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江苏省扬州中学2013-2014学年高二上学期数学12月月考试卷


江苏省扬州中学 2013-2014 学年高二上学期 12 月月考试卷

数学试卷
(全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟) 2013.12

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上) 1.命题“ ?x ? R, e x ? x ? 1 ”的否定是 2.抛物线 y 2 ? 8x 的焦点坐标为 ▲ .

▲ . ▲ .

3.已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7 ,这个正四棱锥的侧面积是 4.已知函数 f ( x) ? x ? sin x ,则 f ?( x) ? ▲ .

5.一枚骰子(形状为正方体,六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6 的玩具)先后抛掷 两次,骰子向上的点数依次为 x, y .则 x ? y 的概率为 ▲ . 6.若双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的离心率为 2,则 m 的值为 ▲ . m

7.在不等式组

所表示的平面区域内所有的格点(横、纵坐标均为整数的点称为

格点)中任取 3 个点,则该 3 点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为 8.如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, D,E,F 分别是





AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F ? ADE 的体积为 V1 ,三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积为 V2 ,则 V1 :V2 ?
9. 已知椭圆 ▲

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , A,B 是椭圆的 2 a b 2 cos(? ? ? ) = cos ? +?) (

左、右顶点,P 是椭圆上不同于 A,B 的一点,直线 PA,PB 倾斜角 分别为 ? , ? ,则 ▲ ▲ .

10.若“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”是 “ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值为

11.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? (2c ? 3a ? 2b) x ? d (a ? 0) 的 图像如图所示,且 f ?(1) ? 0 .则 c ? d 的值是 ▲ .

12. 设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线, 则 ? 平行于 ? ; (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号 ... ▲ (写出所有真命题的序号) . (第 11 题图)

13. 已知可导函数 f (x) ( x ? R) 的导函数 f ?(x) 满足 f ?(x) > f (x) ,则不等式 ef ( x) ? f (1)e x 的解集是 ▲ . 14.已知椭圆 E:

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 E 的内接平行四边形 4

的一组对边分别经过它的两个焦点(如图) ,则这个平行 四边形面积的最大值是 ▲ . (第 14 题图) 二、解答题: (本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 求实数 m 的取值组成的集合 M ,使当 m ? M 时,“ p或q ”为真,“ p且q ”为假.
2 q 其中 p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的负根; : 方程 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数

根.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,DC∥AB, ∠BAD= 90? ,且 AB=2AD=2DC=2PD=4,E 为 PA 的中点. (1)证明:DE∥平面 PBC; (2)证明:DE⊥平面 PAB.

17. (本小题满分 15 分) 如图,过点 (0, a3 ) 的两直线与抛物线 y ? ?ax2 相切于 A、B 两点, AD、BC 垂直于直 线 y ? ?8 ,垂足分别为 D、C. (1)若 a ? 1 ,求矩形 ABCD 面积; (2)若 a ? (0, 2) ,求矩形 ABCD 面积的最大值. A O B x y

D 18. (本小题满分 15 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中,已知平面 AAC1C ? 平面ABCD , 1 1 且 AB ? BC ? CA ? 3,AD ? CD ? 1. (1)求证: BD ? AA1 ;
[来源:Z*xx*k.Com]

C

D1

C1

A1 (2)在棱 BC 上取一点 E,使得 AE ∥平面 DCC1 D1 , 求

B1

BE 的值. EC
D A B C

19. (本小题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右两焦点分别为 F1 , F2 , P 是椭圆上一点,且在 x 轴 a 2 b2

上方, PF2 ? F1 F2 , PF2 ? ? PF1 , ? ? ? , ? . 3 2 (1)求椭圆的离心率 e 的取值范围; (2)当 e 取最大值时,过 F1 , F2 , P 的圆 Q 的 截 y 轴的线段长为 6,求椭圆的方程; (3)在(2)的条件下,过椭圆右准线 l 上任 一点 A 引圆 Q 的两条切线,切点分别为
y

?1 1 ? ? ?

l

·

M

P
A

F1
试探究直线 MN 是否过定点?若 M, N . 过定点,请求出 该定点;否则,请说明理 由.

O

N
N

·

F2

x

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x 2 ( a 为实常数) . (1)当 a ? ?4 时,求函数 f (x) 在 ?1,e? 上的最大值及相应的 x 值; (2)当 x ? ?1, e? 时,讨论方程 f ?x ? ? 0 根的个数. (3)若 a ? 0 ,且对任意的 x1 , x2 ? ?1, e? ,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 求实数 a 的取值范围 .

