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2013届高三理科数学高考专题训练16 统计、统计案例 Word版含答案]


高考专题训练十六
班级_______ 姓名_______

统计、统计案例
分值: 75 分 总得分________

时间: 45 分钟

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小 题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1.(2011· 湖南)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好 某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计
2

女 20 30 50

总计 60 50 110

40 20 60

n?ad-bc?2 K= 算得, ?a+b??c+d??a+c??b+d? 110×?40×30-20×20?2 K= =7.8. 60×50×60×50
2

附表: P(K2≥k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 ) 0.001 10.828

参照附表,得到正确结论是(

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运 动与性别无关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运 动与性别有关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

解析:∵K2=7.8>6.635,而 P(K2≥6.635)=0.010,∴有 99%以 上的把握认为“爱好该运动与性别有关”. 答案:C 2.(2011· 江西)变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2), (11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5), (11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相 关系数,r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则( A.r2<r1<0 C.r2<0<r1 B.0<r2<r1 D.r2=r1 )

解析:作出 x,y 对应散点图可知 y 与 x 正相关, ∴r1>0.作出 U,V 对应散点图可知 U 与 V 负相关, ∴r2<0.∴r2<0<r1. 答案:C 3.(2011· 安徽“江南十校”联考)已知一组正数 x1,x2,x3,x4 1 2 2 2 2 的方差为 s2= (x1 +x2+x3 +x4 -16),则数据 x1+2,x2+2,x3+, 4 x4+2 的平均数为( A.2 C.4 B.3 D.6 )

1 2 1 2 2 2 解析: ∵s2= (x1 +x2 +x3 +x4 -16)= [(x1- x )2+(x2- x )2+(x3 4 4 - x )2+(x4- x )2],∴2 x (x1+x2+x3+x4)-4 x 2=16,∴8 x 2-4 x
2

=16, x =2,即 x1+x2+x3+x4=8, ∴ x1+2+x2+2+x3+2+x4+2 =4.故选 C. 4

答案:C

4.(2011· 邹城一中模拟)在 2011 年 12 月 12 日那天,济宁市物价 部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示: 价格 x 销售量 y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5

由散点图可知,销售量 y 与价格 x 之间有较强的线性相关关系, 其线性回归直线方程是:^ y =-3.2x+a,则 a=( A.24 C.40.5 B.35.6 D.40 )

解析:可解得样本中心为(10,8),代入回归方程可得 a=40. 答案:D 5.(2011· 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高三第一 次联合模拟)下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后, 方差恒 不变; ②设有一个回归方程^ y =3-5x,变量 x 增加一个单位时,y 平均 增加 5 个单位; ③线性回归方程^ y =^ b x+^ a 必过( x , y ); ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 K2=13.079,则有 99%的把 握确认这两个变量间有关系. 其中错误的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

本题可以参考独立性检验临界值表:

P(K2 ≥k) k

0.5

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025 0.010 0.005

0.001

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.535 7.879 10.828 解析: 一组数据都加上或减去同一个常数, 数据的平均数有变化, 方差不变(方差是反映数据的波动程度的量),①正确;回归方程中 x 的系数具备直线斜率的功能,对于回归方程^ y =3-5x,当 x 增加一 个单位时, y 平均减少 5 个单位, ②错误; 由线性回归方程的定义知, 线性回归方程^ y =^ b x+^ a 必 过 点 ( x , y ) , ③ 正 确 ; 因 为 K2 = 13.079>10.828, 故有 99%的把握确认这两个变量有关系, ④正确. 故 选 B. 答案:B 6.甲、乙两名运动员的 5 次测试成绩如下图所示

设 s1,s2 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差, x 1, x
2 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数,则有(

)

A. x 1= x 2,s1<s2 B. x 1= x 2,s1>s2 C. x 1> x 2,s1>s2

D. x 1= x 2,s1=s2 1 1 解析:x1= (17+15+22+28+28)=22,x2= (16+18+23+26 5 5 1 1 2 +27)=22,s2 1= (25+ 49+ 0+ 36+ 36)= 29.2, s 2= (36+ 16+ 1+ 9 5 5 +25)=17.4,故选 B. 答案:B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案 填在题中横线上. 7. (2011· 天津)一支田径队有男运动员 48 人, 女运动员 36 人. 若 用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样 本,则抽取男运动员的人数为________. 解析:由题意知,这支田径队共有 84 人,从中抽取 21 人,抽样 21 1 比为 = . 84 4 1 所以从男运动员中应抽取 ×48=12 人. 4 答案:12 8.(2011· 广东)某数学老师身高 176 cm,他爷爷、父亲和儿子的 身高分别为 173 cm、 170 cm 和 182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有 关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm. 解析: 记从爷爷起向下各代依次为 1,2,3,4,5 用变量 x 表示, 其中 5 代表孙子. 各代人身高为变量 x,则有 x y 1 173 2 170 3 176 4 182

