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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第二章 2.6


数学

北(理)

§2.6 对数与对数函数
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.对数的概念 如果 ab=N(a>0 且 a≠1), 那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数, 记作 b=logaN ,其中 a 叫作对数的底数, N 叫作真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 M log M-log N log M + log N a a a a ①loga(MN)= ;②loga N = ; n log M ③logaMn= nlogaM (n∈R);④ logam M n= m a .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

(2)对数的性质 ①

a loga N

= N ;②logaaN= N (a>0 且 a≠1).

(3)对数的重要公式

logaN logbN= logab (a,b>0,a,b≠1,N>0); ①换底公式: 1 ②logab= ,推广 logab· logbc· logcd= logad . logba
3.对数函数的定义 我们把函数 y=logax 定义域为 (0,+∞)
基础知识

(a>0,a≠1)叫作对数函数,函数 .
思想方法 练出高分

题型分类

基础知识·自主学习
要点梳理
3.对数函数的图像与性质 a>1

知识回顾 理清教材

动画展示
0<a<1

图像

基础知识

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思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
a>1
知识回顾 理清教材

0<a<1 (1)定义域:(0,+∞) (2)值域: R

(3)过定点 (1,0) ,即 x= 1 时,y= 0 性质 (4)当 x>1 时,
y>0

当 0<x<1 时, y<0

(5)当 x>1 时, y<0 当 0<x<1 时, y>0

(6)是(0,+∞)上的 增函数 (7)是(0,+∞)上的 减函数

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

5.反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们 的图像关于直线 y=x 对称.

动画展示

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) √ (2) × (3) √ (4) × (5) × (6) ×

解析

D D
1 (- ,+∞) 2 ? 1? ?0, ?∪(2,+∞) 2? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

对数式的运算
(1)若 x=log43,则(2x- ( 10 C. 3 4 D. 3 f(x) = )
思维启迪 解析 答案 思维升华

2-x)2 等于 9 5 A. B. 4 4

(2) 已 知 函 数 ? ?log2x,x>0, ? -x 则 ? 3 + 1 , x ≤ 0 , ? 1 f(log3 )的值是 2 A.5 B.3 C.-1

f(f(1)) + ( 7 D. 2 )

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

对数式的运算
(1)若 x=log43,则(2x- ( 10 C. 3 4 D. 3 f(x) )
思维启迪 解析 答案 思维升华

2-x)2 等于 9 5 A. B. 4 4

(1)利用对数的定义将 x= log43 化成 4x=3;

(2) 已 知 函 数 ? ?log2x,x>0, ? -x 则 ? 3 + 1 , x ≤ 0 , ? 1 f(log3 )的值是 2 A.5 B.3 C.-1

= (2) 利用分段函数的意义先求

f(f(1)) + f(1),再求 f(f(1)); 1 f(log3 2 ) 可利用对数恒等式进 ( ) 行计算. 7 D. 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
-x

对数式的运算
(1)若 x=log43,则(2x- ( 10 C. 3 4 D. 3 )
思维启迪 解析 答案 思维升华

2 ) 等于 9 5 A. B. 4 4

2

(1)由 x=log43,得 4x=3,
x
-x

(2) 已 知 函 数 ? ?log2x,x>0, ? -x 则 ? 3 + 1 , x ≤ 0 , ? 1 f(log3 )的值是 2 A.5 B.3 C.-1

3 即 2 = 3,2 = , 3 2 32 4 f(x) = -x 2 x 所以(2 -2 ) =( 3 ) =3. f(f(1)) + (2)因为 f(1)=log21=0, ( ) 所以 f(f(1))=f(0)=2.
7 D. 2

1 因为 log3 <0, 2
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
-x

对数式的运算
(1)若 x=log43,则(2x- ( 10 C. 3 4 D. 3 f(x) = )
思维启迪 解析 答案
1

思维升华

2 ) 等于 9 5 A. B. 4 4

2

? log3 1 2 +1 所以 f(log3 )=3 2

(2) 已 知 函 数 ? ?log2x,x>0, ? -x 则 ? 3 + 1 , x ≤ 0 , ? 1 f(log3 )的值是 2 A.5 B.3 C.-1

log3 2 3 = +1=2+ 1= 3.

