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天一大联考理科数学一


河南省开封高级中学等 22 校 2015 届高三天一大联考(一) 理科数学试卷
【试卷综析】试题遵循了考查基础知识和基本技能为主体的原则,着重体现了对“双基”的 考查。试卷考查了中学数学尤其是考试说明中的大部分知识点,选择题、填空题着重考查了 集合、复数、函数的定义域、图象、单调性、初等函数、三角函数、不等式、程序框图、立 体几何、排列组合、圆锥曲线、统计初步等常规知识点;解答题也着眼于常规的基本知识和 基本技能的考查,考查了三角函数和解三角形、概率统计、立体几何等考生感觉熟悉、容易 入手的内容,梯度设计合理。整份试卷中大部分是基础题目,这些题目的设计回归教材和中 学教学实际,以自然但不俗套的形式呈现,既保证了高考试题的创新性,又让考生能以一种 平和的心态面对试题,在有限的时间内尽力发挥出自己的最佳水平,保证了考生的“基础得 分” ,从而保证了考试较高的信度和效度。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 【题文】(1)已知集合 A= ? x | 2 ?
x

? ?

1? ? ,B ? ?x | log2 x ? 1? ,则 A ? B ? ( 2?
D. ? ?1,1?



A. ? ?1, 2?

B. ?1, 2 ?

C. ? 0, 2 ?

【知识点】指数函数与对数函数;集合的交集.A1,B6,B7 【答案解析】C 解析:解:由题可知

1 2 x ? ? x ? ?1, log 2 x ? 1? 0 ? x ? 2, A ? B ? ?x | 0 ? x ? 2? ,所以正确选项为 C. 2
【思路点拨】根据指数不等式与对数不等式分别求出 x 的取值,然后求出交集. 【题文】(2)已知复数

a ? i 2016 ? i (i 是虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i
D.-1

(

)

A.2 B. 2 C.1 【知识点】复数的概念.L4

【答案解析】A 解析:解:由题可知 i

2016

? 1?

a ? i 2016 a ? i a ? 2 ? ? 2a ? 1? i ?i ? ? ,又 1 ? 2i 1 ? 2i 5

因为复数为纯虚数,所以 a-2=0? a ? 2 【思路点拨】根据复数的概念对复数进行化简,再利用分母实数化求出实部与虚部,最后求 出结果. 【题文】(3)已知实数 1,m,9 成等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1的离心率为 m

A.

6 3

B. 2

C.

6 或2 3

D.

2 或 3 2

【知识点】等比数列;椭圆;双曲线.D3,H5,H6 【答案解析】C 解析:解:根据条件可知 m ? 9 ? m ? ?3 ,当
2

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m ? 3时,e=

c 6 ? , m ? ?3时,e ? 2 ,所以正确选项为 C. a 3

【思路点拨】根据条件可求出 m,分别求出不同情况下的离心率. 【题文】(4)下列函数中,与函数 y ? x3 的奇偶性、单调性均相同的是 ( ) A. y ? e x B. y ? 2 ?
x

1 2x

C. y ? ln x

D. y ? tan x

【知识点】函数的奇偶性,单调性.B3,B4

?1? 【答案解析】B 解析:解:? y ? x 为奇函数,在 R 上单调递增, y ? 2 ? ? ? 也是奇函 ?2?
3

x

x

数,在 R 上单调递增,所以只有 B 选项正确. 【思路点拨】利用函数的奇偶性与单调性的概念对函数进行分析求解即可. 【题文】 (5)如图是某次诗歌比赛上七位评委为甲、 乙两名选手打出的分数茎叶图 (其中 a、 b 为数字 0---9 中的一个) ,分别去掉一个最高分和一个最低分,记甲、乙两名选手得分的 平 均 数 分 别 为 x1 , x2 , 得 分 的 方 差 分 别 为 y1、y2 , 则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( )

A. x1 ? x2 , y1 ? y2 【知识点】统计.I4

B. x1 ? x2 , y1 ? y2

C. x1 ? x2 , y1 ? y2

D. x1 ? x2 , y1 ? y2

【答案解析】C 解析:解:由题计算可知 x1 ? 84, y1 ?

