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江苏省扬州市2013届高三第一学期期中考试数学试题


江苏省扬州市 2013 届高三第一学期期中考试数学试题
2012.11 全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分 160 分,考试时间 120 分钟),第 二部分为选修物理考生的加试部分(满分 40 分,考试时间 30 分钟). 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.第一部分试题答案均写在答题卷相应位置,答

在其它地方无效. 3.选修物理的考生在第一部分考试结束后,将答卷交回,再参加加试部分的考试.

第 一 部 分
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置 上) 1.已知复数 z 满足 z ? ?1 ? i ? ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z ? ▲ .

? ??? ? ? 2.已知点 A(?1, ?5) 和向量 a ? (2,3) ,若 AB ? 3a ,则点 B 的坐标为 ▲ .
3.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a7 ? 3a3 a4 ,则数列 {an } 的公比 q = ▲ . 4.已知 cos ? ?

5 ? ,且 ? ? (? , 0) ,则 sin( ? ? ? )= ▲ . 3 2

5.已知两个平面 a , b ,直线 l ^ a ,直线 m ? b ,有下面四个命题: ① ? // ? ? l ? m ; ② ? ? ? ? l // m ; ③ l ? m ? ? // ? ;④ l // m ? ? ? ? 。 其中正确的命题是 ▲ .

?2 x ? y ? 4 6.设 x, y 满足 ? x ? y ? ?1, 则z ? x ? y 的最小值是 ▲ . ? ?x ? 2 y ? 2 ?

x x sin cos cos x 2 2 ,则 f ( ? ) ? ▲ . 7.已知函数 f ( x) ? ? 8 2sin x 2 cos 2 x ? 1 2 1 8.已知命题 p :| 5 x ? 2 |? 3 ,命题 q : 2 ( ? 0 ,则 p 是 q 的 ▲ 条件. 在“充 x ? 4x ? 5
分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”选择并进行填空)

??? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? 9.△ABC 中, | AB |? 3 , | AC |? 4 , AB ? BC ? ?9 ,则 | BC |?

▲ .

10.已知关于 x 的不等式 ax ?b ? 0 的解集是 (1, ??) ,则关于 x 的不等式 是 ▲ .

ax ? b ? 0 的解集 x?2

11.已知等比数列 {an } 的首项是 1 ,公比为 2,等差数列 {bn } 的首项是 1 ,公差为1 ,把 {bn } 中 的 各 项 按 照 如 下 规 则 依 次 插 入 到 {an } 的 每 相 邻 两 项 之 间 , 构 成 新 数 列 {c n } :

a1 , b1 , a2 , b2 , b3 , a3 , b4 , b5 , b6 , a4 ,……,即在 an 和 an ?1 两项之间依次插入 {bn } 中 n 个
项,则 c2013 ? ▲ .

12. ?ABC 内接于以 O 为圆心, 1 为半径的圆, 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 , 若 以 且 则该 ?ABC 的面积为 ▲ . 13 . 已 知 等 差 数 列 {an } 的 首 项 为 1 , 公 差 为 2 , 若 a1 a2 ? a2 a3? a3 a? 4

??? ?

??? ?

??? ?

?

a4 a5 ? ? ? ?

?a2 n a2 n?1 ? t ? n2 对 n ? N * 恒成立,则实数 t 的取值范围是 ▲ .
14.设 x, y 是正实数,且 x ? y ? 1 ,则

x2 y2 ? 的最小值是 ▲ . x ? 2 y ?1

二、解答题:(本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(本小题满分 14 分) 2 ? 3x 2 2 已知 A ? {x | ? 1} , B ? {x | x ? 2 x ? 1 ? m ? 0, m ? 0} , x?6 (1)若 m ? 2 ,求 A ? B ; (2)若 A ? B ? B ,求实数 m 的取值范围. 16. (本小题满分 14 分) ?ABC 中, AC ? 3 ,三个内角 A, B, C 成等差数列. (1)若 cos C ?

(2)求 BA ? BC 的最大值. 17.(本小题满分 15 分) 如图, 四边形 ABCD 为正方形, 在四边形 ADPQ 中,PD // QA . QA ⊥平面 ABCD , 又

??? ??? ? ?

6 ,求 AB ; 3

QA ? AB ?

1 PD . 2

(1)证明: PQ ⊥平面 DCQ ; (2)CP 上是否存在一点 R ,使 QR // 平面 ABCD ,若存在,请求出 R 的位置,若不存在, 请说明理由.

