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物理竞赛模拟卷第一套


物理测试 1 第一题:

如左图,角度为θ,一段匀质绳对称地搭在两斜面间。摩擦系数为 1。试问:最大可有多少绳段处于 悬空状态。

第二题:

第三题:

1

第四题:

(a)求 A 刚与棒碰撞后系统的总动能。 (b)求棒上端点 C 的速度 v 与 h 的函数关系。 (c)求 H 使得 v(H) = 0。
(d) 假设另一质量为 m 的质点 B 的位置与棒顶端 C 的左边非常接近, 如图 2b 所示。 再设点 A 撞到棒的下 端。 求棒与质点 B 产生完全弹性碰撞后, 质点 B 的速度。

第五题:

引力透镜仿真镜:大质量物体附近的引力场会对经过的光线产生类似透镜的作用 , 称为引力透镜效 应。 这里我们考虑以有机玻璃制造一个光学透镜以仿真引力透镜现象根据广义相对论, 当一束光线 经过一个拥有球对称、质量为 的物体时,会产生屈折。当屈折角度很小,而光线与物体中心最靠近距 离为 r 时,该角度可由下面的公式得出 真镜以下式中的角度屈折光线 在上式中 为引力常数, 为光速。 因此我们要求仿

。在上式中 是某个常数。

图一所示为仿真镜的横截面。仿真镜为观察者手举而设计,设计距离为大约一呎到手臂长度。观察对象位于图
中仿真镜左边远大于一米处。 因此我们可以假设入射光是垂直于仿真镜的前平面, 而折射仅发生于仿真镜的后表面。 以 表示入射光与后表面法线的夹角, 表示折射角度, 表示屈折角度 。以上角度皆假设为小角度。仿真

镜的折射系数是 n

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(a)试推导透镜后折射面的斜率 dx/dr,答案以

和 n 表达。
1

(b)试推导透镜后折射面的表达式 x(r)。答案以 n、R 和 r 表达。 (c)考虑一束入射参数 r 为 2 cm 的光线。 如果要求该光线在离开透镜后于水平距离 30 cm 处与透镜中轴相交, 则 R 应取何值? (d)计算透镜的有效引力质量

第六题:

第七题: 星体的最大质量 :考虑一质量为 M、 半径为 R 的星体。 假设其质量密度均匀. (a)要计算星体的引力势能 U,可考虑逐层将星体物质加至半径为 r 的球状准星体表面所 作的功,并让 r 由 0 逐渐增加到 R。计算 U,答案以引力常数 G、M 和 R 表达。 (b)假设星体由质子和电子组成, 其行为皆为理想气体。已知当星体形成时, 其引力势能的
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耗损一半会转化为热能, 另一半会被辐射掉。试推导星体温度 T,答案以 G、M、R、 和 k 表达。 这里 为质子与电子的平均质量,k 为玻耳兹曼常数 (c)试推导星体的气体压强 Pg,答案以 G、M 和 R 表达。
B B

(d)根据维里定理, 星体内的总压强与引力势能的关系为

。 求 b 的值。(1 分)
3

(e)在高温下, 星体中的光子也会施加压强。试应用气体运动论,考虑一体积为 L 的立方 盒子中的光子,其中光子的动量满足德布罗意关系式,从而得出辐射压强 Pr。答案以 光子能量密度 u 表达。 (f)

(g)

(h)

(i)应用(d)部中的维里定理, 求星体质量的上限。答案以太阳质量为单位。

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物理测试 1 第一题:

如左图,角度为θ,一段匀质绳对称地搭在两斜面间。摩擦系数为 1。试问:最大可有多少绳段处于 悬空状态。

第二题:

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第三题:

6

第四题:

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(e)求 A 刚与棒碰撞后系统的总动能。 (f)求棒上端点 C 的速度 v 与 h 的函数关系。 (g)求 H 使得 v(H) = 0。
(h) 假设另一质量为 m 的质点 B 的位置与棒顶端 C 的左边非常接近, 如图 2b 所示。 再设点 A 撞到棒的下 端。 求棒与质点 B 产生完全弹性碰撞后, 质点 B 的速度。

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第五题:

引力透镜仿真镜:大质量物体附近的引力场会对经过的光线产生类似透镜的作用 , 称为引力透镜效 应。 这里我们考虑以有机玻璃制造一个光学透镜以仿真引力透镜现象根据广义相对论, 当一束光线 经过一个拥有球对称、质量为 的物体时,会产生屈折。当屈折角度很小,而光线与物体中心最靠近距 离为 r 时,该角度可由下面的公式得出 真镜以下式中的角度屈折光线 在上式中 为引力常数, 为光速。 因此我们要求仿

。在上式中 是某个常数。

图一所示为仿真镜的横截面。仿真镜为观察者手举而设计,设计距离为大约一呎到手臂长度。观察对象位于图
中仿真镜左边远大于一米处。 因此我们可以假设入射光是垂直于仿真镜的前平面, 而折射仅发生于仿真镜的后表面。 以 表示入射光与后表面法线的夹角, 表示折射角度, 表示屈折角度 。以上角度皆假设为小角度。仿真

镜的折射系数是 n

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(e)试推导透镜后折射面的斜率 dx/dr,答案以

和 n 表达。
1

(f)试推导透镜后折射面的表达式 x(r)。答案以 n、R 和 r 表达。 (g)考虑一束入射参数 r 为 2 cm 的光线。 如果要求该光线在离开透镜后于水平距离 30 cm 处与透镜中轴相交, 则 R 应取何值? (h)计算透镜的有效引力质量

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第六题:如左图,Vo,L ,C 已知。且

R?

L C



w?

1 LC

求,干路总电流。

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第七题: 星体的最大质量 :考虑一质量为 M、 半径为 R 的星体。 假设其质量密度均匀. (a)要计算星体的引力势能 U,可考虑逐层将星体物质加至半径为 r 的球状准星体表面所 作的功,并让 r 由 0 逐渐增加到 R。计算 U,答案以引力常数 G、M 和 R 表达。 (b)假设星体由质子和电子组成, 其行为皆为理想气体。已知当星体形成时, 其引力势能的 耗损一半会转化为热能, 另一半会被辐射掉。试推导星体温度 T,答案以 G、M、R、 和 k 表达。 这里 为质子与电子的平均质量,k 为玻耳兹曼常数 (c)试推导星体的气体压强 Pg,答案以 G、M 和 R 表达。
B B

(d)根据维里定理, 星体内的总压强与引力势能的关系为

。 求 b 的值。(1 分)
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(e)在高温下, 星体中的光子也会施加压强。试应用气体运动论,考虑一体积为 L 的立方 盒子中的光子,其中光子的动量满足德布罗意关系式,从而得出辐射压强 Pr。答案以 光子能量密度 u 表达。
(f)

(g)

(h)应用(d)部中的维里定理, 求星体质量的上限。答案以太阳质量为单位。

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