8 12 , x2 ? 85, y2 ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 5 5

【思路点拨】 根据平均数的概念与方差的概念分别计算出两组数据的特征数, 然后进行比较 即可. 【题文】(6)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?3, ak ?1 ? k=( ) A.10 B.11 C.12 D.13 【知识点】数列的概念.D2 【答案解析】D 解析:解:解:∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=-3, ak ?1 ?

3 , S k ? ?12, 则正整数 2

3 k ?1 ? 3? 3 , Sk ? ?12,? Sk ?1 ? ? ?3 ? ? ? ?12 ? 2 2 ? 2? 2

解得 k=13.故答案为:13. 【思路点拨】根据数列的概念直接求解. 【题文】 (7)执行如图所示的程序框图,若输出 s ? ?126 ,则判断框中应填入的条件是 ( )
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A. n ? 4 ? B. n ? 5? C. n ? 6 ? D. n ? 7 ? 【知识点】程序框图.L1 1 2 n+1 【答案解析】解析:解 : 由 程 序 框 图 知 : 算 法 的 功 能 是 求 S=-2 -2 - ? -2 的 值 , ∵ 输 出 S=-126 , S ? ?

2 ?1 ? 2n?1 ? 1? 2

? ?126 ? n ? 5

∴ 跳 出 循 环 的 n 值 为 6, ∴ 判 断 框 内 的 条 件 应 为 n> 5 或 n≥ 6. 故 选 : B. 1 2 n+1 【思路点拨】算 法 的 功 能 是 求 S=-2 -2 - ? -2 的 值 , 根 据 输 出 的 S 值 , 确 定 跳 出 循环的 n 值,从而确定判断框内的条件 【题文】 (8)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.48- 16? B. 96 ? 4? C. 96 ? 8? D. 48 ? 4? 【知识点】三视图.G2 【答案解析】C 解析:解:由题意可知几何体为长方体内挖去一个圆柱,所以根据条件可知 几何体的体积为 V ? 8 ? 6 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 96 ? 8? ,所以 C 选项正确.
2

【思路点拨】根据三视图可抽象出几何体的形状,再利用体积公式进行计算.

? 4 x ? 3 y ? 25 ? 0 ? 【题文】(9)若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 4 y ? 8 ? 0 则 Z=2x-y 的最大值为( ) ? x ?1 ? 0 ?
A.2 B.5 C.1 【知识点】线性规划.E5 D.4

【答案解析】B 解析:解:由题可知目标函数 Z 的最大值在 ? 4,3? 处取得,代入可得
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Z= 2 ? 4 ? 3 ? 5 【思路点拨】由线性规划可知目标函数的可行域,再根据目标函数可知最大值取得的位置. 【题文】(10)已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2sin x cos x ,则下列结论正确的是 ( ) A.两个函数的图像均关于点 ? ?

? ? ? , 0 ? 成中心对称 ? 4 ?

B. ①的图像的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的 2 倍,再向右平移 C.两个函数在区间 ? ?

? 个单位即得②的图像 4

? ? ?? , ? 上都是单调递增函数 ? 4 4?

D.两个函数的最小正周期相同 【知识点】三角函数的化简;三角函数对称中心;三角函数的单调区间;三角函数的图像的 移动.C3,C4. 【答案解析】C 解析:解:由题可知 y ? sin x ? cos x ?

?? ? 2 sin ? x ? ? ;① 4? ?

? ? ? y ? 2 2 sin x cos x ? 2 sin 2x ,②,由函数的性质可知 ? ? , 0 ? 为①的对称中心,不是 ? 4 ?
②的对称中心,①的图像的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的 2 倍,再向右平移

? 个单位 4

?? ? y ? 2 sin ? 2 x ? ? 的图像,与②不同,①的周期为 2? ,②的周期为 ? .所以只有 C 为正 4? ?
确选项. 【思路点拨】根据三角函数的性质进行求解. 【题文】 (11)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F,点 P ? x, y ? 为该抛物线上的动点,又点 A ? ?1,0? , 则

PF PA

的取值范围是(



A. ?

? 2 ? ,1? ? 2 ?

B. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

C. ?

? 2 ? , 2? ? 2 ?

D. ?1, 2?

【知识点】直线与圆锥曲线.H8 【答案解析】A 解析:解:过 P 作 抛 物 线 准 线 的 垂 线 , 垂 足 为 B , 则 |PF|=|PB| , 2 ∵ 抛 物 线 y =4x 的 焦 点 为 F ( -1 , 0 ) , 点 A ( -1 , 0 ) , ∴

PF PA

? sin ?BAP
2 2 2 2

设 过 A 抛 物 线 的 切 线 方 程 为 y=k ( x+1 ) , 代入抛物线方程可得 k x + ( 2k -4 ) x+k =0 ,
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∴ △ = ( 2k -4 ) ) -4k =0 , ∴ k= ± 1

2

2

4

? 2 ? sin ?BAP ? ? ,1? ? 2 ?
故 答 案 为 : s i n?BAP ? ?

? 2 ? ,? 1 ? 2 ?

【思路点拨】把已知转化成直线与抛物线相切有解的问题即可解决. 【题文】 (12) 若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? ? x? ? f ? x? , f ? 2 ? x ? ? f? x ? , 且当

x ??0,1 ? 时, f ? x ? ? 1 ? x 2 ,则函数 H ? x ? ? xe x ? f ? x ? 在区间 ??5,1? 上的零点个数为
( ) A.4 B.8 C.6 D.10 【知识点】导数与函数的单调性.B12 【答案解析】C 解析:解:定 义 在 R 上 的 函 数 f( x )满 足 f( -x ) =f( x ) , f ( 2-x ) =f ( x ) , x ∴ 函 数 是 偶 函 数 , 且 图 象 关 于 x=1 对 称 , ∵ 函 数 f ( x ) =xe 的 定 义 域 为 R , x x x x x x x x f ′ ( x ) = ( xe ) ′ =x ′ e +x ( e ) ′ =e +xe 令 f ′ ( x ) =e +xe =e ( 1+x ) =0 , 解 得 : x=-1 . 列 表

由 表 可 知 函 数 f( x ) =xe 的 单 调 递 减 区 间 为( - ∞ , -1 ),单 调 递 增 区 间 为( -1 , +∞ ) . 当 x=-1 时 , 函 数 f ( x ) =xe 的 极 小 值 为 f ? ?1? ?
x

x

1 , e

y=|xe | , 在 x=-1 时 取 得 极 大 值 :

x

1 e

, x∈ ( 0, +∞ ) 是 增 函 数 , ∴ x< 0 时 , 两 个 函 数 图 象 有 5 个 交 点 , x> 0 时 , 两 个 函 数 图 象 有 1 个 交 点 . 两个函数图象共有 6 个交点. x 即 函 数 H ( x ) =|xe |-f ( x ) 在 区 间 [-3 , 1] 上 有 4 个 零 点 . 故答案为:6 【思路点拨】利用导数来判定函数的单词性,根据函数的性质求交点的个数.
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第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13---21 题为必考题,每个试题 考生都必需作答,第 22---24 题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 【题文】 (13)已知向量 OA ? ? 3, ?1? , OB ? ? 0, 2 ? , 若OC ? AB ? 0, AC ? ? OB , 则实数 ? 的 值为 【知识点】向量的坐标运算.F2 【答案解析】 2 解析: 解: 设 OC= ? x, y ? 由向量的运算可知 OC ? AB ? ?3x ? 3 y ? 0? x ? y ,

??? ?

??? ?

???? ??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ? x ?3 ? 0 AC ? ? x ? 3, y ? 1? ? ? OB ? ? 0, 2? ? ? ? ?? ? 2 ? y ? 1 ? 2?
【思路点拨】根据向量的坐标运算找到向量之间的关系.