18.(本小题满分 15 分) 某啤酒厂为适应市场需要, 2011 年起引进葡萄酒生产线, 同时生产啤酒和葡萄酒, 2011 年啤酒生产量为 16000 吨, 葡萄酒生产量 1000 吨。 该厂计划从 2012 年起每年啤酒的生产量 比上一年减少 50%,葡萄酒生产量比上一年增加 100%,试问: (1)哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低? (2)从 2011 年起(包括 2011 年),经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄 酒生产总量之和的

2 ?(生产总量是指各年年产量之和) 3

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? (1)求 a 、 b 的值; (2)已知定点 A(1,0) ,设点 P( x, y ) 是函数 y ? f ( x)( x ? ?1) 图象上的任意一点,求 | AP | 的最小值,并求此时点 P 的坐标; (3)当 x ? [1, 2] 时,不等式 f ( x) ?

ax ,且 f (1) ? 1 , f (?2) ? 4 . x?b

2m 恒成立,求实数 a 的取值范围. ( x ? 1) | x ? m |

20.(本小题满分 16 分) 设数列 {an } ,对任意 n ? N 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,(其中 k 、
*

b 、 p 是常数)。

(1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (3)若数列 ?an ? 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”. 当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? a1 ? 2 ,试问:是 否存在这样的“封闭数列”

?an ? , 使 得 对 任 意 n ? N * , 都 有 Sn

?0 ,且

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? ? ? .若存在,求数列 ?an ? 的首项 a1 的所有取值;若 1 2 S1 S2 S3 S 18 n
不存在,说明理由.

2012— 2013 学 年 度 第 一 学 期 检 测 试 题

高 三 数 学
2012.11

第二部分(加试部分)
(总分 40 分,加试时间 30 分钟) 注意事项: 答卷前, 请考生务必将自己的学校、 姓名、 考试号等信息填写在答题卷上规定的位置. 解 答过程应写在答题卷的相应位置,在其它地方答题无效. 21.(本题满分 10 分) 已知圆的极坐标方程为: ? ? 2 2cos(? ? 心的极坐标.

?
4

) ,将此方程化为直角坐标方程,并求圆

22.(本题满分 10 分) 如图所示, ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体,已知 AB ? 3 , AD ? 4 , AA1 ? 2 , M 是棱

A1 D1 的中点,求直线 AM 与平面 BB1 D1 D 所成角的余弦
值.

23.(本题满分 10 分) 袋中有 4 个红球,3 个黑球,从袋中随机地抽取 4 个球,设取到一个红球得 2 分,取到 一个黑球得 1 分. (1)求得分 X 不大于 6 的概率; (2)求得分 X 的数学期望.

24.(本题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? x ? sin x ,数列 {an } 满足 an ?1 ? f (an ) . (1)若 a1 ? 2 ,试比较 a2 与 a3 的大小; (2)若 0 ? a1 ? 1 ,求证: 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 恒成立.
*

扬州市 2012—2013 学年度第一学期期中调研测试试题 高三数学参考答案
1. 1 ? i 5.①、④ 9.5 13. (??, ?12] 解: a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? a4 a5 ? ??? ? a2 n a2 n ?1 2. (5, 4) 6.2 10. (?1,2) 3. 3 7. 4. ?

2 3

2

8.充分不必要 12.

11. 1951

6 5

? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ? ??? ? a2 n (a 2 n ?1 ?a2 n ?1 )

a2 ? a2 n ? n ? ?8n2 ? 4n , 2 4 2 2 * 所以 ?8n ? 4n ? tn ,所以 t ? ?8 ? 对 n ? N 恒成立, n t ? ?12 , 1 14. 4
? ?4(a2 ? a4 ? ? ? a2 n ) ? ?4 ?
解:设 x ? 2 ? s , y ? 1 ? t ,则 s ? t ? 4 ,

所以

x2 y 2 ( s ? 2)2 (t ? 1) 2 4 1 ? ? ? ( s ? 4 ? ) ? (t ? 2 ? ) = x ? 2 y ?1 s t s t

4 1 4 1 ? (s ? t ) ? ( ? ) ? 6 ? ( ? ) ? 2 。 s t s t 4 1 1 4 1 1 4t s 9 因为 ? ? ( ? )( s ? t ) ? ( ? ? 5) ? s t 4 s t 4 s t 4
x2 y2 1 ? ? 。 所以 x ? 2 y ?1 4
15.解:(1)由

