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系统抽样与分层抽样


复习
1.简单随机抽样的概念
一般地,设一个总体的个体数为N,如果通过逐个 不放回地抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时 各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随 机抽样。

2.简单随机抽样的方法:

抽签法

随机数表法

注:随机抽样并不是随意或随便抽取,因为随意


随便抽取都会带有主观或客观的影响因素.
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2.1.2 系统抽样
一、学习目标: 1、知识与技能: (1)正确理解系统抽样的概念; (2)掌握系统抽样的一般步骤; (3)正确理解系统抽样与简单随机抽样的关系; 2、过程与方法:通过对实际问题的探究,归纳应用 数学知识解决实际问题的方法,理解分类讨论的数学 方法, 3、情感态度与价值观:通过数学活动,感受数学对 实际生活的需要,体会现实世界和数学知识的联系。 二、重点与难点:正确理解系统抽样的概念,能够灵 活应用系统抽样的方法解决统计问题。
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【探究】:某学校为了了解高一年级学生 对教师教学的意见,打算从高一年级500名学生 中抽取50名进行调查,用简单随机抽样获取样本 方便吗? 你能否设计其他抽取样本的方法?
我们按照下面的步骤进行抽样: 第一步:将这500名学生从1开始进行编号;

第二步:确定分段间隔k,对编号进行分段.由于 k=500/50=10,这个间隔可以定为10;
第三步:从号码为1~10的第一个间隔中用简单随机抽样 的方法确定第一个个体编号,假如为6号; 第四步:从第6号开始,每隔10个号码抽取一个,得到 6,16,26,36,…,496.这样就得到一个样本容量为 3 50的样本.

一.系统抽样的定义: 将总体平均分成几部分,然后按照一定的规 则,从每一部分抽取一些个体作为样本,这种抽 样的方法叫做系统抽样。
【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证: (1)当总体容量N较大时,采用系统抽样。 (2)将总体平均分成几部分指的是将总体分段,分段的 间隔要求相等,因此,系统抽样又称等距抽样, 这时间隔一般为k= ([x]表示不超过x的最大整数). (3)一定的规则通常指的是:在第1段内采用简单随机 抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分段间 4 隔的整倍数即为抽样编号。

二、从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,用 系统抽样的一般步骤为: (1)将总体中的N个个体编号.有时可直 接利用个体自身所带的号码,如学号、准考证号、 门牌号等; (2)将编号按间隔k分段(k∈N). (3)在第一段用简单随机抽样确定起始 个体的编号L(L∈N,L≤k)。 (4)按照一定的规则抽取样本,通常是 将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K, 再加上K得到第3个个体编号L+2K,这样继续下 去,直到获取整个样本.
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〖说明〗(1)分段间隔的确定:

剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样
?N ? 本容量整除.通常取k= ? n ? ? ?

N N 当 是整数时,取k= ; n n N 当 不是整数时,可以先从总体中随机地 n

(2)从系统抽样的步骤可以看出,系统抽样 是把一个问题划分成若干部分分块解决,从而 把复杂问题简单化,体现了数学转化思想。
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思考:下列抽样中不是系统抽样的是 ( C ) A、从标有1~15号的15个小球中任选3个作 为样本,按从小号到大号排序,随机确定起点i, 以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样; B、工厂生产的产品,用传送带将产品送入 包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽 一件产品检验; C、搞某一市场调查,规定在商场门口随机 抽一个人进行询问,直到调查到事先规定的调查 人数为止; D、电影院调查观众的某一指标,通知每排 (每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈。
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系统抽样与简单随机抽样比较,有何优、缺点? 点评:(1)系统抽样比简单随机抽样更容易实施, 可节约抽样成本;

(2)系统抽样的效果会受个体编号的影响,而简单 随机抽样的效果不受个体编号的影响;系统抽样所得 样本的代表性和具体的编号有关,而简单随机抽样所 得样本的代表性与个体的编号无关.如果编号的个体 特征随编号的变化呈现一定的周期性,可能会使系统 抽样的代表性很差.例如学号按照男生单号女生双号 的方法编排,那么,用系统抽样的方法抽取的样本就可 能会是全部男生或全部女生.
(3)系统抽样比简单随机抽样的应用范围更广.
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【例题解析】 例1、某校高中三年级的295名学生已经编 号为1,2,……,295,为了了解学生的学习情 况,要按1:5的比例抽取一个样本,用系统抽 样的方法进行抽取,并写出过程。 解:样本容量为295÷5=59.

