 2.(06 全国 II)函数 f(x)= ?|x-n|的最小值为 i=1 A.190 B.171 C.90 D.45 3.(山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 A.-1 B.0 C.1 D.2





4.(06 天津卷)已知函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象关于直线

1 y ? x 对称, 记 g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? 2 f (2) ? 1] . 若 y ? g ( x) 在区间 [ , 2 ] 上是增函数, 2
则实数 a 的取值范围是 A. [2,??) B. (0,1) ? (1,2) C. [ ,1) ( )

1 1 D. (0, ] 2 2 x x 2 5. (06 天津卷) 如果函数 f ( x) ? a (a ? 3a ?1)(a ? 0且a ? 1) 在区间 ?0 ,∞ ? ? 上是增函数,
那么实数 a 的取值范围是 A. ? 0, ? ( )

? ?

2? 3?

B. ?

? 3 ? , 1? ? ? 3 ?

,3 ? C. 1 ?

?

D. ? , ? ∞?

?3 ?2

? ?

?a , a ? b 6.(06 浙江卷)对 a,b ? R,记 max{a,b}= ? ,函数 f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x ? R)的最小 ?b, a<b 值是 ( )
AB0 B.

1 2

C.

3 2

D.3

7. ( 2006 安徽初赛)若关于 x 的方程 1 ? x2 ? kx ? 2 恰有一个实根,则 k 的取值范围 是 . 8. (2006 陕西赛区预赛)设 f ( x ) 是以 2 为周期的奇函数,且 f ( ? ) ? 3 ,若 sin ? ?

f (4cos 2? ) 的值

2 5

5 则 5

.

9. (2006 吉林预赛)已知函数 f ( x) ? log1 x ,设 x ?
2

a b c ,y? ,z ? ,其中 f (a) f (b) f (c )
.

0<c<b<a<1,那么 x、y、z 的大小顺序为

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10. (2006 吉林预赛)若关于 x 的方程 1 ? x 2 ? log2 ( x ? a) 有正数解,则实数 a 的取值范围 为______. 11.(集训试题)对每一实数对(x, y),函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若 f(-2)=-2,试求 满足 f(a)=a 的所有整数 a=_________. 12.(集训试题)设 n 是正整数,集合 M={1,2,…,2n}.求最小的正整数 k,使得对于 M 的 任何一个 k 元子集,其中必有 4 个互不相同的元素之和等于 13.(集训试题).若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________. 14 . (06 重 庆 卷 ) 设 a ? 0, a ? 1 , 函 数 f ( x) ? al gx( ?
2

x? 2

3 ) 有 最大值,则不等式

log a ? x 2 ? 5 x ? 7 ? ? 0 的解集为



15 . ( 2006 陕 西 赛 区 预 赛 ) (20 分 ) 设 P( x ? a, y1 )、Q( x, y2 )、r (2 ? a, y3 ) 是 函 数
x 的反函数图象上三个不同点,且满足 y1 ? y3 ? 2 y2 的实数 x 有且只有一 f ( x)? 2 ? a

个,试求实数 a 的取值范围.

16.(06 重庆卷)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

?2 x ? b 是奇函数。 (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ) 2 x ?1 ? a 2 2 若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;

17. (200 6 天津)已知 ? 、 ? 是关于 x 的二次方程 2 x ? tx ? 2 ? 0 的两个根,且 ? ? ? ,
2

若函数 f ( x ) ?

4x ? t f (? ) ? f ( ? ) . (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)对任意的正数 x1 、 x2 ,求证: 2 x ?1 ??? x ? ? x2 ? x ? ? x2? | f( 1 )?( 1 ) |? 2 | ? ? ? | . x1 ? x2 x1 ? x2

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竞赛试题选讲之《集合与函数练习》答案
1.解:依题意,有 a?1 且 3-a?0,解得 1?a?3,又当 x?1 时, (3-a)x-4a?3-5a,当 x?1 时,logax?0,所以 3-5a?0 解得 a? 2. 解析: f ( x) ?
19