2 ? 3x ··········· ··· ·········· ··· ? 1 解得 2 ? x ? 6 ,? A ? {x | 2 ? x ? 6} ··············3 分 x?6 由 m=2 知 x2-2x+1-m2≤0 化为(x-3)(x+1)≤0,解得 ?1 ? x ? 3 , ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· ·· ? B ? {x | ?1 ? x ? 3} ·································· 6 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ·········· ? A ? B ? {x | 2 ? x ? 3} ································7 分
(2)∵A∪B= B,? A ? B , ····························· 分 ··········· ·········· ······· 8 ·········· ··········· ······· 又∵m>0 ,∴不等式 x2-2x+1-m2≤0 的解集为 1-m≤x≤1+m, ·········· 分 ·········· ·········11

?1 ? m ? 2 ?m ? ?1 ∴? ,∴m≥5,∴实数 m 的取值范围是[5,+∞ ) ······· 分 ······· ······14 ?? ?1 ? m ? 6 ?m ? 5

16.解:(1)∵

A, B, C 成等差数列,∴

2B ? A ? C ,

又 A ? B ? C ? ? ,∴ 又 cos C ?

B?

?
3

, ··········· ··········· ···· 2 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ·····

6 3 ,∴ sin C ? , ·························4 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ··· 3 3

由正弦定理得: 所以 AB ?

AB BC , ? sin C sin A

BC 3 3 ··········· ·········· ·········· ··········· ? sin C ? ? ? 2 ; ··········· ·········· 7 分 sin A 3 3 2

(2)设角 A, B, C 的对边为 a, b, c ,由余弦定理得:

b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,
即 3 ? a ? c ? ac , ································· 分 ··········· ·········· ··········· 9 ·········· ··········· ···········
2 2 2

又 a ? c ? 2ac ,当且仅当 a ? c 时取到等号,
2 2

所以 9 ? a ? c ? ac ? ac ······························ 分 ··········· ·········· ········· ·····························11
2 2

1 9 ac ? , 2 2 ??? ??? ? ? 9 所以 BA ? BC 的最大值是 . ····························14 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······· 2
所以 BA ? BC ? 17.解:

??? ??? ? ?

(1)法一:?QA⊥平面 ABCD,?QA⊥CD, 由四边形 ABCD 为正方形知 DC⊥AD, 又 QA 、AD 为平面 PDAQ 内两条相交直线, ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ···· ?CD⊥平面 PDAQ,?CD⊥PQ, ························· 3 分 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= 则 PQ⊥QD,

2 PD, 2

··········· ··········· ·········· ····· 分 ··········· ·········· ··········· ···· 6 ·········· ··········· ··········· ····

又 CD 、QD 为平面 ADCB 内两条相交直线, ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· ·· ?PQ⊥平面 DCQ. ·································· 7 分 法二:?QA⊥平面 ABCD,QA ? 平面 PDAQ, ?平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD,?DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC. ·············································3 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· ·········· ·· 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ=

2 PD,则 PQ⊥QD, ·············6 分 ··········· ·· ·········· ·· 2

又 CD 、QD 为平面 ADCB 内两条相交直线, ?PQ⊥平面 DCQ. ········ 7 分 ········ ········ (2)存在 CP 中点 R,使 QR∥平面 ABCD ························ 分 ··········· ·········· ·· 8 ·········· ··········· ·· 证:取 CD 中点 T,连接 QR,RT,AT,则 RT∥DP,且 RT= 又 AQ∥DP,且 AQ=

1 DP, 2

1 DP,从而 AQ∥RT,且 AQ=RT, 2

·················11 ·········· ······· ?四边形 AQRT 为平行四边形,所以 AT∥QR, ·················· 分 ?QR ? 平面 ABCD,AT ? 平面 ABCD, ··········· ·········· ··········· ·· ·································15 ?QR∥平面 ABCD ·································· 分 18.解:设从 2011 年起,该车第 n 年啤酒和葡萄酒年生产量分别为 an 吨和 bn 吨,经过 n 年 后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为 An 吨和 Bn 吨。 ( 1 ) 设 第 n 年 啤 酒 和 葡 萄 酒 生 产 的 年 生 产 量 为 Dn 吨 , 依 题 意 ,

an ? 16000(1 ? 50%) n ?1 =

32000 , 2n

bn ? 1000(1 ? 100%)n?1 = 500 ? 2n ,( n ? N * ), ················· 分 ··········· ····· 4 ·········· ······
则 Dn ? an ? bn = 当且仅当

