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平面三角函数专题


三角函数与平面向量
1.若方程 ( x ? 2cos? )2 ? ( y ? 2sin ? )2 ? 1(0 ? ? ? 2? ) 的任意一组解 ( x, y ) 都满足 不等式 x ? y ,则 ? 的取值范围是( A、 [ ) C、 [

? 5?
4 , 4

]

B、 [

/>5? 13? , ] 12 12

? 7?
4 , 6

]

D、 [

7? 7? , ] 12 6

2.若 ? 是钝角,则满足等式 A. (?1, 2)

log 2 ( x 2 ? x ? 2) ? sin ? ? 3 cos ? 的实数 x 的取值范围是( )
C [0,1] D. [?1, 0) ? (1, 2]

B. (?1, 0) ? (1, 2)

3.在 ?ABC 中, ?BAC ? 60? ,AB=2,AC=1,E,F 为边 BC 的三等分点,则 AE ? AF ? A.

??? ??? ? ?
15 8

5 3

B.

5 4

C.

10 9
)

D.

4.设 ? 、 ? 都是锐角,且 cos ? ?

3 5 , sin(? ? ? ) ? ,则 cos ? =( 5 5
C.

A.

2 5 25

B.

2 5 5

2 5 2 5 或 25 5

D.

2 5 2 5 或 5 25

? ?? ? ? ? A, B, C 是锐角 ?ABC 的三个内角,向量 p ? (? sin A,1), q ? (1,cos B), 则 p 与 q 的夹角是 5.已知

A、锐角 6.若 ?、? ? [ ? A. ? ? ?

B、钝角

C、直角

D、不确定

? ?

, ], 且 ? sin ? ? ? sin ? ? 0 ,则下面结论正确的是 2 2
C. ? ? ? D. ? ? ?
2 2

B. ? ? ? ? 0

7.设函数 f ( x) = sin(? x ? ? ) (x ? R) (? ? 0,|? |? ) 的部分图像如图所示, 如果 x1 , x2 ? (? (A)

π 2

y

1
?O 12
5? 12

1 2

π 5π , ) ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) ? 12 12 2 3 (B) (C) (D) 1 2 2

?

x

(第 7 题)

8. 已知函数

是 R 上的偶函数, ,又 f(x)的图象关于点 =
(C) (D)

其图象过点 是减函数,则
(A) . (B)

对称,且在区间



1

9. 在△ABC 中. O 在线段 BC 的延长线上。 点 且与点 C 不重合, AO =x AB +(1-x) AC , 若 则实数 x 的取值范围是 A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(0,1) 10.函数 f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分 图象如图所示,点 A、B 分别为该部分图象的最高点与最低点,且这 两点间的距离为 4 2 ,则函数 f(x)图象的一条对称轴的方程为 A.x=

????

??? ?

??? ?

p 4

B.x=

p 2

C.x=4

D.x=2 .

? ? ? ? ? ? 11.平面向量 a 与 b 的夹角为 120? , a ? (0,2) , | b |? 1 , 则 a ? b ?

12.将函数 y ? sin(2 x ?

2? ) 的图像向左平移至少 3

个单位,可得一个偶函数的图像.

13.在 ?ABC 中, AB ? 3 AC , AD 是 ?A 的平分线,且 AD ? mAC ,则实数 m 的取值范围 是
?


?
? ?

14 . 已 知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? , 2) , 如 果 a 与 b 的 夹 角 为 锐 角 , 则 ? 的 取 值 范 围 是 .

15.已知平面向量 ? , ? , c 满足 | ? |?| ? |? 1 ,向量 ? 与 ? ? ? 的夹角为 120? , 且 (? ? c) ? ( ? ? c) ? 0, 则 | c | 的取值范围是 16.如图:已知树顶 A 离地面 处看此树,则该人离此树

21 2

米,树上另一点 B 离地面

11 2

米,某人在离地面

3 2

米的 C

米时,看 A、B 的视角最大.

17.△ABC 中,已知 3 tan A ? tan B ? tan A ? tan B ? 3 ,记角 A,B,C 的对边依次为 a,b,c, (1)求∠C 大小; (2)若 c=2,且△ABC 为锐角三 2 2 角形,求 a +b 取值范围。

第 16 题图

2

18.

19.如图,有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD,在点 A 处有一个可转动的探照灯,其 照射角 ?PAQ 始终为 45 (其中点 P, 分别在边 BC, 上) ?PAB ? ? , tan ? ? t . Q CD ,设
?