? a 3? 3 2 2 【题文】 (14) ? ax ? 的展开式中含 x 项的系数为 ? ,则 ? x dx 的值为 ? ? ? ? 2 2 6 ? ?
【知识点】二项式定理;定积分.J3,B13. 【答案解析】 3或

3

? 7 3? 2 2 2 解析:解:由二项式定理可知 x 的系数为 C3 a ? ? ? ? ? ?, 3 ? 6 ?

7 ? a 2 ? 1? a ? ?1 ,所以积分的值为 3或 . 3
【思路点拨】利用二项式特定项的求法表示出 x 的系数,再求出 a 的值,再求积分的值. 【题文】 (15)三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,
2

SA ? 平面ABC,AB ? BC,又SA=AB=BC=2, ,则球 O 的表面积为
【知识点】球的表面积公式.G8 【答案解析】 12? 解析:解:由题可知球的直径为 SA2 +AB2 +BC2 =2 3 ,半径为 3 ,

S=4? R 2 =12?
【思路点拨】根据几何体的条件求出外接球的半径,利用球的表面积公式计算.

?x n ? ?1? sin ? 2n , x ? [2n , 2n ? 1) ? ? ? 2 【题文】(16)已知函数 f ? x ? ? ? ? n ? N ? ,若 ? x n ?1 ?? ?1? sin ? 2n ? 2, x ? [2n ? 1, 2n ? 2) ? ? 2
* 数列 ?an ? 满足 am ? f ? m ? m ? N ,数列 ?am ? 的前 m 项和为 Sm ,则 S104 ? S96 ?

?

?

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【知识点】等差数列.D2 【答案解析】 804 解析: 解: 解析: 由题设条件得: f ?1? ? 1, f ? 2? ? 2, f ?3? ? 3, f ? 4? ? 4,? 由此归纳得 f ? n? ? n , 所以 S104 ? S96 ?

104 ? a1 ? a104 ? 96 ? a1 ? a96 ? ? ? 804 2 2

【思路点拨】根据解析式求出数列的性质,按数列的性质求出最后结果. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 【题文】(17)(本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b cos C ? ? 3a ? c ? cos B 。 (I)求 cos B 的值. (II)若 BA ? BC ? 2, b ? 2 2 ,求 a 和 c. 【知识点】正弦定理;余弦定理;两角和与差的展开式.C5,C8 【答案解析】解析:解: (Ⅰ)由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C, 又 b cos C ? 3a cos B ? c cos B , n i c o B s 所以 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B , 即s

??? ? ??? ?

s n C i c ? o s C3 s n i B c o s

? A

B



所以 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B , 即 sin A ? 3sin A cos B ,又 sin A ? 0 ,

1 . 3 ??? ? ??? ? 1 (Ⅱ)由 BA?BC ? 2, 得 ac cos B ? 2 ,又 cos B ? ,所以 ac ? 6 . 3
所以 cos B ? 由 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B, b ? 2 2 ,可得 a ? c ? 12 ,
2 2

所以 (a ? c) ? 0 ,即 a ? c ,所以 a ? c ? 6 .?
2

【思路点拨】由正弦定理与两角和与差的展开式进行计算;根据余弦定理求出边长. 【题文】(18)(本小题满分 12 分) 某品牌汽车的 4S 店对最近 100 位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如下表所示:

已知分 3 期付款的频率为 0.15,并且 4S 店销售一辆该品牌的汽车,顾客分 1 期付款,其利 润为 1 万元; 分 2 期或 3 期付款, 其利润为 1.5 万元; 分 4 期或 5 期付款, 其利润为 2 万元, 以频率作为概率. (I)求事件 A: “购买该品牌汽车的 3 位顾客中,至多有 1 位分 4 期付款”的概率; (II)用 X 表示销售一辆该品牌汽车的利润,求 X 的分布列及数学期望 E ? x ?
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【知识点】概率;离散型随机变量的分布列与数学期望.K5,K6 【答案解析】解析:解: (Ⅰ)由

a ? 0.15 ,得 a ? 15 ,因为 35 ? 25 ? a ? 10 ? b ? 100 , 100

所以 b ? 15 , “购买该品牌汽车的 3 位顾客中至多有 1 位采用 4 期付款”的概率
2 ? P( A) ? 0.93 ? C1 3 ? 0.1? (1 ? 0.1) ? 0.972. (Ⅱ)记分期付款的期数为 ,依题意得