1 所以 f(f(1))+f(log3 ) 2 f(f(1)) + =2+3=5.
( 7 D. 2 )

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
-x

对数式的运算
(1)若 x=log43,则(2x- 10 C. 3 ( D ) 4 D. 3 f(x) =
思维启迪 解析 答案
1

思维升华

2 ) 等于 9 5 A. B. 4 4

2

? log3 1 2 +1 所以 f(log3 )=3 2

(2) 已 知 函 数 ? ?log2x,x>0, ? -x 则 ? 3 + 1 , x ≤ 0 , ? 1 f(log3 )的值是 2 A.5 B.3 C.-1

log3 2 3 = +1=2+ 1= 3.

1 所以 f(f(1))+f(log3 ) 2 f(f(1)) + =2+3=5.
( A ) 7 D. 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

对数式的运算
(1)若 x=log43,则(2x- 10 C. 3 ( D ) 4 D. 3 f(x)
思维启迪 解析 答案 思维升华

2-x)2 等于 9 5 A. B. 4 4

在对数运算中, 要熟练掌握对

(2) 已 知 函 数 ? ?log2x,x>0, ? -x 则 ? 3 + 1 , x ≤ 0 , ? 1 f(log3 )的值是 2 A.5 B.3 C.-1

灵活使用对数的 = 数式的定义, 运算性质、 换底公式和对数恒 f(f(1)) + 等式对式子进行恒等变形, 多

( A ) 7 D. 2

个对数式要尽量化成同底的 形式.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 1 ? ?? ?x,x≥4, 已知函数 f(x)=? 2 则 f(2+log23)的 ? ?f?x+1?,x<4,

1 值为________ . 24

解析

因为 2+log23<4,

所以 f(2+log23)=f(3+log23),
而 3+log23>4,
1 1 1 =8×3=24.
基础知识

1? 所以 f(3+log23)= ? ? ? ?2?

3? log2 3

= 1 ? ( 1 ) log
8 2

23

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
像大致是

对数函数的图像和性质
(1)函数 y=2log4(1-x)的图 ( )
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】

(2)已知 f(x)是定义在 (-∞,+∞) 上的偶函数,且在(-∞,0]上是增 函数,设 a=f(log47),b=f(log1 3), c=f(0.2 系是 A.c<a<b C.b<c<a
基础知识
-0.6

2

),则 a,b,c 的大小关 ( B.c<b<a D.a<b<c
题型分类 思想方法 练出高分

)

题型分类·深度剖析
题型二
像大致是

对数函数的图像和性质
(1)函数 y=2log4(1-x)的图 ( )
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】

(1)结合函数的定义域、单调 性、 特殊点可判断函数图像;

(2) 比 较 函数 值 的大 小可 先
(2)已知 f(x)是定义在 (-∞,+∞) 上的偶函数,且在(-∞,0]上是增 函数,设 a=f(log47),b=f(log1 3), c=f(0.2 系是 A.c<a<b C.b<c<a
基础知识
-0.6

看几个对数值的大小,利用 函数的单调性或中间值可达 到目的.