(1)用 t 表示出 PQ 的长度,并探求 ?CPQ 的周长 l 是否为定值. (2) 问探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域阴影部分的面积 S 最大为多少 (平方百米) ?

D

Q

C

P

45? ?
A B

3

20.已知 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边为 a, b.c ,m ? (a,cos B) ,n ? (cos A, ?b) ,a ? b , 已知 m ? n (1)判断三角形的形状,并说明理由。 (2)若 y ?

??

?

??

?

sin A ? sin B ,试确定实数 y 的取值范围 sin A sin B

21. 已知 ?ABC 中, A, B, C 成等差数列, 向量 n ? (0,?1), 向量 p ? (cos A,2 cos

2

C ) ,求: 2

| n ? p | 的取值范围。

4

? 22. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ? ? 0 , ( 7? x? 是其两条对称轴. 8
(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若 f (? ) ?

?
2

?? ?

?
2

) 的图像如图所示, 直线 x ?

3? , 8

6 ? 3? ? ,且 ? ? ? ,求 f ( ? ? ) 的值. 5 8 8 8

23. 在海岛 A 上有一座海拔 1km 的山峰,山顶设有一个观察站 P .有一艘轮船按一固定方 向做匀速直线航行, 上午 11:00 时, 测得此船在岛北偏东 15? 、 俯角为 30? 的 B 处, 11:10 到 时,又测得该船在岛北偏西 45? 、俯角为 60? 的 C 处. (1) 求船的航行速度; P (2) 求船从 B 到 C 行驶过程中与观察站 P 的最短距离.
C A



B 东

5

平面三角函数专题 11、 3 12、

BDAAB DACAD

? 3 ? 1 3 ? 1? 4 1 1 5 3 , ? 13、 (0, ) 14、 (??, ? ) ? (0, ) ? ( , ??) 15、 ? ? 16、6 12 2 3 3 3 2 ? ? 2

17、解: (1) C ?

?

? ? ?A ? 2 ? ? ? ? a b c ? ? ? A ? ,由正弦定理 ? ? , (2) ? B ? 2 6 2 sin A sin B sin C ? 2? ? ?A ? B ? 3 ?
16 2? 16 8 ? [sin 2 A ? sin 2 ( ? A)] ? ? sin(2 A ? ) 3 3 3 3 6 ? ? ? ? 5? 1 ? ? ? A ? , ? 2A ? ? ? , ? sin(2 A ? ) ? 1, ? 6 2 6 6 6 2 6 20 即 ? a 2 ? b 2 ? 8. ??????12分 3 a 2 ? b2 ?

3

19.

解:(1)设BP ? t ,0 ? t ? 1.则CP ? 1 ? t
1? t 2t CQ ? 1 ? ? . 1? t 1? t

?DAQ ? 45? ? ? , DQ ? tan(45? ? ? ) ?
2 2

1? t , 1? t

2t 2 1 ? t 2 ? PQ ? CP ? CQ ? (1 ? t ) ? ( ) ? 1? t 1? t
2

-

l ? CP ? PQ ? QC ? 1 ? t ?

2t 1 ? t 2 ? ? 2. =定值 1? t 1? t

D

Q

C

t 1 1? t (2)当S ? S正方形ABCD ? S?ABP ? S?ADQ ? 1 ? ? ? 2 2 1? t
P
6

45? ?
A B

1 2 ? 2 ? (t ? 1 ? ) ? 2 ? 2 - 当且仅当t= 2-1时取等号.2 t ?1 ?? ? ?? ? 20 解: (1)∵ m ? n ,∴ m? ? 0 ,∴ a cos A ? b cos B ? 0 n
由正弦定理知,

a b ? ? 2 R ? 1 ,∴ a ? sin A, b ? sin B . sin A sin B

∴ sin A cos A ? sin B cos B, ∴ sin 2 A ? sin 2 B . ∵ A, B ? ? 0, ? ? , ∴ 2 A ? 2 B 或

2 A ? 2 B ? ? .∴ A ? B (舍去), A ? B ?
(2)? sin B ? cos A

?
2

。所以三角形 ABC 是直角三角形

?y ?

sin A ? cos A . sin A cos A

? sin A ? cos A ? 2 sin( A ?

?

? ? ? 3? ), A ? (0, ), A ? ? ( , ) . 4 2 4 4 4

? 2 ,1] ?sin A ? cos A ? (1, 2 ] ? sin( A ? ) ? ( 4 2
令 sin A ? cos A ? t ? 1, 2 ? ,sin A cos A ?