1 1 , ? x1 x2

江苏省扬州中学高二 12 月月考数学答题纸
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1. 2. 3. 5. 9. 13. 6. 10. 14. 7. 11. 4. 8. 12.

2013.12.

[来源:学科网 ZXXK]

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.

16.

17.

18.
源:Z_xx_k.Com]

[来

(19,20 题请写在答题纸反面)

高二数学月考试卷参考答案
2013.12 一、 填空题: 2 . ( 2,0) 7. 3.48 8. 4. 1 ? cos x 1 . ?x ? R, e x ? x ? 1

5 6 3 9. 5
5. 13. (1, ??) 二、 解答题:

6.3 10.-1 14. 4

9 10

1 24

11.3

12. (2) (1)

?? ? m 2 ? 4 ? 0 ? m ? ?2 . 15.解: p真 : ? ?m ? 0

…………………5 分

q真 : ? ? [4(m ? 2)]2 ? 4 ? 4 ? 0, 即 1 ? m ? 3. …………………10 分
① p真q假: ? ?2; m

1 ② q真p假: ? m ? 3.
综上所述: M ? {m | m ? ?2或1 ? m ? 3}.

…………………13 分 …………………14 分

16. (1)设 PB 的中点为 F,连结 EF、CF,EF∥AB,DC

1 AB . 2 故四边形 CDEF 为平行四边形,可得 ED∥CF. 又 ED ? 平面 PBC,CF ? 平面 PBC, 故 DE∥平面 PBC. (2)因为 PD⊥底面 ABCD,AB ? 平面 ABCD,所以 AB ⊥PD. 又因为 AB⊥AD, ? AD=D,AD ? 平面 PAD, ? 平面 PAD,所以 AB⊥平面 PAD. PD PD ED ? 平面 PAD,故 ED⊥AB.又 PD=AD,E 为 PA 的中点,故 ED⊥PA; PA ? AB=A,PA ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB,所以 ED⊥平面 PAB.
∥AB,所以 EF∥DC,且 EF=DC= 17.解: (1) a ? 1 时, S ? 14 (详细过程见第(2)问) --------6 分

(2)设切点为 ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? ?ax02 , 因为 y ? ? ?2ax ,所以切线方程为 y ? y0 ? ?2ax0 ( x ? x0 ) , 即 y ? ax02 ? ?2ax0 ( x ? x0 ) ,

因为切线过点 0, a3 ,所以 a3 ? ax02 ? ?2ax0 (0 ? x0 ) ,即 a3 ? ax02 ,于是 x0 ? ? a . 将 x0 ? ? a 代入 y0 ? ?ax02 得 y0 ? ?a3 . [

?

?

(若设切线方程为 y ? kx ? a3 ,代入抛物线方程后由 ? ? 0 得到切点坐标,亦予认可.) 所以 AB ? 2a, BC ? 8 ? a3 , 所以矩形面积为 S ? 16a ? 2a4 (0 ? a ? 2) ,
S ? ? 1 6? 83 . a

所以当 0 ? a ? 3 2 时, S ? ? 0 ;当 3 2 ? a ? 2 时, S ? ? 0 ; 故当 a ? 3 2 时,S 有最大值为 12 3 2 . -------15 分

[来源:学科网 ZXXK]

18.证明: (1)在四边形 ABCD 中,因为 BA=BC,DA=DC,所以 BD ? AC . 平面 AAC1C ? 平面ABCD ,且 平面ACC1 A ? 平面ABCD ? AC, BD ? 平面ABCD, 1 1 所以 BD ? AA1 .
[来源:Zxxk.Com]

(2)点 E 为 BC 中点,即

BE ?1, EC

下面给予证明:在三角形 ABC 中,因为 AB=AC,却 E 为 BC 中点,所以 AE ? BC , 又在四边形 ABCD 中,AB=BC=CA= 3 ,DA=DC=1,所以 ?ACB ? 60?,?ACD ? 30? , 所以 DC ? BC ,即平面 ABCD 中有, AE ? DC . 因为 DC ? 平面DCC1D1 , AE ? 平面DCC1D1 , 所以 AE ?平面DCC1D1

19.解:

??

b2 a 2a ? b2 a



∴ 2a

2

? ? b2? ? b2 ,2a2? ? b2 ?1 ? ? ? ,

b2 2? ? . 2 a 1? ?