2

),则 a,b,c 的大小关 ( B.c<b<a D.a<b<c
题型分类

)

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
像大致是

对数函数的图像和性质
(1)函数 y=2log4(1-x)的图 ( )
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】

(1)函数 y=2log4(1-x)的定义域为 (-∞,1),排除 A、B;

又函数 y=2log4(1-x)在定义域内 单调递减,排除 D.选 C.
(2)已知 f(x)是定义在 (-∞,+∞) 上的偶函数,且在(-∞,0]上是增 函数,设 a=f(log47),b=f(log1 3), c=f(0.2 系是 A.c<a<b C.b<c<a
基础知识
-0.6

3 =-log 3=-log 9, (2) log 1 2 4 2
3 )=f(-log 9) b=f( log 1 4 2
3 ? 1 5 log47<log49,0.2-0.6= ( 5 )

2

),则 a,b,c 的大小关 ( B.c<b<a D.a<b<c
题型分类

=f(log49),

)

= 125> 32=2>log49,
思想方法 练出高分

5

5

题型分类·深度剖析
题型二
像大致是

对数函数的图像和性质
(1)函数 y=2log4(1-x)的图 ( )
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】

又 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的 偶函数,
且在(-∞,0]上是增函数,

(2)已知 f(x)是定义在 (-∞,+∞) 上的偶函数,且在(-∞,0]上是增 函数,设 a=f(log47),b=f(log 3), c=f(0.2-0.6),则 a,b,c 的大小关 系是 A.c<a<b C.b<c<a
基础知识
1 2

故 f(x)在[0,+∞)上是单调递减 的,
3 )<f(log 7), ∴f(0.2-0.6)<f( log 1 4 2

即 c<b<a.

( B.c<b<a D.a<b<c
题型分类

)

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
像大致是

对数函数的图像和性质
(1)函数 y=2log4(1-x)的图 ( C )
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】

又 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的 偶函数,
且在(-∞,0]上是增函数,

(2)已知 f(x)是定义在 (-∞,+∞) 上的偶函数,且在(-∞,0]上是增 函数,设 a=f(log47),b=f(log 3), c=f(0.2-0.6),则 a,b,c 的大小关 系是 A.c<a<b C.b<c<a
基础知识
1 2

故 f(x)在[0,+∞)上是单调递减 的,
3 )<f(log 7), ∴f(0.2-0.6)<f( log 1 4 2

即 c<b<a.

( B ) B.c<b<a D.a<b<c
题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
像大致是

对数函数的图像和性质
(1)函数 y=2log4(1-x)的图 ( C )
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】

(1) 函数的单调性是函数最重 要的性质, 可以用来比较函数 值的大小,解不等式等;

(2)已知 f(x)是定义在 (-∞,+∞) 上的偶函数,且在(-∞,0]上是增 函数,设 a=f(log47),b=f(log1 3), c=f(0.2 系是 A.c<a<b C.b<c<a
基础知识
-0.6

(2) 函数图像可以直观表示函 数的所有关系,充分利用函数 图像解题也体现了数形结合的 思想.

2

),则 a,b,c 的大小关 ( B ) B.c<b<a D.a<b<c
题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 大小关系为 A.c<b<a (1)已知 a=2
1.2

?1?- ,b=?2? 0.8,c=2log52,则 ? ?

a,b,c 的 ( A )

B.c<a<b

C.b<a<c

D.b<c<a

(2)已知函数 f(x)=loga(x+b) (a>0 且 a≠1)的图像过两点(-1,0)和

2 2 (0,1),则 a=________ ,b=________.
解析
?1?- (1)b=?2? 0.8=20.8<21.2=a, ? ?

c=2log52=log522<log55=1<20.8=b,故 c<b<a.
(2)f(x)的图像过两点(-1,0)和(0,1).

则 f(-1)=loga(-1+b)=0 且 f(0)=loga(0+b)=1,
? ?b-1=1 ∴? ? ?b=a ? ?b=2 ,即? ? ?a=2

.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型三 对数函数的应用

【例 3】 -ax).

已知函数 f(x)=loga(3

思维启迪

解析

思维升华

(1)当 x∈[0,2]时, 函数 f(x)恒有 意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使 得函数 f(x) 在区间 [1,2] 上为减 函数,并且最大值为 1?如果 存在,试求出 a 的值;如果不 存在,请说明理由.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 对数函数的应用

【例 3】 -ax).