确定分段间隔k=5,将编号分段 1~5,6~10,…,291~295; 采用简单随机抽样的方法,从第一组5名 学生中抽出一名学生,如确定编号为3的学生, 依次取出的学生编号为3,8,13,…,288,293 , 这样就得到一个样本容量为59的样本.
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例2、从编号为1~50的50枚最新研制 的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发 射实验,若采用每部分选取的号码间隔一 样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编 号可能是( B ) A.5,10,15,20,25 B、3,13,23,33,43 C、1, 2, 3, 4, 5 D、2, 4, 6, 16,32

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例3:从2005个编号中抽取20个号码入样,采 用系统抽样的方法,则抽样的间隔为 ( C) A.99 B、99.5

C.100

D、100.5

例4:某小礼堂有25排座位,每排20个座位,一次 心理学讲座,礼堂中坐满了学生,会后为了了解 有关情况,留下座位号是15的所有25名学生进行 测试,这里运用的是 系统 抽样方法。
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例5:采用系统抽样从个体数为83的总体中 抽取一个样本容量为10的样本,那么每个个体

10 人样的可能性为 _________. 83
例6:从2004名学生中选取50名组成参观 团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽 样从2004人中剔除4人,剩下的2000个再按系 统抽样的方法进行,则每人入选的机会( C)

A.不全相等
C.都相等

B.均不相等
D.无法确定
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探究?
假设某地区有 高中生2400人,初 近视率% 80 中生10900人,小 学生11000人,此 60 地教育部门为了了 解本地区中小学的 40 近视情况及其形成 20 原因,要从本地区 的小学生中抽取 0 1%的学生进行调 小学 初中 高中 你认为哪些因素影响学生视 查,你认为应当怎 力?抽样要考虑和因素? 样抽取样本? 13

2.1.3 分层抽样

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一、分层抽样的定义。 一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉 的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽 取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一 起作为样本,这种抽样的方法叫分层抽样。

应用分层抽样应遵循以下要求: (1)分层:将相似的个体归入一类,即为一层, 分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重 复、不遗漏的原则。 (2)分层抽样为保证每个个体等可能入样,需 遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量 与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量 15 的比相等。

二、分层抽样的步骤: (1)按某种特征将总体分成互不相交的层 (2)按比例k=n/N确定每层抽取个体的个数 (n/N)*Ni个。 (3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取。 (4)综合每层抽样,组成样本。 练习:分层抽样又称类型抽样,即将相似的个 体归入一类(层),然后每层抽取若干个体构 成样本,所以分层抽样为保证每个个体等可能 入样,必须进行 (c ) A、每层等可能抽样 B、每层不等可能抽样 16 C、所有层按同一抽样比等可能抽样

例1、某高中共有900人,其中高一年级300 人,高二年级200人,高三年级400人,现采用 分层抽样抽取容量为45的样本,那么高一、高 二、高三各年级抽取的人数分别为( D ) A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D15,10,20
例2:一个地区共有5个乡镇,人口3万人, 其中人口比例为3:2:5:2:3,从3万人中抽 取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率, 已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关, 问应采取什么样的方法?并写出具体过程。
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解:因为疾病与地理位置和水土均有关系,
所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用 分层抽样的方法,具体过程如下: (1)将3万人分为5层,其中一个乡镇为一层。 (2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应 抽取的样本。 300×3/15=60(人),300×2/15=100(人), 300×2/15=40(人),300×2/15=60(人), 因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、 40人、60 人。 (3)将300人组到一起,即得到一个样本。
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课堂小结

