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函数的值域与最值练习题


函数的值域与最值
●知识点归纳
一、相关概念 1、值域:函数 y ? 值域。 2、最值:求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上,如果在函数的值域中 存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值。因此,求函数的最值和值域,其实质 是相同的,只是提问不同而已。 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意

的 x∈I, 都有 f(x)≤M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值。记作

f ( x),x ? A ,我们把函数值的集合 { y | y ? f ( x), x ? A} 称为这个函数的

ymax ? f ? x0 ?
最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I, 都有 f(x)≥M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M。那么,称 M 是函数 y=f(x)的最小值。记作

ymin ? f ? x0 ?
注意: ①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ② 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M (f(x)≥M) 。 二、基本函数的值域 一次函数 y ? kx ? b(a ? 0) 的定义域为 R,值域为 R; 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R, ; 当 a ? 0时, 值域是[

4ac ? b 2 4ac ? b 2 ,? ?); a ? 0时, 值域是(??, ] 4a 4a

反比例函数 y ? k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为 { y / y ? 0} ;
x

数函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 的值域为 { y / y ? 0} ;
x

对数函数 y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的值域为 R; 正、余弦:函数的值域 ?? 1,1? ;

正、余切函数 y ? tan x, x ? k? ?

? , y ? cot x ( x ? k? , k ? Z ) 的值域为 R。 2

三、求函数值域和最值常用的方法

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点 分可分三类:(1)求常见函数值域; (2)求由常见函数复合而成的函数的值域; (3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
(1)观察法(用非负数的性质,如: x 2 ? 0 ; x ? 0 ; x ? 0( x ? 0) 等)
2

例如:求下列函数的值域:y=-3x +2

变式:y=5+2 x ? 1 (x≥-1)的值域是

(2)利用基本函数求值域法: 例如 :下列函数中值域是(0,+ ? )的是 A. y ? x
1 2
1? x B. y ? ( )

( ) D. y ? x ?

1 5

C. y ? 1 ? x 2

1 ( x ? 0) x

(3)配方法:(二次或四次) 转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值; 常转化为含有自变量的平方式与常数的和, 型如: f ( x) ? ax ? bx ? c, x ? (m, n) 的形
2

式,然后根据变量的取值范围确定函数的最值;
2 例如:求值域:y= x ? x ? 1, x ? R ;x ? ?? 1,3? ; x ? (1,5]; x ? [?5,?1]

变式 1:y=-x +4x-1 x∈[-1,3);

2

变式 2:求函数 y=

5 的值域. 2x ? 4x ? 3
2

变式 3:当 x ? (0,2] 时,函数 f ( x) ? ax ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值,则 a 的取 值范围是_ __ (4)换元法(代数换元法)通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将 代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题,化归思想;
2

例如:求函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 的值域.

变式 1:求函数 y=3x- 1 ? 2 x 的值域.

变式 2: y ? 2x ? 1 ? x ?1 的值域为_____ 变式 3: y ? x ? 4 ? 9 ? x 2 的值域为____ 变式 4:函数 y ? x ? 1 ? x 2 的值域为____ 变式 5: y ? 2sin 2 x ? 3cos x ?1的值域为_____ 变式 6:求函数 y ? log1 2 x ? log1 x 2 ? 5(2 ? x ? 4) 的值域
4 4

(5)分离常数法: (分式转化法) ;对某些分式函数,可通过分离常数法,化成部分分式来 求值域. (6)逆求法(反求法) :通过反解,用 y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式,得 出 y 的取值范围;常用来解,型如: y ? 例如:求下列函数的值域:y=

ax ? b , x ? (m, n) cx ? d

x?2 ({y|y ? 1 }) x ?1
) C.[-1,1) D.(-1,1)

变式:函数 y=

1? x2 的值域是( 1? x2

A.[-1,1]

B.(-1,1]

练习: 求函数 y ?

2x 2 x ?1

的值域(答:1>y>0)

k (k ? 0) ,利用基本不等式公式来求值域; x (a ? a 2 ) 2 设 x, a1 , a2 , y 成 等 差 数 列 , x, b1 , b2 , y 成 等 比 数 列 , 则 1 的取值范围是 b1b2
(8)基本不等式法:转化成型如: y ? x ? ____________. 练习:求函数 y ? x 2 ? 4 ?
1 x2 ? 4

的最小值

(9)单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有

最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有 最小值 f(b); 求 y ? x?

1 (1 ? x ? 9) 的值域为______ x

x 练习:函数 f(x)= 2 ? 8 ? log 3 x ?

1 的值域 x

1 x y ? ( ) 函数 2

2

? x?

1 4

的值域

(10)数形结合:根据函数图象或函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域 已知点 P( x, y) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上,求

y 及 y ? 2 x 的取值范围 x?2

2 2 练习:求函数 y = ( x ? 1) ? (2) +

( x ? 1) 2 ? (3) 2 的值域.

(11)导数法:求函数 f ( x) ? 2 x3 ? 4 x2 ? 40 x , x ? [?3,3] 的最小值。

●典例剖析
题型一:函数值域问题 例 1.求下列函数的值域: (1) y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 ; (2) y ?

3x ? 1 ; x?2

(3) y ? x ? 4 1 ? x ; (4) y ? x ? 1 ? x 2 ; (5) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ; (6) y ?

2 x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 1 ? sin x y ? (x ? ) ; ; ( 7 ) (8) y ? 。 2 2 ? cos x 2x ?1 2 x ? x ?1

例2

(分段函数法及图像法)求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域

例 3 设函数 f ( x) ? log 2 (1)求函数的定义域;

x ?1 ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( p ? x) , x ?1

(2)问 f ( x ) 是否存在最大值与最小值?如果存在,请把它写出来;如果不存在,请说明 理由

题型二:最值问题 例 1. (2002 全国理,21)设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? x ? a ? 1 , x ? R .
2

(1)讨论 f ( x ) 的奇偶性; 例 2:已知函数 f(x)= (1)当 a=

(2)求 f ( x ) 的最小值.

x2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞ ) , x

1 时,求函数 f(x)的最小值 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围

? 题型三:函数的综合题

例 1.已知函数 f ( x ) 的定义域为 0,1 ,且同时满足: (1)对任意 x ??0,1? ,总有 f ( x) ? 2 ; (2) f (1) ? 3 (3)若 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 . (I)求 f (0) 的值; (II)求 f ( x ) 的最大值; (III)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? ? 1 2 (an ? 3), n ? N .
*

? ?

题型四:课标创新题 例 1. (1)设 f ( x) ? x ? ax ? bx ? cx ? d ,其中 a、b、c、d 是常数。
4 3 2

如果 f (1) ? 10, f (2) ? 20, f (3) ? 30, 求 f (10) ? f (?6)的值 ; (2)若不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范围。
2

例 2. (2004 年广东,19)设函数 f(x)=|1-

1 |(x>0) , x

证明:当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,ab>1.


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