已知函数 f(x)=loga(3

思维启迪

解析

思维升华

(1)当 x∈[0,2]时, 函数 f(x)恒有 意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使 得函数 f(x) 在区间 [1,2] 上为减 函数,并且最大值为 1?如果 存在,试求出 a 的值;如果不 存在,请说明理由.
基础知识 题型分类

f(x) 恒有意义转化为 “ 恒成 立”问题,分离参数 a 来解 决;探究 a 是否存在,可从 单调性入手.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 对数函数的应用

【例 3】 -ax).

已知函数 f(x)=loga(3

思维启迪

解析

思维升华



(1)∵a>0 且 a≠1,

(1)当 x∈[0,2]时, 函数 f(x)恒有 意义,求实数 a 的取值范围;

设 t(x)=3-ax, 则 t(x)=3-ax 为减函数,
x∈[0,2] 时,t(x)最小值为 3-2a,

(2)是否存在这样的实数 a,使 当 x∈[0,2] 时,f(x)恒有意义, 得函数 f(x) 在区间 [1,2] 上为减 函数,并且最大值为 1?如果 存在,试求出 a 的值;如果不 存在,请说明理由.
基础知识 题型分类

即 x∈[0,2] 时,3-ax>0 恒成立. 3 ∴3-2a>0.∴a<2. 又 a>0 且 a≠1, ? 3? ∴a∈(0,1)∪?1,2?. ? ?
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 对数函数的应用

【例 3】 -ax).

已知函数 f(x)=loga(3

思维启迪

解析

思维升华

(2)t(x)=3-ax,∵a>0, ∴函数 t(x)为减函数,
∵f(x)在区间[1,2] 上为减函数,

(1)当 x∈[0,2]时, 函数 f(x)恒有 意义,求实数 a 的取值范围;

(2)是否存在这样的实数 a,使 ∴y=logat 为增函数, 得函数 f(x) 在区间 [1,2] 上为减 函数,并且最大值为 1?如果 存在,试求出 a 的值;如果不 存在,请说明理由.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

∴a>1 ,x∈[1,2] 时,t(x)最小值 为 3-2a, f(x)最大值为 f(1)=loga(3-a),

题型分类·深度剖析
题型三 对数函数的应用

【例 3】 -ax).

已知函数 f(x)=loga(3

思维启迪

解析

思维升华

(1)当 x∈[0,2]时, 函数 f(x)恒有 意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使 得函数 f(x) 在区间 [1,2] 上为减 函数,并且最大值为 1?如果 存在,试求出 a 的值;如果不 存在,请说明理由.
基础知识 题型分类

? 3 ? ?a<2 ?3-2a>0 ∴? ,即? ? ?loga?3-a?=1 ?a=3 ? 2



故不存在这样的实数 a,使得函 数 f(x)在区间[1,2] 上为减函数, 并且最大值为 1.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 对数函数的应用

【例 3】 -ax).

已知函数 f(x)=loga(3

思维启迪

解析

思维升华

解决对数函数综合问题时,无论 是讨论函数的性质,还是利用函 数的性质

(1)当 x∈[0,2]时, 函数 f(x)恒有 意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使 得函数 f(x) 在区间 [1,2] 上为减 函数,并且最大值为 1?如果 存在,试求出 a 的值;如果不 存在,请说明理由.
基础知识 题型分类

(1) 要 分 清 函 数 的 底 数 是 a∈(0,1),还是 a∈(1,+∞);
(2)确定函数的定义域,无论研究 函数的什么性质或利用函数的某 个性质, 都要在其定义域上进行;

(3)如果需将函数解析式变形, 一定 要保证其等价性,否则结论错误.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知 f(x)=log4(4x-1). (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的单调性; 1 (3)求 f(x)在区间[ ,2]上的值域. 2
解 (1)由 4x-1>0,解得 x>0,