1? ? c2 b2 2? 1 ? ? ?1 1 ? ? (1) e ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? ,∴ e ? ,在 ? , ? 上单调递减. a a 1? ? 1? ? 1? ? ?3 2?
2

∴? ?

1 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 时, e 最小 , ? ? 时, e 最小 ,∴ ? e ? ,∴ . ?e? 2 3 3 2 3 2 3 2

(2) 当 e ?

2 c 2 2 时, ? ,∴ c ? b ? a ,∴ 2b2 ? a 2 . 2 a 2 2

∵ PF2 ? F F2 ,∴ PF1 是圆的直径,圆心是 PF1 的中点,∴在 y 轴上截得的弦长就 1 是直径,∴ PF1 =6.又 PF1 ? 2a ?

b2 a2 3 ? 2a ? ? a ? 6 ,∴ a ? 4, c ? b ? 2 2 .∴ a 2a 2
-------10 分

x2 y 2 ? ?1 椭圆方程是 16 8
(3)由(2)得到 PF2 ?
2

b2 a ? ? 2 ,于是圆心 Q ? 0,1? ,半径为 3,圆 Q 的方程是 a 2

x 2 ? ? y ? 1? ? 9 . 椭圆的右准线方程为 x ? 4 2 , ,∵直线 AM,AN 是圆 Q 的两条切线,
∴切点 M,N 在以 AQ 为直径的圆上.设 A 点坐标为 (4 2,t ),∴该圆方程为

x( x ? 4 2) ? ( y ?1)( y ? t ) ? 0 .∴直线 MN 是两圆的公共弦,两圆方程相减得: 4 2x ? (t ? 1) y ? 8 ? t ? 0 , 这 就 是 直 线 M N 的 方 程 . 该 直 线 化 为 :

? 9 2 ? y ? 1 ? 0, , ? ?x ? ( y ? 1)t ? 4 2 x ? y ? 8 ? 0,? ? ?? 8 ?4 2 x ? y ? 8 ? 0, ? ? ? y ? 1.
∴直线 MN 必过定点 (

9 2 ,1) . 8

-------16 分

20. 解: 1)f ?( x) ? (

2x 2 ? 4 ( x ? 0) , x ? [1, 2 ) 时,f ?( x) ? 0 . x ? 当 当 x
2

?

2, e

?

时, f ?( x) ? 0 ,又 f (e) ? f (1) ? ?4 ? e ? 1 ? 0 , 故 f ( x) max ? f (e) ? e 2 ? 4 ,当 x ? e 时,取等号 -------4 分

x2 (2)易知 x ? 1 ,故 x ? ?1, e? ,方程 f ?x ? ? 0 根的个数等价于 x ? ?1, e? 时,方程 ? a ? ln x

x2 根的个数. 设 g ?x ? = , g ?( x) ? ln x

2 x ln x ? x 2 ln 2 x

1 x ? x(2 ln x ? 1) ln 2 x

当 x ? 1, e 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g (x) 递减,当 x ? ( e , e?时, g ?( x) ? 0 ,函数 g (x) 递 增.又 g (e) ? e 2 , g ( e ) ? 2e ,作出 y ? g (x) 与直线 y ? ? a 的图像,由图像知: 当 2e ? ?a ? e 2 时,即 ? e 2 ? a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 2 个相异的根; 当 a ? ?e 2 或 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 1 个根; 当 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 0 个根; -------10 分

?

?

( 3 ) 当 a ? 0 时 , f (x) 在 x ?[1, e] 时 是 增 函 数 , 又 函 数 y ?

1 是减函数,不妨设 x

1 ? x1 ? x2 ? e ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?
即 f ( x2 ) ?

1 1 1 1 等价于 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? x1 x2 x1 x2

1 1 1 ? f ( x1 ) ? ,故原题等价于函数 h? x ? ? f ( x ) ? 在 x ?[1, e] 时是减函数, x x2 x1

? h?( x) ?

a 1 1 ? 2 x ? 2 ? 0 恒成立,即 a ? ? 2 x 2 在 x ?[1, e] 时恒成立. x x x 1 1 ? y ? ? 2 x 2 在 x ?[1, e] 时是减函数 ? a ? ? 2e 2 -------16 分 x e

(其他解法酌情给分)


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