P(? ? 1) ? 0.35 ,P(? ? 2) ? 0.25 ,P(? ? 3) ? 0.15 ,P(? ? 4) ? 0.1 ,P(? ? 5) ? 0.15 ,
因为 X 的可能取值为 1,1.5, 2 ,并且 P( X ? 1) ? P(? ? 1) ? 0.35 ,

P( X ? 1.5) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? 0.4 ,

P( X ? 2) ? P(? ? 4) ? P(? ? 5) ? 0.1 ? 0.15 ? 0.25 . 所以 X 的分布列为

X
所以 X 的数学期望

1.5
0.35

2
0.25


P

0.4

E ( X ) ? 1? 0.35 ? 1.5 ? 0.4 ? 2 ? 0.25 ? 1.45 (万元).??
【思路点拨】由题意求出事件 A 的概率;根据条件列出分布列利用公式求变量的数学期望. 【题文】(19)(本小题满分 12 分) 如图,正四棱锥 P ? ABCD 的高为 3,底面边长为 2,E 是棱 PC 的中点,过 AE 作平面与棱 PB、PD 分别交于点 M、N(M、N 可以是棱的端点). (I)当 M 是 PB 的中点时,求 PN 的长; (II)求直线 AE 与平面 PBC 所成角的正弦值. 【知识点】正四棱锥;向量求直线与平面所成的角.G7,G10. 【答案解析】解析:解: (Ⅰ)当 M 是 PB 的中点时, ME // BC .因为 BC // 平面 PAD , 所以 ME // 平面 PAD ,所以 ME // AN .又 ME // AD ,所以 N 、 D 两点重合.
2 2 所以 PN ? PD ? 3 ? ( 2) ? 11 .

(Ⅱ)解法一:连接 AC 、 BD 交于点 O ,以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标 系,则 B( 2, 0, 0), C (0, 2, 0), P(0, 0,3), A(0, ? 2, 0), E ? 0,

? ? ?

2 3? , ?. 2 2? ?

??? ? ??? ? ??? ? ? 3 2 3? ? PB ? ( 2, 0, ?3), PC ? (0, 2, ?3), AE ? ? ? 0, 2 , 2 ? ?. ? ? ?
设平面 PBC 的一个法向量为 m =(x, y, z ), 则

??? ? ? ?m ? PB ? 2 x ? 3z ? 0, 令 z ? 2 ,得 m ? (3,3, 2). ? ? ??? m ? PC ? 2 y ? 3 z ? 0, ? ?
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设直线 AE 与平面 PBC 所成的角为 ? ,则

??? ? sin ? ? cos? m , AE ? ?

9 2 3 2 ? 2 2 ? 2 30 . 15 3 3 ?2 5 2
2 30 15

所以直线 AE 与平面 PBC 所成角的正弦值为

【思路点拨】根据线段的长度,利用勾股定理求值;建立空间坐标系,求出法向量,求出夹 角. 【题文】(20)(本小题满分 12 分) 定圆 M: x ? 3

?

?

2

? y 2 ? 16 ,动圆 N 过点 F

?

3, 0 且与圆 M 相切,记圆心 N 的轨迹为 E.

?

(I)求轨迹 E 的方程; (II)设点 A,B,C在 E 上运动,A 与 B 关于原点对称,且 AC ? CB ,当 ? ABC 的面 积最小时,求直线 AB 的方程. 【知识点】椭圆的轨迹方程,直线与椭圆的位置关系.H5,H8 【答案解析】 解析: 解: (Ⅰ) 因为点 F (? 3?,?0?) 在圆 M : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 内, 所以圆 N 内切于圆 M . 因为 | NM | ? | NF |? 4 ?| FM | , 所以点 N 的轨迹 E 为椭圆, 且 2a ? 4, c ? 3 ,所以 b ? 1 , 所以轨迹 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .(Ⅱ) (i)当 AB 为长轴(或短轴)时,依题意知,点 C 4

就是椭圆的上下顶点(或左右顶点) , 此时 S ?ABC ?

