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新疆兵团农二师华山中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文


2014-2015 学年度华山中学高二数学文科
一、单项选择(注释) 1、已知 a 是实数, A. ?1

a?i 是纯虚数,则 a =( 1? i
B. 1 C.

)

2

D. ? 2

2、已知点 P 的极坐标为 ( 2 , A.(1,1)


?
4

) ,则点 P 的直角坐标为
C.(-1,1) ) D.(-1,-1)

B.(1,-1)

3、不等式|x-5|+|x+3|≥10 的解集是( A.[-5,7] B.[-4,6] C.(-∞,-5]∪[7,+∞) D.(-∞,-4]∪[6,+∞)

1 1 ? ? 0 ,则下列不等式中,正确的不等式有( a b b a ① a ? b ? ab ②a ?b ③a ? b ④ ? ?2 a b
4、若



A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5、 程序框图如图所示,若输入 a 的值是虚数单位 i,则输出的结果是(



A. ?1 B. i ? 1 C. 0 D. ?i 6、某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据: x y 6 2 8 3 10 5 12 6
?

? ?a ? ? bx ? 中的 b 的 根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? ?a ? ? bx ? 中, 值为 0.7 ,则记忆力为 14 的同学的判断力约为(附:线性回归方程 y
a ? y ? b x ,其中 x , y 为样本平均值) (
A.7 B. 7.5 C.8 D. 8.5
? ?



1

2? 2 x 2

y
1 的最小值为( x

7、设 x ? 0 ,则 y ? 3 ? 3 x ? A. 3

) D.1

B. 3 ? 3 2

C. 3 ? 2 3

8、为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取 50 名学生,得到 如下 2×2 列联表: 理科 男 女
2

文科 10 20
2 2

13 7

已 知 P ( K ≥3.841 )≈0.05 , P ( K ≥5.024 )≈0.025 .根 据表 中 数据 ,得 到 K =

50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7) ≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为 ( 23 ? 27 ? 20 ? 30
A.2.5% B.5% C.10% D.95%
x ? ?2 ? cos?, (θ 为参数,0≤θ <2π )上任意一点,则 9、设 P(x,y)是曲线 C: ? ? ?y ? sin ?



y 的 x

取值范围是( A.[- 3 , 3 ] C.[- 3 , 3 ] 3 3

) B. (-∞, 3 )∪[ 3 ,+∞] D. (-∞,

3 3 )∪[ ,+∞] 3 3

10、已知结论:“在正 ?ABC 中, BC 中点为 D ,若 ?ABC 内一点 G 到各边的距离都

AG ? 2” . 若把该结论推广到空间, 则有结论: “在棱长都相等的四面体 ABCD GD AO ? 中, 若 ?BCD 的中心为 M , 四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等, 则 OM
相等,则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 2 2 11、直线 ? (t 为参数),被曲线 x ? y ? 1截得的弦长是( ? y? 3t ? ? 2
A. B. 2 C. D.2



12、x、y>0, x+y=1, 且 A. B. 2

≤a 恒成立, 则 a 的最小值为 ( C.2 D.



2

二、填空题(注释) 13、在极坐标系中,直线 ? (sin ? ? cos ? ) ? 2 被圆 ? ? 4sin ? 截得的弦长为 .

14、设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 12 ,则

1 9 25 ? ? 的最小值为 a b c

.

15、若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在实数解,则实数 a 的取值范围是 16、如图,一个小朋友按如图所示的规则练习数数,1 大拇指,2 食指,3 中指,4 无名 指,5 小指,6 无名指,... ,一直数到 2008 时,对应的指头是 (填指头的 名称).

三、解答题(注释) 17、某研究小组为了研究中学生的身体发育情况,在学校随机抽出 20 名学生,将他们 的身高和体重制成如下所示的 2×2 列联表: 超重 偏高 不偏高 合计 4 3 7 不超重 1 12 13 合计 5 15 20

(1)在超重的学生中取两个,求一个偏高一个不偏高的概率; (2)根据联表可有多大把握认为身高与体重有关系? P(K ≥k) k
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

18、已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? a . (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值范 围. 19、如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,点 E 在棱 CC1 上,点 F 是棱 C1 D 1 的 中点 (1)若 AF // 平面 BDE ,求 CE 的长; (2)若平面 BDE⊥平面 A1BD,求三棱锥 F—ABE 的体积.

?

?