因此 f(x)的定义域为(0,+∞). (2)设 0<x1<x2,则 0< 4 x1 -1< 4 x2 -1, 因此 log4( 4 x1 -1)<log4( 4 x2 -1),即 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在(0,+∞)上递增. 1 1 (3)f(x)在区间[2,2]上递增,又 f(2)=0,f(2)=log415, 1 因此 f(x)在[2,2]上的值域为[0,log415] .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点1 利用函数性质比较幂、对数的大小
典例:(15 分)(1)设 a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则 a,b,c 的 大小关系是 ( ) A.a>b>c B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b (2)已知 a= 5 A.a>b>c
log 2 3.4

,b= 5

log 4 3.6

?1? ? ,c= ? ?5?

log3 0.3

,则 D.c>a>b

(

)

B.b>a>c

C.a>c>b

(3)已知函数 y=f(x)的图像关于 y 轴对称,且当 x∈(-∞,0)时, f(x) + xf′(x)<0 成立, a = (20.2)· f(20.2) , b = (logπ3)· f(logπ3) , c = (log39)· f(log39),则 a,b,c 的大小关系是 A.b>a>c
思 维 启 迪

( D.a>c>b
温 馨 提 醒

)

B.c>a>b

C.c>b>a
解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点1
思 维 启 迪

利用函数性质比较幂、对数的大小
解 析 温 馨 提 醒

(1)利用幂函数 y=x0.5 和对数函数 y=log0.3x 的单调性,结合 中间值比较 a,b,c 的大小;

(2)化成同底的指数式,只需比较 log23.4、log43.6、-log30.3 10 =log3 的大小即可,可以利用中间值或数形结合进行比较; 3
(3)先判断函数 φ(x)=xf(x)的单调性,再根据 20.2,logπ3,log39 的大小关系求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点1
思 维 启 迪

利用函数性质比较幂、对数的大小
解 析 温 馨 提 醒

(1)根据幂函数 y=x0.5 的单调性,可得 0.30.5<0.50.5<10.5=1, 即 b<a<1; 根据对数函数 y=log0.3x 的单调性,可得 log0.30.2>log0.30.3=1, 即 c>1.所以 b<a<c.
10 log3 1 log3 0.3 ? log3 0.3 ?5 ?5 3 . (2)c= ( 5 )

方法一

在同一坐标系中分别作出函数 y=log2x,

y=log3x,y=log4x 的图像,如图所示.

10 由图像知:log23.4>log3 >log43.6. 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点1
思 维 启 迪

利用函数性质比较幂、对数的大小
解 析 温 馨 提 醒

方法二

10 ∴log3 3 <log33.4<log23.4. 10 ∵log43.6<log44=1,log3 3 >1,
10 ∴log43.6<log3 . 3 10 ∴log23.4>log3 >log43.6. 3
x
log3 0.3

10 10 ∵log3 >log33=1,且 <3.4, 3 3

由于 y=5 为增函数,∴ 5
即5
log 2 3.4

log 2 3.4

>5

log 3

10 3

log 4 3.6 5 >

?1? ? >? ?5?

log 4 3.6 5 > ,故 a>c>b.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点1
思 维 启 迪

利用函数性质比较幂、对数的大小
解 析 温 馨 提 醒

(3)因为函数 y=f(x)关于 y 轴对称,所以函数 y=xf(x)为奇函数.

因为[ xf(x)] ′=f(x)+xf′(x),且当 x∈(-∞,0)时, [ xf(x)] ′=f(x)+xf′(x)<0,则函数 y=xf(x)在(-∞,0)上单调递减;
因为 y=xf(x)为奇函数,所以当 x∈(0,+∞)时,函数 y=xf(x)单调 递减.

因为 1<20.2<2,0<logπ3<1,log39=2,
所以 0<logπ3<20.2<log39,
所以 b>a>c,选 A.