1 ? | OC | ? | AB |? 2 . 2

(ii)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时,设其斜率为 k ,直线 AB 的方程为 y ? kx ,

? x2 4 4k 2 ? ? y 2 ? 1, 2 2 , y ? , 联立方程 ? 4 得 xA ? A 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? y ? kx, ?
2 2 所以 | OA | ? x A ? y A ?
2

4(1 ? k 2 ) .由 | AC |?| CB | 知,△ ABC 为等腰三角形,O 为 AB 的 1 ? 4k 2

? x2 ? y 2 ? 1, ? 1 ?4 中点, OC ? AB ,所以直线 OC 的方程为 y ? ? x ,由 ? 解得 k ? y ? ? 1 x, ? k ?
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2 xC ?

4k 2 4(1 ? k 2 ) 4 2 2 , | OC | ? , y ? , k2 ? 4 C k2 ? 4 k2 ? 4

S?ABC ? 2S?OAC ?| OA | ? | OC |?

4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) 4(1 ? k 2 ) ? ? , 1 ? 4k 2 k2 ? 4 (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4)

由于 (1 ? 4k )(k ? 4)?
2 2

8 (1 ? 4k 2 ) ? (k 2 ? 4) 5(1 ? k 2 ) ? ,所以 S ?ABC… ,????(11 5 2 2

分)
2 2 当且仅当 1 ? 4k ? k ? 4 ,即 k ? ?1 时等号成立,此时△ ABC 面积的最小值是

8 .因为 5

8 8 2 ? ,所以△ ABC 面积的最小值为 ,此时直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ?x . 5 5
【思路点拨】根据定义求出椭圆方程,利用直线与椭圆的联立方程讨论面积. 【题文】 (21) (本小题满分12分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? ln x, g ? x ? ? bex ? c ? a, b, c ? R ? , 且 g ? x ? 的图像在 0, g ? x ? 外的切 线方程为 y ? x ? 1 ,其中e为自然对数的底数. (I)讨论 f ? x ? 的极值情况; (II)当a=0时,求证: ?x ? ? 0, ??? , f ? x ? ? g ? x ? ? 2 【知识点】基本初等函数的导数;指数函数与对数函数;导数证明不等式.B6,B7.B11 【答案解析】解析:解:(Ⅰ) 函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? a ?

?

?

1 ( x ? 0) . x

0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数, f ( x) 没有极值; 当 a…

1? ? a? x ? ? 1 1? ? a? 当 a ? 0 时, f ?( x) ? ? ,若 x ? ? 0, ? ? ,则 f ?( x) ? 0 ;若 x ? (? , ??) ,则 a a? x ?
f ?( x) ? 0 ,

1 1 1 0 ? f ( x) 存在极大值, 且当 x ? ? 时, f ( x)极大值 ? f (? ) ? ln(? ) ? 1 .综上可知: 当 a… a a a
时, f ( x) 没有极值; 当 a ? 0 时, f ( x) 存在极大值,且当 x ? ?

1 1 时, f ( x)极大值 ? ln(? ) ? 1 . a a

x (Ⅱ) ? 函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? be ,? g ?(0) ? b .? g (0) ? b ? c ,? ?

?b ? c ? 1, ? ? ? b ? 1,

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) ?g (x ) ? f( x ) 2? 令?(x ? g ( x) ? e x .当 a ? 0 时,f ( x) ? ln x ,

, 则?(x ) ? e xn l ? 2x ? ,

? ? ?( x) ? e x ?

1 ,且 ? ?( x ) 在 (0, ??) 上为增函数, x 1 ?t 设 ? ?( x) ? 0 的根为 x ? t ,则 et ? ,即 t ? e , t

? 当 x ? (0, t ) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 (0, t ) 上为减函数;
当 x ? (t , ??) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 (t , ??) 上为增函数,

??( x)min ? ?(t ) ? et ? ln t ? 2 ? et ? ln e?t ? 2 ? et ? t ? 2 ? ? ?(1) ? e ? 1 ? 0 ,

? ? ? ? ? e ? 2 ? 0 ,? t ? ? ,1? , 2 2
x 由于函数 ? ( x) ? e ? x ? 2 在 ? ,1? 上为增函数,

?1? ? ?

