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等比数列的前n项和(1)导学案


胶州实验中学学案

高一数学组

§2.5 等比数列的前 n 项和(1) 编制人:刘迪 使用时间:2012.5.17 课前预习区 (预习教材 P55 ~ P56,找出疑惑之处) 复习 1:什么是数列前 n 项和?等差数列的前 n 项和公式是什么?

复习 2:已知等比数列中, a3

? 3 , a6 ? 81 ,求 a9 , a10 .

课堂交流区 探究任务: 等比数列的前 n 项和 故事: “国王对国际象棋的发明者的奖励” 新知:等比数列的前 n 项和公式 设等比数列 a1 , a2 , a3 ,? an ? 它的前 n 项和是 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an ,公比为 q≠0, 公式的推导方法一:

?Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ?a1qn?2 ? a1qn?1 ? 则? ?qSn ? ?

? (1 ? q) Sn ?
当 q ? 1时, Sn

?



或 Sn

?



当 q=1 时, S n ? 公式的推导方法二:

a a2 a3 ? ??? n ? q, a1 a2 an ?1 a2 ? a3 ? ? ? an S ?a ? n 1 ?q, 有 a1 ? a2 ? ? ? an?1 Sn ? an
由等比数列的定义, 即 ∴

Sn ? a1 ?q. Sn ? an
(结论同上)

(1 ? q)Sn ? a1 ? an q

试试:求等比数列

1 1 1 , , ,…的前 8 项的和. 2 4 8

※ 典型例题 例 1 已知 a1=27,a9=

1 ,q<0,求这个等比数列前 5 项的和. 243

1

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变式: a1 ? 3 , a5 ? 48 . 求此等比数列的前 5 项和.

例 2 某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%,那么从今年起, 大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位)?

※ 动手试试 练 1. 等比数列中, a3 ?

3 9 , S3 ? ,求a1及q. 2 2

总结提升 1. 等比数列的前 n 项和公式; 2. 等比数列的前 n 项和公式的推导方法; 3. “知三求二”问题,即:已知等比数列之 a1 , an , q, n, Sn 五个量中任意的三个,列方程组可以求出其余的 两个. 知识拓展 1. 若 q ? ?1, m? N* ,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , ??? 构成新的等比数列,公比为 q m . a 2. 若三个数成等比数列,且已知积时,可设这三个数为 , a, aq . 若四个同符号的数成等比数列,可设这四个 q a a 数为 3 , , aq, aq3 . q q 3. 证明等比数列的方法有: (1)定义法:

an ?1 2 ?q; a (2)中项法: an ?1 ? an ? n ? 2 . an ?S1 ? a1 表示. ?Sn ? Sn?1 ? an (n ? 1)
).

4. 数列的前 n 项和构成一个新的数列,可用递推公式 ? ※ 当堂检测: 1. 数列 1, a , a2 , a 1 ? an A. B. 1? a 1 ? a n?2 C. D. 1? a
3

,?, a 1 ? a n ?1 1? a

n?1

,?的前 n 项和为(

以上都不对 ). ).

2. 等比数列中,已知 a1 ? a2 ? 20 , a3 ? a4 ? 40 ,则 a5 ? a6 ? ( A. 30 B. 60 C. 80 D. 160 3. 设 {an } 是由正数组成的等比数列,公比为 2,且 a1a2 a3 ??? a30
10 20 60

? 230 ,那么 a3 a6 a9 ? ? ? a30 ? (
.

A. 2 B. 2 C. 1 D. 2 4. 等比数列的各项都是正数,若 a1 ? 81, a5 ? 16 ,则它的前 5 项和为 5. 等比数列的前 n 项和 Sn

? 3n ? a ,则 a=

.
2


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