答案 (1)C
基础知识

(2)C

(3)A
题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
高频小考点1
思 维 启 迪

利用函数性质比较幂、对数的大小
解 析

温 馨 提 醒

(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用 函数单调性两种方法.

(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调 性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底 数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选 0 或 1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.对数函数的定义域及单调性 在对数式中,真数必须是大于 0 的,所以对数函

方 法 与 技 巧

数 y=logax 的定义域应为{x|x>0}.对数函数的单 调性和 a 的值有关,因而,在研究对数函数的单 调性时,要按 0<a<1 和 a>1 进行分类讨论.

2.比较幂、对数大小有两种常用方法: (1)数形结 合;(2)找中间量结合函数单调性.
3.多个对数函数图像比较底数大小的问题,可通 过图像与直线 y=1 交点的横坐标进行判定.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.在运算性质 logaMα=αlogaM 中,要特别注意条

失 误 与 防 范

件 , 在 无 M > 0 的 条 件 下 应 为 logaMα = αloga|M|(α∈N+,且 α 为偶数).

2.指数函数 y=ax (a>0,且 a≠1)与对数函数 y= logax(a>0,且 a≠1)互为反函数,应从概念、图 像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.
3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务 必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值 范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2-x 1.函数 y= 的定义域是 lg x A.{x|0<x<2} C.{x|0<x≤2} B.{x|0<x<1 或 1<x<2} D.{x|0<x<1 或 1<x≤2}

( D )

解析

?2-x≥0 ? 要使函数有意义只需要?x>0 ? ?lg x≠0



解得 0<x<1 或 1<x≤2,
∴定义域为{x|0<x<1 或 1<x≤2}.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.函数 y=lg|x-1|的图像是

( A )

解析

?lg?x-1?,x>1 ? ∵y=lg|x-1|=? ? ?lg?1-x?,x<1

.

∴A 项符合题意.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6
? 1 2

7

8

9

10

3.已知 x=ln π,y=log52,z= e ,则 A.x<y<z C.z<y<x
解析

( D )

B.z<x<y D.y<z<x

∵x=ln π>ln e,∴x>1.

1 ∵y=log52<log5 5,∴0<y< . 2 1 ? 1 1 1 1 2 ∵z= e = > = ,∴ <z<1. 2 e 4 2

综上可得,y<z<x.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

4. 设函数

? ?log2x,x>0, f(x)=? ? ?-x?,x<0, ?log 1 2

若 f(a)>f(-a), 则实数 a 的取 ( C )

值范围是 A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞)
解析

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
? ?a<0, 或? 1 ? ?log ?-a?>log2?-a?
2

? ?a>0, f(a)>f(-a)?? 1 ? ?log2a>log ? ?a<0, 或? ? ?-1<a<0

? ?a>0, ?? ? ?a>1

2

a

?a>1 或-1<a<0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5.函数 f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,则 a 的取值范围是 ( D ) A.(1,+∞) ? 1? C.?0,3? ? ? B.(0,1) D.(3,+∞)

解析 由于 a>0,且 a≠1,∴u=ax-3 为增函数,

∴若函数 f(x)为增函数,则 f(x)=logau 必为增函数, 因此 a>1.又 y=ax-3 在[1,3] 上恒为正,
∴a-3>0,即 a>3,故选 D.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
? 1 2

6

7

8

9

10

1 6.计算(lg -lg 25)÷100 4

=________. -20

解析

1 (lg -lg 25)÷100 4

?

1 2

1 =(lg )÷ 10-1 100

=-2×10=-20.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

7. 已知函数

?3x+1,x≤0, ? f(x)=? ? ?log2x,x>0,

则使函数 f(x)的图像位于

{ x|-1<x≤0 或 x>2} 直线 y=1 上方的 x 的取值范围是 ________________ .

