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高一数学7.15数列及其表示


§3.1
数列定义:按

数列及其表示
一. 回顾

1.

叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项.记作 an ,

数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,……, an ,……,简记作 2.

?an ? .

通项公式的定义:如

果数列 {an } 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这 个公式就叫这个数列的通项公式.

3.

数列的函数特征与图象表示:从函数观点看,数列实质上是定义域为

(或它

的 有 限子 集) 的 函数 f ( n) 当 自 变 量 n 从 1 开 始依 次取值 时 对应 的一 系 列函 数值

f (1), f (2), f (3), ……, f (n) ,…….通常用 an 来代替
4. 数列分类:①按数列项数是有限还是无限分: 数列和

,其图象是 数列; 数列、

.

②按数列项与项之间的大小关系分:单调数列( 常数列和摆动数列. 5.

数列) 、

递推公式定义: 若已知数列 ?an ? 的第 1 项 (或前几项) , 且任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或 前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

6.

数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系:

.

二. 典例 1. 写出下列数列的一个通项公式,使它的前四项(或六项)分别是下列各数. (1)所有的正偶数组成的数列 ?an ? ; (3)1,7,13, 19 ?? ; (6)-4,-1,2,5,…,23; 2. (2)所有的正奇数组成的数列 ?bn ? ; (5) ? 1,3,?9,27?? ;

(4)1,4,9,16,…; (7)3 1 ,8 1 ,13 1 , ?? ;
2 4 8

,3333 ,?? . (8)3,33,333
.

已知数列 1,-1,1,-1,…,则下列各式中能作为它的通项公式的是

(13)

第1页

① an ? (?1)n?1 ; ② a n ? sin 已知数列 2, 10, 4,

?1 (2n ? 1)? ; ③ an ? ? 2 ?? 1

(n为奇数) (n为偶数)

; ④ an ? (?1)n . 项.

3. 4.

, 2(3n ?1),

,那么 8 是它的第 .

下列四个数列中,既是无穷数列,又是递增数列的是

1 1 1 , , , ; 2 3 4 1 1 1 ③ ?1, ? , ? , ? , 2 4 8
① 1, 5.

② sin ;

1 2 3 ? ,sin ? ,sin ? 7 7 7



④ 1, 2, 3,

, 21 .

已知数列 ?an ? 的第 1 项是 1,以后各项由公式 an ? 2an?1 ? 1 给出,则这个数列的前 5 项 依次是 .

6.

已知数列 {an } 的通项公式是 an ? 2n (n ? N *, n ? 8) ,则下列各数是否为数列中的项?如 3n ? 1

3 11 果是,是第几项?如果不是,为什么?① ;② . 5 17
7. 已知数列通项公式是 a n ? tan

n? 3 .①求 a99 ;② 是否是数列中的项?如果是,是第几 3 3

项?③ 3 是否是数列中的项?如果是, 是第几项?且算出该数列共有 100 项时, 其中是

3 的有几项?
8. (1)已知数列 {an } 的前 n 项之和为 S n ? 2n 2 ? n ,求数列 {an } 的通项公式 an . (2)已知数列 {an } 的前 n 项之和为 S n ? n 2 ? 3n ? 1,求数列 {an } 的通项公式 an . (3)已知数列 {an } 中, a1 ? 9. 已知函数 f ( x ) ?

1 , S n ? n 2 a n ,求 an . 2

x ,数列 {an } 满足 an ? f (an?1 )(n ? 1, n ? N * ) ,且 a1 ? f (2) , 2x ? 1

求数列 {an } 的通项公式. 10. 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? 此最大项;若无,试说明理由.
(13) 第2页

9n (n ? 1) (n ? N *) ,数列 {an } 中有无最大项?若有,求出 10n

11. 已知数列 an 对于任意 x 、y ? N * , 都有 ax ? a y ? a x ? y .若 a36 ? 4 , 则 a1 ? ______ . 12. 已知数列 an 对于任意 x 、 y ? N * , 都有 ax ? a y ? ax ? y .若 a2 ? 2 , 则 a10 ? ______ . 13. 满足 a1 ? 1 、 an?1 ?

? ? ? ?

an 的数列 ?an ? 的通项公式为 an ? _____________ . 3an ? 1
1 ) 的数列 ?an ? 的通项公式为 an ? _____________ . n

14. 满足 a1 ? 2 、 an ?1 ? an ? ln(1 ?

15. 满足 a2012 ? 3 、 (n ? 2)an?1 ? nan 的数列 an 的通项公式为 an ? _____________ . 16. 若数列 an 满足: a1 ? 2 , an?1 ? an2 ,则 an 的通项公式为 an ? _________ . 17. 满足条件 an ? Sn ? 4096 的数列 an 的通项公式为 an ? ________________ . 18. 满足条件 a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2 的数列 an 的通项公式为 an ? ________________ . 19. 满足条件 a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2n ? 1 的数列 an 的通项公式为 an ? ___________ . 20. 满足条件 a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2n ? 1 的数列 an 的通项公式为 an ? ___________ . 21. 满足条件 a1 ? 1, nan ?1 ? ( n ? 1)an ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

1 的数列 ?an ? 的通项公式 an ? _________ . n? 2

22. 满足条件 a1 ? 1, a2 ? 2, an? 2 ? 3an?1 ? 4an 的数列 an 的通项公式为 an ? _______ . 23. 满足条件 a1 ? 1, a1a2a3

? ?

an ? n 的数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ____________ .

24. 在正整数集 N * 上定义了一种运算“ ? ” ,对于 ?n ? N * ,其满足下列两条性质: ① 2 ? 2 ? 1 ;② (2n ? 2) ? 2 ? (2n ? 2) ? 3 .那么 2012 ? 2 ? ___________ . 三. 练习 1. 已知数列 ?an ? 中, an?1 ?

2an (n ? N *) ,且 a1 ? 1 ,则 an ? an ? 2
n ?

.

2.

已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an an?1 ? an?1 ? (?1) (n ? 2, n ? N ) ,则

a3 的值是 a5

___.

(13)

第3页

3.

在数列 a1 , a2 ,

, an ,

的每相邻两项中插入 3 个数,使它们与原数构成一个新数列,则 项. .

新数列的第 49 项是原数列的第 数列 ?an ? 前 n 项和 S n ?

4.

a1 (3 n ? 1) ( n ? 1) ,且 a4 ? 54 ,求 a1 的数值是 2

5.

已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an .

(13)

第4页


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