3

D1

F

C1

A1

B1 E

D

C

A

B

20、已知平面直角坐标系 xOy ,以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, , 曲线 C 的参数方程为 ? 极坐标分别为 ( ?1 ,

? x ? 2cos ? , 点 A, B 是曲线 C 上两点, 点 A, B 的 (?为参数) 。 ? y ? 2 ? 2sin ? ,
5? )。 6

?
3

), ( ? 2,

(1)写出曲线 C 的普通方程和极坐标方程; (2)求 AB 的值. 21、已知椭圆 C 过点 M(1,

3 ),两个焦点为 A(-1,0),B(1,0),O 为坐标原点. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 L 过点 A(-1,0),且与椭圆 C 相交于 P、Q 两点,求三角形 BPQ 面积的最大值. 22、已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? (2a ? 3) x ? a 2 ( a ∈R) . (1)若函数 f ( x) 在区间 (1,??) 上有极小值点,求实数 a 的取值范围; (2)若当 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

4

参考答案 一、单项选择 1、 【答案】B 【解析】

a ? i ? a ? i ??1 ? i ? ? a ? 1? ? ? a ? 1? i ? ? 是纯虚数,所以 a ? 1 . 1? i 2 2

2、 【答案】A 【解析】 3、 【答案】D 【解析】当|x-5|+|x+3|=10 时,求出 x1=6,x2=-4,画出数轴,显然当 x≥6 或 x≤ -4 时,满足|x-5|+|x+3|≥10. 4、 【答案】B

1 1 ? ?0 【解析】因为 a b ,所以 b ? a ? 0 ① a ? b ? 0, ab ? 0 ,所以 a ? b ? ab

②因为

b ? a ? 0 所以 a ? b

③应为 a ? b

④? a ? b ?

b a ? ? 2 所以①④正确 a b

考点:不等式的性质,基本不等式 5、 【答案】A
2 3 2015 【解析】此程序框图的算法功能为 S ? i ? i ? i ? ? ? i ,则虚数单位 i 的性质可算得

S ? ?1 ,故选 A.
考点:程序框图、复数运算. 6、 【答案】B 【解析】 7、 【答案】C 【解析】 x ? 0 时有 3 x ?

1 1 ? 2 3 所以 3 ? 3 x ? ? 3 ? 2 3 ,选 C. x x

8、 【答案】B 【解析】解:∵根据表中数据,得到 K2 的观测值

50 ? (13 ? 20 ? 10 ? 7) ≈4.844.4.844> 23 ? 27 ? 20 ? 30

3.841,∴认为选修文科与性别有关系出错的可能性为 5%.故选:B. 9、 【答案】C 【解析】 10、 【答案】C 【解析】 11、 【答案】D 【解析】 12、 【答案】D

1

x? y

因为 x、y>0, x+y=1,要使

≤a 恒成立,则 a 大于等于

的最大值即可。

【解析】 二、填空题 13 、 【 答 案 】 4. 将 直 线 与 圆 的 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 分 别 为 : ? (sin ? ? cos? ) ? 2 ? ? 4sin? 和

x2 ? ( y ? 2)2 ? 22 ,显然直线过圆心,故所求的弦长即圆的直径 4.
【解析】

14、 【答案】

27 4

【 解 析 】 根 据 题 意 , 由 于 a, b, c 均 为 正 数 , 且 a ? b ? c ? 12 , 则 可 知

1 9 25 a ? b ? c 9 25 1 b c 9 25 27 ? ? = ? ? ? + ? ? ? ? ,那么利用均值不等式可 a b c 12a b c 12 12a 12a b c 4 27 27 1 9 25 知, ? ? 的最小值为 ,故答案为 。 4 4 a b c
15、 【答案】 【解析】 16、 【答案】食指 【解析】 三、解答题
2 17、 【答案】解:(1)在超重的 7 个学生中取两个,共有 C 7 =21 种,一个偏高一个不偏高

的有 4×3=12, ∴在超重的学生中取两个,一个偏高一个不偏高的概率 (2)由于

12 4 ? . 21 7

则 K=

2

20(4 ? 12 ? 1 ? 3) 2 ≈5.934>5.024 故有 97.5%的把握认为该学校的男生的身高和体 7 ? 13 ? 5 ? 15

重之间有关系.