?1 ? ? ?

?1 ? ?2 ?
1 2

∴ ? ( x) min ? ? (t ) ? e ? t ? 2 ? e ?
t

1 1 ? 2 ? 2.25 ? ? 2 ? 0 , 2 2

∴ f ( x) ? g ( x) ? 2 . 【思路点拨】根据导数讨论函数的极值问题,构造函数证明不等式. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 作答时请写清题号. 【题文】 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,点 A 是以线段 BC 为直径的圆 O 上一点,AD ? BC 于点 D,过点 B 作圆 O 的切线, 与 CA 的延长线交于点 E,点 G 是 AD 的中点,连接 CG 并延长与 BE 相交于点 F,延长 AF 与 CB 的延长线相交于点 P.

(Ⅰ)求证:BF=EF; (Ⅱ)求证:PA 是圆 O 的切线. 【知识点】几何证明选讲. N1
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【答案解析】 (Ⅰ)略; (Ⅱ)略. 解析: (Ⅰ)因为 BC 是圆 O 的直径, 所以 EB ? BC , 又因为 AD ? BC , BE 是圆 O 的切线, △DGC , △FEC ∽ △GAC , 所以 AD ∥ BE ,可知△BFC ∽

BF CF EF CF BF EF ? , ? ? ,所以 ,因为 G 是 AD 的中点,所以 DG ? AG , DG CG AG CG DG AG 所以 F 是 BE 的中点, BF ? EF . ????????????????(5 分) (Ⅱ)如图,连接 AO,AB ,因为 BC 是圆 O 的直径,所以 ?BAC ? 90° .
所以

在 Rt△BAE 中,由(Ⅰ)知 F 是斜边 BE 的中点, 所以 AF ? FB ? EF ,所以 ?FBA ? ?FAB . 又因为 OA ? OB ,所以 ?ABO ? ?BAO . 因为 BE 是圆 O 的切线,所以 ?EBO ? 90° . 因为 ?EBO ? ?FBA ? ?ABO ? ?FAB ? ?BAO ? ?FAO ? 90° , 所以 PA 是圆 O 的切线.??????????????????????(10 分) △DGC , △FEC ∽ △GAC , 【思路点拨】 (Ⅰ)易得 AD ∥ BE ,从而得△BFC ∽ 所以

BF CF EF CF BF EF ? , ? ? ,所以 ,因为 G 是 AD 的中点,所以 DG ? AG , DG CG AG CG DG AG
?

所以 F 是 BE 的中点, BF ? EF .(Ⅱ)即证 PA ? OA ,即证 ?BAO ? ?FAB ? 90

在 Rt△BAE 中,由(Ⅰ)知 F 是斜边 BE 的中点,所以 AF ? FB ? EF , 所以 ?FBA ? ?FAB .又因为 OA ? OB ,所以 ?ABO ? ?BAO .因为 BE 是圆 O 的切线, 所以 ?EBO ? 90° .因为 ?EBO ? ?FBA ? ?ABO ? ?FAB ? ?BAO ? ?FAO ? 90° 所以 PA 是圆 O 的切线. 【题文】 (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,是过定点 P(4,2)且倾斜角为 ? 的直线;在极坐标系(以坐标原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,取相同长度单位)中,曲线 C 的极坐标方程为

? ? 4cos ? .
(Ⅰ)写出直线的参数方程,并将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C 与直线相交于不同两点 M、N,求 PM ? PN 的取值范围. 【知识点】极坐标与参数方程. 【答案解析】 (Ⅰ) ? N3

? x ? 4 ? t cos ? , (t 为参数, x2 ? y 2 ? 4 x ; (Ⅱ) 4, 4 2 ? ? ? y ? 2 ? t sin ?

?

本卷第 12 页(共 14 页)

解析: (Ⅰ)直线的参数方程为 ?