64 n 32000 64 n n + 500 ? 2 = 500( n ? 2 ) ? 500 ? 2 n ? 2 ? 8000 , n 2 2 2

64 ? 2n ,即 n ? 3 时取等号, n 2
Bn 2 ? ,得 Bn ? 2 An , An ? Bn 3

故 2013 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低,为 8000 吨。 ············7 分 ··········· · ·········· · (2)依题意,

1 16000[1 ? ( ) n ] 1000[1 ? 2n ] 2n ? 1 2 ? 1000(2n ? 1) , ∵ An ? ? 32000 ? n , Bn ? 1 1? 2 2 1? 2
∴ 1000(2 ? 1) ? 32000 ?
n

2n ? 1 ?2 , 2n

∵ 2 ? 1 ? 0 ,∴ 2 ? 64 ? 2 ,∴ n ? 6 ,
n n 6

从第 6 年起,葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之 和的

2 。 ········································· 15 分 ··········· ·········· ··········· ········· ·········· ··········· ··········· ········· 3
? f (1) ? 1 ? a ? b ?1 ,得 ? , ? f (?2) ? 4 ? ?2a ? b ? 2
. ··········· ··········· ·········· ·· 分 ··········· ·········· ··········· · 3 ·········· ··········· ··········· ·

19. 解:(1)由 ?

解得: ?

? a?2 ? b ?1

(2)由(1) f ( x) ?
2

2x , x ?1
2 2 2

所以 | AP | ? ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? 4( 令 x ?1 ? t , t ? 0 , 则 | AP | ? (t ? 2) ? 4(1 ? ) ? t ?
2 2 2 2

x 2 ) , x ?1

1 t

4 2 ? 4(t ? ) ? 8 2 t t

2 2 2 ? (t ? )2 ? 4(t ? ) ? 4 ? (t ? ? 2) 2 t t t 因为 x ? ?1 ,所以 t ? 0 , 2 所以,当 t ? ? ?2 2 , t
所以 | AP | ? (?2 2 ? 2) , ····························· 8 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········
2 2

即 AP 的最小值是 2 2 ? 2 ,此时 t ? ? 2 , x ? ? 2 ? 1 点 P 的坐标是 (? 2 ? 1, 2 ? 2) 。 ··························9 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· (3)问题即为

2x 2m 对 x ? [1, 2] 恒成立, ? x ? 1 ( x ? 1) | x ? m | m 对 x ? [1, 2] 恒成立, ······················· 分 ······················10 ·········· ··········· · | x?m|

也就是 x ?

要使问题有意义, 0 ? m ? 1 或 m ? 2 . 法一:在 0 ? m ? 1 或 m ? 2 下,问题化为 | x ? m |? 即m?

m 对 x ? [1, 2] 恒成立, x

m m ? x ? ? m 对 x ? [1, 2] 恒成立, x x

mx ? m ? x2 ? mx ? m 对 x ? [1, 2] 恒成立,
①当 x ? 1 时,

1 ? m ?1或 m ? 2 , 2

②当 x ? 1 时, m ?

x2 x2 且m ? 对 x ? (1, 2] 恒成立, x ?1 x ?1

对于 m ?

x2 x2 对 x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m ? ( ) max , x ?1 x ?1

令 t ? x ? 1, x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1 , t ? (2,3] ,

x2 (t ? 1) 2 1 ? ? t ? ? 2 , t ? (2,3] 递增, x ?1 t t ?( x2 4 4 )max ? , m ? ,结合 0 ? m ? 1 或 m ? 2 ,? m ? 2 x ?1 3 3 x2 x2 对 x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m ? ( )min x ?1 x ?1

对于 m ?