2

【解析】 18、 【答案】 (1) a ? 1

(2)令 ? ? n? ? f ? n ? ? f ? ?n ? ,

1 ? ?2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? ? ?n? , 则 ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, 2 2 ? 1 ? n? ?2 ? 4n, 2 ?
∴ ? ? n ? 的最小值为 4,故实数 m 的取值范围是 ? 4, ?? ? . 【解析】 19、 【答案】 【解析】 (1)连结 AC 交 BD 于 O,连结 CF 交 DE 于 P,连结 PO ∵AF∥平面 BDE,∴AF∥PO,又 O 为 AC 中点,∴P 为 CF 中点---------------2 分 在正方形 CD1C1C 中,延长 DE 交 D1C1 的延长线于点 Q, C E 1 2 则由平面几何知识得 1 ? ,所以 CE= ------------------------------5 分 C1 B 3 3 (2)由平面 BDE⊥平面 A1BD 且 EO⊥BD,所以 EO⊥平面 A1BD-----------------7 分 又 AC1⊥平面 A1BD,所以 EO∥AC1,因此 E 为 CC1 的中点--------------9 分 ∵B1C⊥平面 ABF,∴E 到平面 ABF 的距离为 所以 V F ? ABE ? V E ? ABF ?
2 ,又 S ?ABF ? 2 2 , 2

1 2 2 S ?ABF ? ? ----------------------------12 分 3 2 3

20、 【答案】(1) 参数方程 ?
2 2

? x ? 2cos ? , (?为参数) ? 普通方程 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 y ? 2 ? 2sin ? , ?
(?为参数)

普通方程 x ? ( y ? 2) ? 4 ? ? ? 4sin ? 方法 1: A( ?1 , 方法 2 ( ?1 , 【解析】

?
3

), B ( ? 2,

?
3

), ( ? 2,

5? ) ? 直角坐标 A( 3,3), B(? 3,1) ? 两点间距离 AB ? 4 6

5? ? ) 可知 ?AOB ? , AB 为直径, AB ? 4 6 2

3

21、 【答案】 【解析】 22、 【答案】( 1 ) a ? ?3 ;( 2 ) a ? 2 或 a ? ?2 . ( 1 )利 用 导 数 与 函 数 极 值 的 关 系 得 令 f ?( x) ? 0 ,得 x=1 或 x=- ?

2a ? 3 ,使 函 数 3

f ( x) 在 区 间 ( 1 , + ∞ ) 上 有 极 小 值 点 , 则 ?

2a ? 3 > 1, 解 得 即 可 ; 3

( 2 ) 使 得 f ( x ) > 0 对 x ∈ [-1 , 1] 恒 成 立 , 等 价 于 x ∈ [-1 , 1] 时 , f ( x ) m i n > 0, 利 用 导 数 分 类 讨 论 求 得 f( x) min, 解 不 等 式 解 得 结 论 . 解析: (1) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? (2a ? 3) ? (3x ? 2a ? 3)(x ? 1)
2

令 f ?( x) ? 0, 得 x ? 1, 或 x ? ?

2a ? 3 , 3

使函数 f ( x) 在区间 (1,??) 上有极小值点, 则?

2a ? 3 ? 1, 解得: a ? ?3 . 3

(2)由题意知,即使 x ? [?1,1] 时, ( f ( x))min ? 0 .

4

①当 ?

2a ? 3 ? 1 ,即 a ? ?3 时, f ( x) 在 x ? [?1,1] 上单调递增, 3

? ( f ( x))min ? f (?1) ? a 2 ? 3a ? 2 ? 0 ,得 a ? ?1 或 a ? ?2 ,
由此得: a ? ?3 ; ②当 ? 1 ? ?

2a ? 3 ? 1 ,即 ? 3 ? a ? 0 , 3 2a ? 3 2a ? 3 ] 为增函数,在 [? ,1] 上为减函数, f ( x) 在 [?1,? 3 3

所以 ( f ( x))min ? min? f (?1), f (1)?,
2 ? ? f (?1) ? a ? 3a ? 2 ? 0 得? ? a ? 2 或 a ? ?2 2 ? ? f (1) ? a ? a ? 2 ? 0

由此得 ? 3 ? a ? ?2 ; ③当 ?

2a ? 3 ? ?1 ,即 a ? 0 , 3

f ( x) 在 x ? [?1,1] 上为减函数,
所以 ( f ( x))min ? f (1) ? a 2 ? a ? 2 ? 0 得 a ? 2 或 a ? ?1 ,由此得 a ? 2 ; 由①②③得实数 a 的取值范围为 a ? 2 或 a ? ?2 . 【解析】

5


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