? x ? 4 ? t cos ? , (t 为参数.?????(2 分) ? y ? 2 ? t sin ?

因为 ? ? 4 cos ? ,所以 ? 2 ? 4? cos? ,所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 x . ?????????????????????????????????(4 分) (Ⅱ)将 ?

? x ? 4 ? t cos ? , 代入 C : x2 ? y 2 ? 4 x 中,得 t 2 ? 4(sin ? ? cos ? )t ? 4 ? 0 ,则 ? y ? 2 ? t sin ?

?? ? 16(sin ? ? cos ? ) 2 ? 16 ? 0, ? 有 ? t1 ? t2 ? ?4(sin ? ? cos ? ), ????????????????(6 分) ? t t ? 4, ? 12
所以 sin ? cos ? ? 0 .又 ? ? [0, π) ,所以 ? ? ? 0,

? ?

π? ?, 2?

π? ? ……… (8 分) | PM | ? | PN |?| t1 | ? | t2 |? ?(t1 ? t2 ) ? 4(sin ? ? cos ? ) ? 4 2 sin ? ? ? ? , 4? ?
由? ?

π ? π 3π ? 2 π? ? ?? , ?得 ? sin ? ? ? ? ? 1 ,所以 | PM | ? | PN |? (4, 4 2] .…(10 分) 4 ?4 4 ? 2 4? ?

【思路点拨】 (Ⅰ)设直线上任一点 M,PM=t,则直线的参数方程为 ?
2

? x ? 4 ? t cos ? , (t 为参 ? y ? 2 ? t sin ?

数.(Ⅱ)把直线的参数方程代入圆的普通方程得 t ? 4(sin ? ? cos ? )t ? 4 ? 0

?? ? 16(sin ? ? cos ? ) 2 ? 16 ? 0, ? 则有 ? t1 ? t2 ? ?4(sin ? ? cos ? ), ,所以 sin ? cos ? ? 0 . ? t t ? 4, ? 12
又 ? ? [0, π) ,所以 ? ? ? 0,

? ?

π? ? ,所以 2?

π? ? | PM | ? | PN |?| t1 | ? | t2 |? ?(t1 ? t2 ) ? 4(sin ? ? cos ? ) ? 4 2 sin ? ? ? ? , 4? ?
由? ?

π ? π 3π ? 2 π? ? ? ? , ? 得, ? sin ? ? ? ? ? 1 ,所以 | PM | ? | PN |? (4, 4 2] . 4 ?4 4 ? 2 4? ?

【题文】(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 2x ? a ? x ? 3 ? 2x ? 4 的解集为 A.
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(Ⅰ)若 a=1,求 A;(Ⅱ)若 A=R,求 a 的取值范围. 【知识点】含绝对值的不等式. N4

2} ; 【答案解析】 (Ⅰ) A ? {x | x? 0 或 x…

(Ⅱ) ? ??, ?2?

2 x ? 4 , 得 x? ? 3 ; 解析: (Ⅰ)当 x? ? 3 时,原不等式化为 ?3x ? 2…
当 ?3 ? x? 当x?

1 2 x ? 4 ,得 ?3 ? x? 0 ; 时,原不等式化为 4 ? x… 2

1 2, 2 x ? 4 ,得 x… 时,原不等式化为 3x ? 2… 2

2} .???????????????(5 分) 综上, A ? {x | x? 0 或 x…
(Ⅱ)当 x? ? 2 时, | 2 x ? a | ? | x ? 3 | 厖 0 2 x ? 4 成立,所以此时 a ? R .

2 x ? 4 ,得 x…a ? 1 或 x? 当 x ? ?2 时, | 2 x ? a | ? | x ? 3 |?| 2 x ? a | ? x ? 3…
上恒成立,得 a? ? 2 . 综上, a 的取值范围为 ? ??, ?2? .?????????????(10 分)

a ?1 ,在 x>-2 3

【思路点拨】 (Ⅰ)分段讨论解不等式; (Ⅱ)通过对不等号右边式子的符号的讨论,确定实 数 a 的取值条件,最后求它们的交集即可.

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