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高一数学集合知识点总结


第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这 个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归

入一个集合时, 仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的 元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ ? } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。 注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a ∈A ,相反,a 不属于集合 A 记作 a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条 件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式 x-3>2 的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集 含有有限个元素的集合 2.无限集 含有无限个元素的集合 3.空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2. “相等”关系(5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果 AíB,且 A1 B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A) ③如果 AíB, BíC ,那么 AíC

④ 如果 AíB 同时 BíA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ = φ , A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ = A ,A∪B = B∪A 4、全集与补集 (1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ) ,由 S 中所有不属于 A 的元素组成 的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) 记作: CSA 即 CSA ={x | x?S 且 x?A} S CsA A (2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一 个全集。通常用 U 来表示。 (3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中 的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函 数的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:2 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这 个式子有意义的实数的集合;3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域, 求函数的定义域时列不等式组的主要 依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必 须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通 过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指 数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意: (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关 系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为 同一函数) (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量 和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时 具备) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其 定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是

求解复杂函数值域的基础。 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标 的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有 一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法 A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标 系内描出相应的点 P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。 发现解题中的错误。 4.快去了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 5.什么叫做映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的 任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A B 为从集 合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对应法则 f 是确定 的;②对应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系 一般是不同的;③对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集 合 B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是 同一个; (Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形 是否是函数图象的依据; 2 解析法: 必须注明函数的定义域; 3 图象法: 描点法作图要注意: 确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法:选取的自变量要有代 表性,应能反映定义域的特征. 注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值 补充一:分段函数 (参见课本 P24-25) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值时必须把自变 量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程, 而就写函数值几种不同 的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况. (1)分段函数 是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值 域是各段值域的并集. 补充二:复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)

7.函数单调性 (1) .增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2, 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调 增区间(睇清楚课本单调区间的概念) 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就 说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) 。 (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;2 作差 f(x1)-f(x2);3 变形(通常是因式分解和配方) ;4 定 号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ;5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下: 函数 单调性 u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f[g(x)] 增 减 减 增 注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写 成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗? 8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地, 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=—f(x), 那么 f(x)就叫做奇函数.

注意:1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函 数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2 由函数的奇偶性定义可知, 函数具有奇偶性的一个必要条件是, 对于定义域内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是 否关于原点对称;2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)- f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意啊: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 首先看函数的定义域是否 关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理, 或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出 它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析 式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意 元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解 方程组消参的方法求出 f(x) 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 利用图象求函数的最大(小) 值 3 利用函数单调性的判断函数的最大 (小) 值: 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递增, 在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b] 上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根(n th root) ,其中 >1,且 ∈ *. 当 是奇数时,正数的 次方根是一个正数,负数的 次方根是一个负数.此时, 的 次方根 用符号 表示.式子 叫做根式(radical) ,这里 叫做根指数(radical exponent) , 叫做被开 方数(radicand) . 当 是偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 的正的 次方根用 符号 表示,负的 次方根用符号- 表示.正的 次方根与负的 次方根可以合并成± ( >0) .由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 。 注意:当 是奇数时, ,当 是偶数时, 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整 数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.实数指数幂的运算性质 (1) · ; (2) ;

(3) . (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数(exponential ) ,其中 x 是自变量,函数 的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象特征 函数性质 向 x、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+ 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 自左向右看, 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快; 函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢; 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, 值域是 或 ; (2)若 ,则 ; 取遍所有正数当且仅当 ; (3)对于指数函数 ,总有 ; (4)当 时,若 ,则 ; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 ,那么数 叫做以 为底 的对数,记作: ( — 底数, — 真 数, — 对数式) 说明:1 注意底数的限制 ,且 ; 2 3 注意对数的书写格式.

两个重要对数: 1 常用对数:以 10 为底的对数 ; 2 自然对数:以无理数 为底的对数的对数 . 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 对数底数 ← → 幂底数 对数 ← → 指数 真数 ← → 幂 (二)对数的运算性质 如果 ,且 , , ,那么: 1 · + ; 2 - ; 3 . 注意:换底公式 ( ,且 ; ,且 ; ) . 利用换底公式推导下面的结论(1) ; (2) . (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 ,且 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义域是(0,+ ∞) . 注意:1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 如: , 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 2 对数函数对底数的限制: ,且 . 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1 图象特征 函数性质 函数图象都在 y 轴右侧 函数的定义域为(0,+∞) 图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 向 y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为 R 函数图象都过定点(1,0) 自左向右看, 图象逐渐上升 自左向右看, 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于 0 第一象限的图象纵坐标都大于 0 第二象限的图象纵坐标都小于 0

第二象限的图象纵坐标都小于 0 (三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数.特别地,当 时,幂函数的图 象下凸;当 时,幂函数的图象上凸; (3) 时,幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内,当 从右边趋向原点时,图象 在 轴右方无限地逼近 轴正半轴,当 趋于 时,图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴. 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 ,把使 成立的实数 叫做函数 的零点。 2、 函数零点的意义: 函数 的零点就是方程 实数根, 亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。 即: 方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点. 3、函数零点的求法: 求函数 的零点: 1 (代数法)求方程 的实数根; 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数 的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 . 1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点. 2)△=0,方程 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有 一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点.


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