3 ,所以 1?a?3 故选 D 5

? x ? n ? x ?1 ? x ? 2 ? x ? 3 ?? ? x ?19 表示数轴上一点到 1,2,3…19
n ?1

的距离之和,可知 x 在 1—19 最中间时 f(x)取最小值.即 x=10 时 f(x)有最小值 90,故选 C 本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义 ,难度稍大,且求和符号不在高中要求范 围内,只在线性回归中简单提到过. 3.解:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,又 f(x+4)=-f(x+2)=f (x) ,故函数,f(x)的周期为 4,所以 f(6)=f(2)=-f(0)=0,选 B 4.解析:已知函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) ? loga x ,记 g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? f (2) ?1] = (loga x)2 ? (loga 2 ?1)loga x . 当 a>1 时,若 y ? g ( x) 在区间 [ , 2 ] 上是增函数, y ? log a x 为增函数,令 t ? loga x ,t

log a 2 ? 1 1 1 ≤ log a ,矛盾;当 0<a<1 时, , loga 2 ], 要求对称轴 ? 若 y ? g ( x) 2 2 2 1 1 在区间 [ , 2 ] 上是增函数, y ? loga x 为减函数,令 t ? loga x ,t∈[ log a 2 , log a ],要 2 2 log a 2 ? 1 1 1 1 ≥ log a ,解得 a ≤ ,所以实数 a 的取值范围是 (0, ] ,选 D. 求对称轴 ? 2 2 2 2 x x x 2 5.解析:函数 y ? a (a ? 3a ?1)(a ? 0 且 a ? 1) 可以看作是关于 a 的二次函数,若 a>1,
∈[ log a

1 2

3a 2 ? 1 ≤0,矛盾; 2 x x 若 0<a<1,则 y ? a 是减函数,原函数在区间 [0, ??) 上是增函数,则要求当 t ? a (0<t<1)
则 y ? a x 是增函数,原函数在区间 [0, ??) 上是增函数,则要求对称轴 时, y ? t 2 ? (3a 2 ? 1)t 在 t∈(0,1)上为减函数,即对称轴 数 a 的取值范围是 [

1 3a 2 ? 1 2 ≥1,∴ a ≥ ,∴实 3 2

3 ,1) ,选 B. 3
1 时,|x+1|=x+1,|x-2|=2-x,因为(x+1)-(2-x) 2

6.解:当 x?-1 时,|x+1|=-x-1,|x-2|=2-x,因为(-x-1)-(2-x)=-3?0, 所以 2-x?-x-1;当-1?x? =2x-1?0,x+1?2-x;当 -2,显然 x+1?x-2;

1 ?x?2 时,x+1?2-x;当 x?2 时,|x+1|=x+1,|x-2|=x 2

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?2 ? x( x ? (??, ?1) ? ?2 ? x( x ? [?1, 1 )) ? 2 据此求得最小值为 3 。选 C 故 f ( x) ? ? 2 ? x ? 1( x ? [ 1 , 2)) ? 2 ? x ? 1( x ? [2, ??)) ?

8。-3

11.1 或-2; 解:令 x=y=0 得 f(0)=-1;令 x=y=-1,由 f(-2)=-2 得,f(-1)=-2,又令 x=1, y=-1 可得 f(1)=1,再令 x=1,得 f(y+1)=f(y)+y+2 ①,所以 f(y+1)-f(y)=y+2, 即 y 为正整数时, f(y+1)-f(y)>0, 由 f(1)=1 可知对一切正整数 y, f(y)>0, * 因此 y∈N 时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1,即对一切大于 1 的正整数 t,恒有 f(t)>t,由①得 f(-3)=-1, f(-4)=1。 下面证明:当整数 t≤-4 时,f(t)>0,因 t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0, 即 f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,……,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0 相加得:f(t)-f(-4)>0,因为:t≤4, 故 f(t)>t。综上所述:满足 f(t)=t 的整数只有 t=1 或 t=2。 12.解:考虑 M 的 n+2 元子集 P={n-l,n,n+1,…,2n}.P 中任何 4 个不同元素之和不小 于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2, 所以 k≥n+3. 将 M 的元配为 n 对, Bi=(i, 2n+1-i), 1≤i≤n. 对 M 的任一 n+3 元子集 A,必有三对 Bi1 , Bi2 , Bi3 同属于 A(i1、i 2、i 3 两两不同).又将 M 的 元配为 n-1 对,C i (i,2n-i),1≤i≤n-1.对 M 的任一 n+3 元子集 A,必有一对 Ci4 同属于 A,这一对 Ci4 必与 Bi1 , Bi2 , Bi3 中至少一个无公共元素,这 4 个元素互不相同,且和为 2n+1+2n=4n+1,最小的正整数 k=n+310.

?x ? 2 y ? 0 ?x ? 2 | y | ? ?? 2 13.解: ? x ? 2 y ? 0 2 ?( x ? 2 y )(x ? 2 y ) ? 4 ? x ? 4 y ? 4 ?

