当前位置:首页 >> 数学 >>

【精排】轮换对称性在中学数学中的应用


轮换对称性在中学数学中的应用
【摘要】数学的对称美使我们在解题中更简便,更有效.在解题时,可以根据问题的特点去 发掘潜在的对称关系或构造某种对称性, 使问题得到巧妙快捷的解决, 数学中绚丽多彩的对 称美,给我们提供了种种奇妙的解法,同时也给我们带来美的享受.在数学学习中要有 意识地利用数学问题的对称性特征,去考察数学对象、思考数学问题,形成数学思维的对称方 法和解题策略

.

当前,不少同学认为数学就是一堆呆板的公式和复杂的图形,这是没 有真正理解数学的精彩、美妙和趣味.其实数学也是一种美学.“哪里 有数学,哪里就有美”.例如数学中的对称性, 不仅具有美感,而且具有应用价值.所谓对称美是指某一事物或对象 的两个部分的对等性,给人以美的感受。在数学学习中要有意识地利 用数学问题的对称性特征,去考察数学对象、 思考数学问题,形成数学 思维的对称方法和解题策略.轮换对称的概念在数学中有着广泛而重 要的应用,如果在求解问题的过程中注意到轮换对称性,并且恰当地 利用轮换对称性,则可以减少一些繁琐的计算,化难为易,提高解题 效率,达到事半功倍的效果.

1、轮换对称性的相关定义与性质 轮换对称性的相关定义与性质如下: 定义 1.1[1] 如果把一个代数式中的字母按照某个秩序排列,然后依 次把第一个字母换成第二个字母,把第二个字母换成第三个字 母,……,把最后一个字母换成第一个字母,我们称这种变换字母的

方法叫做轮换. 定义 1.2[1] 如果把一个代数式中的字母对调, 所得的代数式和原来 的代数式恒等,那么,就说原来的代数式关于这些字母对称,原来的 代数式就是关于这些字母的对称式. 定义 1.3[2] 如果一个函数 f(x1,x2)=f(x2,x1),则称该函数是对称 函数. 定义 1.4[1] 如果通过轮换后所得的代数式与原来的代数式恒等, 那 么,就把原来的代数式叫做关于这些字母的轮换对称式. 定义 1.5[1] 如果轮换对称式中各项的次数相等,那么,就把这样的 代数式叫做齐次轮换对称式. 性质 1 1[1] 轮换对称式的和、差、积、商也是轮换对称式. 性质 1.2[1] 齐次轮换对称式的和、 差、 积、 商也是齐次轮换对称式.

2、轮换对称性的应用举例 2.1.1 轮换对称性在因式分解中的应用 由轮换对称式的性质可知,当一个轮换对称式有某个因式时,它一定 还有关于这个因式中的变数的轮换对称式.根据这个性质,再利用因 式定理和待定系数法,可以比较简便地把一个轮换对称式因式分解. 例 2.1[1] 设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,且 则△ABC 的形状是_____三角形? 分析因为已知等式是关于 a、b、c 的轮换对称式,可考虑
a ?b b?c c ?a ? ? =0 1 ? ab 1 ? bc 1 ? ac

先去分母,再通过分解因式来确定 a、b、c 的关系.解将原式去分母, 并设其为 f,得 f =(a-b)(1+bc)(1+ca)+(b-c)(1+ab)(1+ca)+(c-a)(1+bc)(1+ab)=a(b2 –c2)+b(c2–a2)+c(a2–b2)=0. 当 a=b 时,f=0,由因式定理知 f 有因式 a-b.又 f 是关于 a、b、c 的轮 换对称式,由性质知,f 还有因式 b-c 和 c-a.于是,f 有因式 g=(a-b)(b-c)(c–a) 由于 f 和 g 都是三次齐次轮换对称式,故 f 和 g 之间只差 一个非零常数因子,即 f=k(a-b)(b-c)(c–a)=0 由此可知,a-b、b-c、c-a 中至少有一个等于 0,即 a、b、c 中至少有 两个相等,则三角形至少有两条边相等.所以,三角形是等腰三角形.

2.1.2 轮换对称性在恒等式证明中的应用 例 2.2[1] 设 a、b 是方程 x2-3x+1=0 的两个根,c、d 是方程 x2-4x+2=0 的两个根.已知
a b c d ? ? ? ? B 求证: b?c?d a?c?d a?b?d a?b?c

a2 b2 c2 d2 ? ? ? ? 7B ? 7 b?c?d a?c?d a?b?d a?b?c

证明 由韦达定理得 a+b=3,ab=1,c+d=4,cd=2. 则 a+b+c+d=3+4=7. 又 a2+b2=(a+b)2-2ab=7 c2+d2=(c+d)2-2cd=12

∴a

2

+b2+c2+d2=19.

a2 a 2 ? 7 a ? 7 a 7 a ? a (7 ? a ) 7a ? ? ? ?a b?c?d b?c?d b?c?d b?c?d

由于上式关于 a、b、c、d 轮换对称,同理可得:
b2 7b c2 7c d2 7d ? ?b; ? ?c ; ? ?d a ?c?d a ?c?d a?b?d a?b?d a ?c?b a ?c?b


c2 d2 a2 b2 + + + = b?c?d a?c?d a?b?d a?c?b
7( a b c d ? ? ? ) ? (a ? b ? c ? d) ? 7 B ? 7 b?c?d a?c?d a?b?d a?b?c