?

?

t 2 ?1 2t 2 ,∴ x ? 2 . ? 2 t ?1 t ? 1 t

∵ t ? 在 1, 2 ? 单调递增,∴ 0 ? t ? ?

1 t

?

?

1 t

2?

1 2 , ? 2 2

∴ x ? 2 2 ,? a ? b ,故 x 的取值范围为 (2 2 ,??) .

7

T 7π 3π π π 22 解:(1) 由题意, = - = ,∴ T=π .∴ f(x)=2sin(2x- ).(5 分) 2 8 8 2 4 π π π π 3π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z),知 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 2 4 2 8 8 π 3π ∴ 函数 f(x)的单调增区间为[kπ - ,kπ + ](k∈Z).(7 分) 8 8 π 6 π 3 (2) 解法 1:依题意得 2sin(2α - )= ,即 sin(2α - )= ,(8 分) 4 5 4 5 π 3π π π ∵ <α < , ∴ 0<2α - < . 8 8 4 2 π π 2 ∴ cos(2α - )= 1-sin ? 2α - ? = 4 4 π π π f( +α )=2sin[(2α - )+ ]. 8 4 4 1-? 3 ? 5
2

4 = ,(10 分) 5

π π π π π π 2 3 4 7 2 ∵ sin[(2α - )+ ]=sin(2α - )cos +cos(2α - )sin = ( + )= , 4 4 4 4 4 4 2 5 5 10 π 7 2 ∴ f( +α )= .(14 分) 8 5 解法 2:依题意得 sin(2α - π 3 3 2 )= ,得 sin2α -cos2α = ,①(9 分) 4 5 5

8



π 3π π π <α < , ∴ 0<2α - < , 8 8 4 2 1-sin ?
2

π ∴ cos(α - )= 4

π 2α - ? = 4

1-?

3 ? 5

2

4 = ,(11 分) 5

π 4 4 2 由 cos(2α - )= 得 sin2α +cos2α = .② 4 5 5 7 2 π 7 2 ①+②得 2sin2α = ,∴ f( +α )= .(14 分) 5 8 5 π 3 3 2 解法 3:由 sin(2α - )= 得 sin2α -cos2α = ,(9 分) 4 5 5 18 7 π 3π π 3π 两边平方得 1-sin4α = ,sin4α = ,∵ <α < ,∴ <4α < , 25 25 8 8 2 2 24 1-cos4α 49 2 2 ∴ cos4α =- 1-sin 4α =- ,(11 分)∴ sin 2α = = . 25 2 50 又 π 3π 7 2 π 7 2 <2α < ,∴ sin2α = ,∴ f( +α )= .(14 分) 4 4 10 8 5

答:这两座建筑物之间的距离为 5km.

x km.在 Rt △ PAB 中,∠ PBA 与俯角相等为30°, 6 1 1 3 ? 3 .同理, Rt △ PCA 中, AC ? ∴ AB ? . ? tan 30? tan 60? 3 在△ ACB 中,∠ CAB ? 15°+45°=60°,
23解:⑴设船速为 x km/h,则 BC ? ∴由余弦定理得 BC ? ( 3)2 ? ( ∴ x ? 6?

3 2 3 21 , ) ? 2? 3 ? cos 60? ? 3 3 3

21 (6分) ? 2 21 km/h,∴船的航行速度为 2 21 km/h. 3 ⑵(方法一) 作 AD ? BC 于点 D ,∴当船行驶到点 D 时, AD 最小,从而 PD 最小. 3 3 3? ? AB ? AC ? sin 60? 3 2 ? 3 7. 此时, AD ? (10分) ? BC 14 21 3
3 259 ∴ PD = 1 ? ( . 7) 2 ? 14 14
∴船在行驶过程中与观察站 P 的最短距离为 259 km.
14

(12分)

(方法二) 由⑴知在△ ACB 中,由正弦定理

AC BC ? , sin B sin 60?

3 3 ? 2 ? 21 . 作 AD ? BC 于点 D ,∴当船行驶到点 D 时, AD 最小, ∴ sin B ? 3 14 21 3 21 3 3 259 . 从而 PD 最小.此时,AD ? AB sin B ? 3 ? ? 7 .∴ PD = 1 ? ( 7) 2 ? 14 14 14 14
∴船在行驶过程中与观察站 P 的最短距离为 259 km.
14
9

(12分)


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