解析 当 x≤0 时,3x 1>1?x+1>0,∴-1<x≤0;


当 x>0 时,log2x>1?x>2,∴x>2. 综上所述,x 的取值范围为-1<x≤0 或 x>2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
2

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1+a 8.若 log2a <0,则 a 1+a

?1 ? ? ,1? 的取值范围是____________ . ?2 ?

1+a2 解析 当 2a>1 时,∵log2a <0=log2a1, 1+a 2 1+a ∴ <1.∵1+a>0,∴1+a2<1+a, 1+a 1 2 ∴a -a<0,∴0<a<1,∴ <a<1. 2 1+a2 当 0<2a<1 时,∵log2a <0=log2a1, 1 + a 1+a2 ∴ >1.∵1+a>0,∴1+a2>1+a, 1+a ∴a2-a>0,∴a<0 或 a>1,此时不合题意. ?1 ? 综上所述,a∈?2,1?. ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集.

解 (1)要使函数 f(x)有意义. ? ?x+1>0, 则? 解得-1<x<1. ? 1 - x >0 , ? 故所求函数 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}.
(2)由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1},
且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)

=-[ loga(x+1)-loga(1-x)] =-f(x),
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集.

故 f(x)为奇函数.
(3)因为当 a>1 时, f(x)在定义域{x|-1<x<1}内是增函数,

x+1 所以 f(x)>0? >1,解得 0<x<1. 1-x
所以使 f(x)>0 的 x 的解集是{x|0<x<1}.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1 10.设 x∈[2,8]时,函数 f(x)= loga(ax)· loga(a2x)(a>0,且 a≠1) 2 1 的最大值是 1,最小值是- ,求 a 的值. 8

1 解 由题意知 f(x)= (logax+1)(logax+2) 2 1 1 32 1 2 = (logax+3logax+2)= (logax+ ) - . 2 2 2 8 1 3 当 f(x)取最小值- 时,logax=- . 8 2
又∵x∈[2,8] ,∴a∈(0,1).
∵f(x)是关于 logax 的二次函数,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1 10.设 x∈[2,8]时,函数 f(x)= loga(ax)· loga(a2x)(a>0,且 a≠1) 2 1 的最大值是 1,最小值是- ,求 a 的值. 8
∴函数 f(x)的最大值必在 x=2 或 x=8 时取得.
? 1 32 1 若2(loga2+2) -8=1,则 a= 2 3 , 1 3 ? ? 3 2 此时 f(x)取得最小值时,x= (2 ) = 2?[2,8] ,舍去. 1 32 1 1 若2(loga8+2) -8=1,则 a=2, 1 ( 此时 f(x)取得最小值时,x= 2 ) =2 2∈[2,8] ,符合题意,
? 3 2

1

1 ∴a=2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
1.设

B组
2

专项能力提升
3 4 5

? 2 ? ? f(x)=lg?1-x+a? ?是奇函数,则使 ? ?

f(x)<0 的 x 的取值范围是( A )

A.(-1,0) C.(-∞,0)

B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

解析

由 f(x)是奇函数可得 a=-1,

1+x ∴f(x)=lg ,定义域为(-1,1). 1-x
1+x 由 f(x)<0,可得 0< <1,∴-1<x<0. 1-x
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
则有 1 1 A.f( )<f(2)<f( ) 3 2 1 1 C.f( )<f( )<f(2) 2 3
解析

B组
2

专项能力提升
3 4 5
( C )

2. 设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x), 且当 x≥1 时,f(x)=ln x, 1 1 B.f( )<f(2)<f( ) 2 3 1 1 D.f(2)<f( )<f( ) 2 3

2-x+x 由 f(2-x)=f(x)知 f(x)的图像关于直线 x= 2 =1 对称,

又当 x≥1 时,f(x)=ln x,
所以离对称轴 x=1 距离大的 x 的函数值大,

1 1 ∵|2-1|>| -1|>| -1|, 3 2 1 1 ∴f( )<f( )<f(2). 2 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5
015)

3.设函数 f(x)=logax (a>0,且 a≠1),若 f(x1x2?x2
2 2 16 =8,则 f(x2 ) + f ( x ) +?+ f ( x 1 2 2 015)=________.

