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第5讲 函数的最值


第5讲

函数的最值

(1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值; 若函数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. (3)设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 求 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下: ①求 f(x)在(a,b)内的极值; ②将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 例 1.求函数 f(x)=-x +2x +3,x∈[-3,2]的最值. 3 解:f′(x)=-4x +4x,令 f′(x)=-4x(x+1)(x-1)=0,得 x=-1,x=0,x=1. 当 x 变化时,f′(x)及 f(x)的变化情况如下表:
4 2

x

-3

?1? ? ?3,

-1

0? ? ?1,

0 0 极小值 3

1? ? 0,
+ ↗

1 0 极大值 4

2? ?1,
- ↘

2 -5

f′(x) + 0 - f(x) -60 ↗ 极大值 4 ↘ ∴当 x=-3 时,f(x)取最小值-60; 当 x=-1 或 x=1 时,f(x)取最大值 4.

1-x ?1 ? 例 2.已知函数 f(x)= +ln x,求 f(x)在? ,2?上的最大值和最小值. x ?2 ? -x-?1-x? 1 x-1 解:f′(x)= + = 2 .由 f′(x)=0,得 x=1. 2

x

x

x

?1 ? ∴在? ,2?上,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: ?2 ? 1 ?1,1? x 1 (1,2) ?2 ? 2 ? ? f′(x) - 0 +
f(x)
1-ln 2 单调递减 极小值 0 单调递增

2 1 - +ln 2 2

3 1 ?1? ?1? 3 3 ∵f? ?-f(2)= -2ln 2= (ln e -ln 16),而 e >16,∴f? ?>f(2)>0. 2 2 ?2? ?2? 1 1 ? ? ? ? ∴f(x)在? ,2?上的最大值为 f? ?=1-ln 2,最小值为 0. ?2 ? ?2? 例 3.函数 f(x)=e -x 在区间[-1,1]上的最大值是(
x

) C.e+1 D.e-1

1 A.1+ e
x

B.1

解析:f′(x)=e -1.令 f′(x)=0,得 x=0. ∵当 x∈[-1,0]时,f′(x)≤0;当 x∈[0,1]时,f′(x)≥0. ∴f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增. 又∵f(-1)=

1 1 +1,f(1)=e-1,∴f(-1)-f(1)=2+ -e<0, e e 3 2 9 x +m 在[-2,1]上的最大值为 ,则 m 等于( 2 2
B.1 C.2

∴f(-1)<f(1).∴f(x)max=f(1)=e-1. 例 4.若函数 y=x + A.0
3

) D.

5 2

解析: y'= ? x3 ?

? ?

3 2 ? x ? m ? ' =3x2+3x=3x(x+1). 2 ?
1 . 2

由 y′=0 得 x=0 或 x=-1.∴f(0)=m,f(-1)=m+ 又∵f(1)=m+
2

5 5 5 9 ,f(-2)=-8+6+m=m-2,∴f(1)=m+ 最大.∴m+ = .∴m=2. 2 2 2 2

例 5.函数 f(x)=x -4x+1 在[1,5]上的最大值和最小值是( ) A.f(1),f(3) B.f(3),f(5) C.f(1),f(5) D.f(5),f(2) 解析:f′(x)=2x-4.令 f′(x)=0 得 x=2. 又 f(1)=-2,f(2)=-3,f(5)=6,故最大值是 f(5),最小值是 f(2). 例 6.函数 f(x)=2x -6x +m(m 是常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么在[-2,2]上的最小值为( A.-37 B.-29 C.-5 D.-11 2 解析:y′=6x -12x=6x(x-2),∵在(-2,2)上,只有 x=0 是 f(x)的极值点,且为极大值点, ∴f(x)极大值=f(0)=m.又 f(-2)=-16-24+m=m-40, f(2)=16-24+m=m-8, 容易判断 m-40<m-8<m,∴m=3.∴f(x)min=m-40=-37.
3 2

)

例 7.函数 f(x)=x -3x(-1<x<1)( ) A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,也无最小值 D.无最大值,但有最小值 2 解析:f′(x)=3x -3, ∵-1<x<1,∴f′(x)<0,∴f(x)在区间(-1,1)上单调递减,函数既没有最大值也没有最小值.

3

练习
01.函数 f(x)=x -2x +1 在区间[-1,2]上的最大值与最小值分别是 5 A.1 和-2 B.2 和-1 C.1 和- D.1 和 0 27 3 2 02.函数 f(x)=x +x -x 在区间[-2,1]上的最大值、最小值分别是___、____. x 03.函数 f(x)=e -x 在区间[-1,1]上的最大值是 A.1+
3 2

1 e
2

B.1

C.e+1

D.e-1

04.函数 f(x)=x -4x+1 在[1,5]上的最大值和最小值是( ) A.f(1),f(3) B.f(3),f(5) C.f(1),f(5) D.f(5),f(2) 3 2 05.函数 f(x)=2x -6x +m(m 是常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么在[-2,2]上的最小值为( A.-37 B.-29 C.-5 D.-11 06.若函数 y=x + A.0
3 2 3

)

3 2 9 x +m 在[-2,1]上的最大值为 ,则 m 等于 2 2
B.1 C.2 D.

5 2

07.函数 f(x)=x +x -x 在区间[-2,1]上的最大值、最小值分别是__________、__________. 3 08.函数 f(x)=12x-x 在区间[-3,3]上的最小值是( ) A.-9 B.-16 C.-12 D.-11 09.函数 y=f(x)=ln x-x 在区间(0,e]上的最大值为 A.-e B.1-e C.-1 D.0 10.函数 f(x)=xln x 的最小值为________. 3 2 11.若函数 f(x)=2x -6x +m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,则此函数在[-2,2]上的最小值为 A.-37 B.-29 C.-5 D.-11 ( )
3 12. (2012 年重庆高考)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16

(1)求 a、b 的值; (2)若 f ( x ) 有极大值 28,求 f ( x ) 在 [?3,3] 上的最大值. 1 3 2 2 13.已知函数 f(x)= x -ax +(a -1)x+b(a,b∈R). 3 (1)若 x=1 为 f(x)的极值点,求 a 的值; (2)若 y=f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为 x+y-3=0,求 f(x)在区间[-2,4]上的最大值.


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