一、系统抽样 1.系统抽样的定义;
2.系统抽样的一般步骤;

3.分段间隔的确定.
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二、分层抽样
1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采 用的抽样方法,进行分层抽样时应注意以下几点: (1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况 而定,总的原则是,层内样本的差异要小,面层之间的 样本差异要大,且互不重叠。 (2)为了保证每个个体等可能入样,所有层应采用 同一抽样比等可能抽样。 (3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽 样的方法进行抽样。 2、分层抽样的优点是:使样本具有较强的代表性, 并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法,因此分层抽 样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。 20

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课堂练习

1、某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人, 为了调查他们的身体情况,需从他们中抽取一个容量为 36的样本,则适合的抽取方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先从老人中剔除1人,然后再分层抽样 2、某校有500名学生,其中O型血的有200人,A型血 的人有125人,B型血的有125人,AB型血的有50人,为 了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个20人的样本 ,按分层抽样,O型血应抽取的人数为 人,A型血 应抽取的人数为 人,B型血应抽取的人数为 人 22 ,AB型血应抽取的人数为 人。

3、某中学高一年级有学生600人,高二年级有学生 450人,高三年级有学生750人,若该校取一个容量为n 的样本,每个学生被抽到的可能性均为0.2, 则n= 。 4、对某单位1000名职工进行某项专门调查,调查的 项目与职工任职年限有关,人事部门提供了如下资料:
任职年限 人数 5年以下 300 5年至10年 500 10年以上 200

试利用上述资料设计一个抽样比为1/10的抽样方法。
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练习、在1000个有机会中奖的号码(编号为 000~999)中,在公证部门的监督下,按随机抽 取的方法确定最后两位数为88的号码为中奖号码, 这是运用那种抽样方法确定中奖号码的?依次写 出这10个中奖号码。
系统抽样

088,188,288,388,488,588,688,788, 888,988
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※(2004年福建省高考卷)一个总体中有 100个个体,随机编号为0,1,2,…,99,依编号顺序 平均分成10个小组,组号分别为1,2,3,…,10.现 用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规 定如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k 组抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同. 若m=6,则在第7组中抽取的号码是______. 解析:依编号顺序平均分成的10个小组分 别为0~9, 10~19, 20~29, 30~39, 40~49,50~59,60~69,70~79,80~89,90~99.因第 7组抽取的号码个位数字应是3,所以抽取的号码 是63.这个样本的号码依次是 6,18,29,30,41,52,63,74,85,96这10个号. 25

一.系统抽样的定义: 将总体平均分成几部分,然后按照一定的规 则,从每一部分抽取一些个体作为样本,这种抽 样的方法叫做系统抽样。
【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证: (1)当总体容量N较大时,采用系统抽样。 (2)将总体平均分成几部分指的是将总体分段,分段的 间隔要求相等,因此,系统抽样又称等距抽样, 这时间隔一般为k= ([x]表示不超过x的最大整数). (3)一定的规则通常指的是:在第1段内采用简单随机 抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分段间 26 隔的整倍数即为抽样编号。

二、从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,用 系统抽样的一般步骤为: (1)将总体中的N个个体编号.有时可直 接利用个体自身所带的号码,如学号、准考证号、 门牌号等; (2)将编号按间隔k分段(k∈N). (3)在第一段用简单随机抽样确定起始 个体的编号L(L∈N,L≤k)。 (4)按照一定的规则抽取样本,通常是 将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K, 再加上K得到第3个个体编号L+2K,这样继续下 去,直到获取整个样本.
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〖说明〗(1)分段间隔的确定:

剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样
?N ? 本容量整除.通常取k= ? n ? ? ?

N N 当 是整数时,取k= ; n n N 当 不是整数时,可以先从总体中随机地 n

(2)从系统抽样的步骤可以看出,系统抽样 是把一个问题划分成若干部分分块解决,从而 把复杂问题简单化,体现了数学转化思想。
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