3

由对称性只考虑 y≥0,因为 x>0,∴只须求 x-y 的最小值,令 x-y=u,代入 x2-4y2=4,有 3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于 y 的二次方程显然有实根,故△=16(u2-3)≥0。 14.解析:设 a ? 0, a ? 1 ,函数 f ( x) ? alg( x
2

?2 x?3)

有最大值,∵ lg( x ? 2 x ? 3) ≥ lg 2 有最
2

2 小值, ∴ 0<a<1, 则不等式 log a x ? 5 x ? 7 ? 0 的解为 ?

?

?

? x2 ? 5x ? 7 ? 0
2 ? x ? 5x ? 7 ? 1

, 解得 2<x<3,

1 或a ? 0) 2 b ?1 1 ?2 x ? 0 ? b ?1 ? f( x ) ? 16.解析: (Ⅰ)因为 f ( x ) 是奇函数,所以 f (0) =0,即 a?2 a ? 2 x ?1 1 1? 1? 2 又由 f(1)= -f(-1)知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1 x 1? 2 1 1 ?? ? x (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知 f ( x) ? ,易知 f ( x ) 在 (??, ??) 上 x ?1 2?2 2 2 ?1
所以不等式的解集为 ? 2,3? . 15. (a ? ?

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f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) ,因 f ( x ) 为减函数,由上式推得: t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .即对一切 t ? R 有: 3t 2 ? 2t ? k ? 0 , 1 从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 3 1 ? 2x 解 法 二 : 由 ( Ⅰ ) 知 f ( x) ? . 又 由 题 设 条 件 得 : 2 ? 2 x ?1 2 2 1 ? 2t ?2t 1 ? 22 t ? k ? ? 0, 2 2 2 ? 2t ?2t ?1 2 ? 22t ? k ?1 2 2 2 2 即 : (22t ?k ?1 ? 2)(1 ? 2t ?2t ) ? (2t ?2t ?1 ? 2)(1 ? 22t ?k ) ? 0 ,
为减函数. 又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式: 整理得

23t

2

?2t ?k

? 1,因底数2>1,故: 3t 2 ? 2t ? k ? 0
1 3

上式对一切 t ? R 均成立,从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 17. 【解】 (Ⅰ)由书籍,根据韦达定理得有 ? ? ? ?

4? ? t 4? ? 2(? ? ? ) 2 ? ? ? ?2 ? ? ? 2 ?1 ? 2 ? ?? 4 ? ? t 4 ? ? 2(? ? ? ) 2 f (? ) ? 2 ? ? ? ?2? , ? ? ?1 ? 2 ? ?? f (? ) ? f ( ? ) ? 2 ? ? 2? ? ? 2 ………………………………………5 分 ∴ ??? ??? f (? ) ?
(Ⅱ)已知函数 f ( x ) ?

t , ? ? ? ? ?1 2



4x ? t ? 2(2 x 2 ? tx ? 2) ? ,∴ f ( x ) ? x2 ?1 ( x 2 ? 1) 2

而且对 x ? [? , ? ] , 2 x 2 ? tx ? 2 ? 2( x ? ? )(x ? ? ) ? 0 ,于是 f ?( x) ? 0 ,

4x ? t 在 [? , ? ] 上是增函数 ………………………………10 分 x2 ?1 注意到对于任意的正数 x1 、 x2 x1? ? x2 ? x (? ? ? ) x ? ? x2 ? x (? ? ? ) ?? ? 2 ? 0, 1 ?? ? 1 ?0 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x ? ? x2 ? x ? ? x2? 即? ? 1 ………………………15 分 ? ? ,同理 ? ? 1 ??. x1 ? x2 x1 ? x2 x ? ? x2 ? x ? ? x2? ∴ f (? ) ? f ( 1 ) ? f ( ? ) , f (? ) ? f ( 1 ) ? f (? ) , x1 ? x2 x1 ? x2 x ? ? x2? ? f (? ) ? ? f ( 1 ) ? ? f (? ) . x1 ? x2
∴函数 f ( x ) ?

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x1? ? x2 ? x ? ? x2? )? f( 1 ) ? f ( ? ) ? f (? ) , x1 ? x2 x1 ? x2 x ? ? x2 ? x ? ? x2? ∴| f ( 1 )? f( 1 ) |? f ( ? ) ? f (? ) . x1 ? x2 x1 ? x2 而 f ( ? ) ? f (? ) ? 2? ? 2? ? 2 | ? ? ? | , x ? ? x2 ? x ? ? x2? ∴| f ( 1 ………………………20 分 )?( 1 ) |? 2 | ? ? ? | . x1 ? x2 x1 ? x2
于是 ? [ f ( ? ) ? f (? )] ? f (


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