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高中数学竞赛第一轮训练预赛精选1


高中数学竞赛第一轮训练——预赛精选(1) 1.若函数 f ( x) ? loga ( x2 ? ax ? 1) 有最小值,则 a 的取值范围是________________. 2.方程 ? x ?1x 2 ? ? x x ? ? x ? x 2 ? x ? 1 的解的个数是________________. sin(x ? 45?) , x ? [0?,90?] ,则 f ( x) 的最大值与最小值的乘积为___________. 3.函数 f ( x) ? sin(x ? 60?) 4.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 满足 AA1=2,AD=3,AB=251,平面 A1BD 分别与 CC1,C1B1, C1D1 交于点 L,M,N,则四面体 C1LMN 的体积为_______________. 5.已知数列 ?an ?满足 a1 ? 0, an ?1 ? an ? 1 ? 2 an ? 1 ( n ? 1,2, ? ) ,则 an ? __________. 6.若方程 a x ? 2 x ? 4 ? 0 ( a ? 0, a ? 1 )的所有根为 u1 , u2 ,?, uk ,方程 loga 2 x ? x ? 2 ? 0 的 2 2 u1 ? u2 ? ?? uk ? v1 ? v2 ? ?? vl =__________. k ?l 7.设不定方程 x2 ? y 2 ? z 2 ? xyz ? 10 ? 0 的正整数解 ( x, y , z ) 中满足 x, y, z 均大于 2013 的不 所有根为 v1 , v2 ,?, vl( k , l 均为正整数) , 则 同解的数目是_________________. 2013 ? 2013n ? 8. ? ? ? ? ________________. n ?1 ? 2014 ? 9.已知正四面体 S-ABC 的棱长为 a,其内部有四个半径相同且两两相切的小球,而且每个 小球均与相邻的三个面相切,求小球半径. 10.已知正数列 ?an ?( n ? 0,1,2,? )满足 an ? an ?1 ( n ? 2,3,4,? ) ,若 a0 a2013 ? 1 ,求 m . man ? 2 11.若 a, b, c ? ?0,?? ? ,求证: b ? c c ? a a ? b 2a 2b 2c . ? ? ? ? ? 2a 2b 2c b?c c?a a?b 12. a , b 是两个不相等的正数,且 a3 ? b3 ? a 2 ? b2 ,求所有可能的整数 c ,使得 c ? 9 ab . 13.如图,△ABC 中 AB>AC,AE 是其外接圆的切线,D 为 AB 上的点,且 AD=AC=AE. 求证:直线 DE 经过△ABC 的内心. A D B C E 1

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