计算知 x =2.5, y =175.25

27 21 3 81 ∑ ?xi- x ??yi- y ? + + + 8 8 8 8 i= 1 ^ b= = =3.3, 4 9 1 1 9 2 ∑ ?xi- x ? + + + 4 4 4 4 i= 1 ^ a = y -^ b x =175.25-3.3×2.5=167 ∴回归方程为^ y =3.3x+167 当 x=5 时,y=3.3×5+167=183.5. 答案:183.5 9.(2011· 济宁市高三模拟)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性 别有关, 对该班 50 名学生进行了问卷调查, 得到了如下的 2×2 列联 表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

4

则至少有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关? (请用百 分数表示) n?ad-bc?2 附:K = ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

P(K2>k2) k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

解析:由公式可得 K2≈8.333>7.829,故填 99.5%. 答案:99.5% 10. (2011· 南京市高三第一次模拟考试)某校为了解高三男生的身 体状况,检测了全部 480 名高三男生的体重(单位:kg),所得数据都 在区间[50,75]中,其频率分布直方图如图所示.若图中从左到右的前

3 个小组的频率之比为 1:2:3,则体重小于 60 kg 的高三男生人数为 ________.

解 析 : 依 题 意 得 , 后 两 个 小 组 的 频 率 之 和 等 于 (0.0125 + 0.0375)×5=0.25,因此前三个小组的频率之和等于 1-0.25=0.75, 前两个小组的频率之和等于 1+2 3 3 × = ,所以体重小于 60 kg 的 1+2+3 4 8

3 高三男生人数为 480× =180. 8 答案:180 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 11.(12 分)(2011· 北京) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同 学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示.

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两 名同学的植树总棵数 Y 的分布列和数学期望.

1 (注: 方差 s2=n[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2], 其中 x 为 x1,x2,?,xn 为平均数) 解:(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是: 8,8,9,10.所以平均数为 x= 8+8+9+10 35 = 4 4

方差为 s2= 35?2? 11 1?? 35?2 ? 35?2 ? 35?2 ? ??8- ? +?8- ? +?9- ? +?10- ? ?= . 4? ? 4? ? 4? ? 4 ? ? 16 4?? (2)当 X=9 时, 由茎叶图可知, 甲组同学的植树棵数是: 9,9,11,11; 乙组同学的植树棵数是:9,8,9,10,分别从甲、乙两组中随机选取一 名同学,共有 4×4=16 种可能的结果,这两名同学植树总棵数 Y 的 可能取值为 17,18,19,20,21.事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学 植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵”, 2 1 所以该事件有 2 种可能的结果, 因此 P(Y=17)= = .同理可得 16 8 1 P(Y=18)= ; 4 1 1 1 P(Y=19)= ;P(Y=20)= ;P(Y=21)= . 4 4 8 所以随机变量 Y 的分布列为: Y P 17 1 8 18 1 4 19 1 4 20 1 4 21 1 8

E(Y)= 17×P(Y = 17)+ 18×P(Y = 18)+ 19×P(P= 19)+ 20×P(Y =20)+21×P(Y=21) 1 1 1 1 1 =17× +18× +19× +20× +21× 8 4 4 4 8

=19. 12.(13 分)2011 年 3 月,日本发生了 9.0 级地震,地震引发了海 啸及核泄漏.某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地 质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作, 有关数据见 表 1(单位:人). 表1 相关人员数 心理专家 核专家 地质专家 24 48 72 抽取人数 x y 6

核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响, 随机选 取了 110 只羊进行了检测,并将有关数据整理为不完整的 2×2 列联 表(表 2). 表2 高度辐射 身体健康 身体不健康 合计 附:临界值表 K0 P(M2 ≥K0) 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 30 B C 轻微辐射 A 10 D 合计 50 60 E

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

n?ad-bc?2 参考公式:①K = ;②χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

n?n11n22-n12n21?2 . n1++n2++n+1+n+2 (1)求研究小组的总人数; (2)写出表 2 中 A、B、C、D、E 的值,并判断有多大的把握认为 羊受到高度辐射与身体不健康有关; (3)若从研究团队的心理专家和核专家中随机选 2 人撰写研究报 告,求其中恰有 1 人为心理专家的概率. 解:(1)依题意, 72 48 24 =y=x, 6

解得 y=4,x=2. 研究团队的总人数为 2+4+6=12(人). (2)根据列联表特点得 A=20,B=50,C=80,D=30,E=110. 110×?30×10-50×20?2 可求得 K = ≈7.486>6.635. 50×60×80×30
2

由临界值表知,有 99%的把握认为羊受到高度辐射与身体不健 康有关. (3)设研究小组中心理专家为 a1、a2,核专家为 b1、b2、b3、b4, 从中随机选 2 人,不同的选取结果有:a1a2、a1b1、a1b2、a1b3、a1b4、 a2b1、a2b2、a2b3、a2b4、b1b2、b1b3、b2b3、b1b4、b2b4、b3b4,共 15 种. 其中恰好有 1 人来自心理专家的结果有:a1b1、a1b2、a1b3、a1b4、 a2b1、a2b2、a2b3、a2b4 共 8 种. 所以恰好有 1 人来自心理专家的概率为 P= 8 . 15


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