2.1.3 轮换对称性在不等式中的应用 例 2.3 已知 x 、 y 、 z 为正实数,求 证: x 2 ? xy ? y 2 ? y 2 ? yz ? z 2 ? z 2 ? zx ? x 2 ≥ 3 (x+y+z) 解 这是道轮换对称不等式,原命题?
2 x 2 ? xy ? y 2 ? 2 y 2 ? yz ? z 2 ? 2 z 2 ? zx ? x 2 ≥ 3 [(x+y)+(y+z)+(z+x)]

又 x2+y2≥2xy? 4(x2+xy+y2)≥3(x2+2xy+y2)? 4(x2+xy+y2)≥3(x+y)2 且 x,y∈R+?
2 x 2 ? xy ? y 2 ≥ 3 (x+y);

2 y 2 ? yz ? z 2 ≥ 3 (y+z);

2 z2 ? zx ? x2 ≥ 3 (x+z).

所以原命题为真.

2.1.4 利用轮换对称性求最值 在高考或竞赛的选择、 填空题中,常会遇到一类求最值问题,这类问题 的特征是条件式与待求式都是轮换对称式即所给式中的字母 x 、 y 、 z … 能依次轮换,相互代替,而结果不变,则关于 x 、y、z … 的代数式的最大(小)值,一定是在 x = y = z = ??? 时的值.运用此 性质,能有效、迅速求解此类题,从而赢得宝贵的时间. 例 2.5[4] 已知 P(x,y)是曲线 C:4x2-5xy+4y2=5 上一动点.设 S=x2+y2,则
1 1 ? =______. S max S min

解析 依据 x、y 的轮换对称性,可得仅当 x=y,即 x2=y2 时,S 取得最大 或最小值,于是 S=2x2. 由条件 4x2-5xy+4y2=5 分析可知,当 x=y 时,x2= 最大;当 x=-y
8 10 10 5 时,x = 最小.所以 Smax= ,Smin= .故原式的值是 5 . 13 3 13
2

5 3

2.1.5 轮换对称多项式的乘法 例 2.6 计算(x+y+z)(xy+yz+zx). 分析 因为原式中的两个因式都是关于 x 、 y 、 z 的轮换对称式, 由性质 1 知,其积也是关于 x、y、z 的轮换对称式,于是,只要把第 一个因式的第一个字母乘以第二个因式,然后,按照轮换对称的规律 写出其余各项即可

解 由于 x(xy+yz+zx)=x2y+xyz+zx2.又因为原式为 x、y、z 的轮换对 称式, ∴原式=x2y+xyz+zx2+y2z+yzx+xy2+z2x+zxy+yz2 =x2y+zx2+y2z+xy2+z2x+yz2+3xyz

3、结语 以上的例子让我们见识了轮换对称性的应用是如此的广泛, 数学的对 称美使我们在解题中更简便,更有效.在解题时,可以根据问题的特 点去发掘潜在的对称关系或构造某种对称性, 使问题得到巧妙快捷的 解决,数学中绚丽多彩的对称美,给我们提供了种种奇妙的解法,同 时也给我们带来美的享受.


相关文章:
【精排】轮换对称性在中学数学中的应用
【精排】轮换对称性在中学数学中的应用_数学_高中教育_教育专区。呕心沥血之作适合高中学生们 轮换对称性在中学数学中的应用【摘要】数学的对称美使我们在解题中更...
对称性及其在解题中的应用
对称性及其在解题中的应用孙成成,数学计算机科学学院 摘要:对称性问题在各个领域中都涉及很多,尤其在数学领域中涉及较为显著, 重视对称性的应用不仅能增强解题技巧,...
对称性在解题中的应用
对称性在解题中的应用_高考_高中教育_教育专区。高考应试对称性思想在解题中的妙用天津市滨海新区汉沽第一中学 (300480) 史玉林 在自然界和自然科学中, 和谐的对...
对称性在中学数学解题中的应用_1933
对称性在中学数学解题中的应用_1933_初二数学_数学_初中教育_教育专区。【对称性在中学数学解题中的应用】 摘要:在数学解题方面,充分发掘和利用题目中的对称性,可...
对称性在积分中的应用
对称性在积分中的应用_数学_自然科学_专业资料。主要...区域对称的定义 (二)函数对称性定义 (三)轮换对称...
对称性在积分计算中应用
对称性在积分计算中应用_数学_自然科学_专业资料。毕业...(2):69—70 张云艳. 轮换对称性在积分计算中的...2014教师资格中学教育知...1/2 相关文档推荐 ...
对称性在积分学中的应用
对称性在积分学中的应用_理学_高等教育_教育专区。...数学与计算机学院 数学应用数学 指导教师: 教务处...[8] 陈云新.轮换对称性在积分中的应用.高等数学...
对称性的应用
2 对称性在初中数学中的运用 初中数学解题中图形的对称性的灵活运用 2.1 初中数学解题中图形的对称性的灵活运用在初中数学的解题中,特别是解答几何题的时候,对称...
对称性在积分计算中的应用
对称性在积分计算中的应用_数学_自然科学_专业资料。...的对称性和被积函数的奇偶性,以及轮换对称性可以简...
更多相关标签:
轮换对称性 | 二重积分轮换对称性 | 二重积分的轮换对称性 | 轮换对称性使用条件 | 混合积的轮换对称性 | 三重积分轮换对称性 | 三重积分的轮换对称性 | 积分轮换对称性 |