解析

f(x1x2?x2 015)=loga(x1x2?x2 015)=8,

2 2 2 2 2 f(x1 )+f(x2 ) + ? + f ( x ) = log x + log x + ? + log x 2 2 015 a 1 a 2 a 2 015

=loga(x1x2?x2 015)2=2loga(x1x2?x2 015)=16.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分

B组

专项能力提升
4 5

3 1 2 4.设 f(x)=|lg x|,a,b 为实数,且 0<a<b.

(1)求方程 f(x)=1 的解; a+b (2)若 a,b 满足 f(a)=f(b),求证:a· b=1, >1. 2 a+b (3)在(2)的条件下,求证:由关系式 f(b)=2f( )所得到的关 2 于 b 的方程 g(b)=0,存在 b0∈(3,4),使 g(b0)=0.

(1)解 由 f(x)=1 得,lg x=± 1,
1 所以 x=10 或10.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分

B组

专项能力提升
4 5

3 1 2 4.设 f(x)=|lg x|,a,b 为实数,且 0<a<b.

(1)求方程 f(x)=1 的解; a+b (2)若 a,b 满足 f(a)=f(b),求证:a· b=1, >1. 2 a+b (3)在(2)的条件下,求证:由关系式 f(b)=2f( )所得到的关 2 于 b 的方程 g(b)=0,存在 b0∈(3,4),使 g(b0)=0.

(2)证明 +∞),

结合函数图像, 由 f(a)=f(b)可判断 a∈(0,1), b∈(1,

从而-lg a=lg b,从而 ab=1. 1 1 b a+b b+b 2 b· 1 又 = > =1(因 ≠b). 2 2 2 b
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分

B组

专项能力提升
4 5

3 1 2 4.设 f(x)=|lg x|,a,b 为实数,且 0<a<b.

(1)求方程 f(x)=1 的解; a+b (2)若 a,b 满足 f(a)=f(b),求证:a· b=1, >1. 2 a+b (3)在(2)的条件下,求证:由关系式 f(b)=2f( )所得到的关 2 于 b 的方程 g(b)=0,存在 b0∈(3,4),使 g(b0)=0. a+b 2 (3)证明 由已知可得 b=( ), 2
2 2

因为 g(3)<0, g(4)>0, 根据零点存在性定理可知, 函数 g(b)在(3,4) 内一定存在零点,即存在 b0∈(3,4),使 g(b0)=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

1 得 4b=a +b +2ab,得b2+b2+2-4b=0, 1 g(b)=b2+b2+2-4b,

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数 y= log 1 ( x2 ? ax ? a) 在区间(-∞, 2)上是增函数,求 a 的取值范围.

2

函数 y= log 1 ( x2 ? ax ? a) 是由函数 y= log 1 t 和 t=x2-ax+a 2 2 复合而成.

因为函数 y=log 1 t 在区间(0,+∞)上单调递减, 2 a 2 而函数 t=x -ax+a 在区间(-∞, )上单调递减, 2 a 2 故函数 y=log 1 ( x ? ax ? a) 在区间(-∞, ]上单调递增. 2 2

又因为函数 y=log 1 ( x2 ? ax ? a)在区间(-∞, 2)上是增函数,
2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.已知函数 y= log 1 ( x2 ? ax ? a) 在区间(-∞, 2)上是增函数,求 a 的取值范围.
2

a ? ? 2≤ , 2 所以? 2 ? ?? 2? - 2a+a≥0,
? ?a≥2 2, 解得? ? ?2- 2a+a≥0,

即 2 2≤a≤2( 2+1).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分


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