令 t ? x ? 1 , x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1, t ? (0,1] ,

x2 (t ? 1)2 1 ? ? t ? ? 2 , t ? (0,1] 递减, x ?1 t t ?( x2 ) min ? 4 ,? m ? 4 ,? 0 ? m ? 1或2 ? m ? 4 , x ?1

综上: 2 ? m ? 4 ··································· 分 ··········· ·········· ··········· ··· ··································16 法二:问题即为

2x 2m 对 x ? [1, 2] 恒成立, ? x ? 1 ( x ? 1) | x ? m |

也就是 x ?

m 对 x ? [1, 2] 恒成立, ······················· 分 ······················10 ·········· ··········· · | x?m|

要使问题有意义, 0 ? m ? 1 或 m ? 2 . 故问题转化为 x | x ? m |? m 对 x ? [1, 2] 恒成立, 令 g ( x) ? x | x ? m | ①若 0 ? m ? 1 时,由于 x ? [1, 2] ,故 g ( x) ? x( x ? m) ? x ? mx ,
2

g ( x) 在 x ? [1, 2] 时单调递增,依题意 g (2) ? m , m ?

4 ,舍去; 3
m 2 m2 ) ? , 2 4

②若 m ? 2 ,由于 x ? [1, 2] ,故 g ( x) ? x(m ? x) ? ?( x ?

考虑到

m ? 1 ,再分两种情形: 2
m m2 m , ? 2 ,即 2 ? m ? 4 , g ( x) 的最大值是 g ( ) ? 2 4 2

(ⅰ) 1 ?

依题意

m2 ? m ,即 m ? 4 ,? 2 ? m ? 4 ; 4

(ⅱ)

m ? 2 ,即 m ? 4 , g ( x) 在 x ? [1, 2] 时单调递增, 2

故 g (2) ? m ,? 2(m ? 2) ? m ,? m ? 4 ,舍去。 综上可得, 2 ? m ? 4 ································· 分 ································16 ·········· ··········· ··········· 20. 解:(1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,

3(a1 ? an ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,



用 n ? 1 去代 n 得, 3(a1 ? an ?1 ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an ?1 ) , ② ②-①得, 3(an ?1 ? an ) ? 2an ?1 , an ?1 ? 3an , ···················· 分 ··········· ········ 2 ·········· ········· 在①中令 n ? 1得, a1 ? 1 ,则 an ? 0,∴

an ?1 ? 3, an

∴数列 {an } 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列, ∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an =

3n ? 1 。 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· 2
③ ④

(2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) , 用 n ? 1 去代 n 得, (n ? 1)(a1 ? an ?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an ?1 ) , ④-③得,

(n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 ,

⑤ · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ··········· ····· ·········· ·····

用 n ? 1 去代 n 得, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 ? a1 ? 0 , ⑥ ⑥-⑤得, nan ? 2 ? 2nan ?1 ? nan ? 0 ,即 an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an , ········· 分 ········ 8 ········ ∴数列 {an } 是等差数列。 ∵ a3 ? 3 , a9 ? 15 ,∴公差 d ?

a9 ? a3 ········· ········10 ? 2 ,∴ an ? 2n ? 3 。 ········· 分 9?3

(3)由(2)知数列 {an } 是等差数列,∵ a2 ? a1 ? 2 ,∴ an ? a1 ? 2(n ? 1) 。 又 ?an ? 是“封闭数列”,得:对任意 m, n ? N ,必存在 p ? N 使
? ?

a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1) ,
得 a1 ? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数, ······················ 12 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· · 又由已知,

1 1 11 18 ? ? ,故 ? a1 ? 12 。 12 S1 18 11

一方面,当

18 ? a1 ? 12 时, 11
1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 。 S1 S2 S3 Sn S1 12

Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? 0 ,对任意 n ? N * ,都有
另一方面, 当 a1 ? 2 时, Sn ? n(n ? 1) ,

1 1 1 ? ? , Sn n n ? 1



1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? , S1 S2 S3 Sn n ?1
取 n ? 2 ,则

1 1 1 2 11 ? ? 1 ? ? ? ,不合题意。 ··············· 分 ··········· ···· ··············14 S1 S2 3 3 18 1 1 1 1 ? ( ? ) ,则 Sn 3 n n ? 3

当 a1 ? 4 时, Sn ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ??? ? ? ( ? ? )? , S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18
当 a1 ? 6 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 ? ( ? ), Sn 3 n n ? 3

1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ??? ? ? ( ? ? )? , S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18


18 ··········· · ·········· ·· ? a1 ? 12 ,∴ a1 ? 4 或 a1 ? 6 或 a1 ? 8 或 a1 ? 10 。 ············16 分 11

第二部分(加试部分) (总分 40 分,加试时间 30 分钟)
21. 解:由 ? ? 2 2cos(? ?

?

4

··········· ·· ·········· ··· ) 得, ? ? 2cos? ? 2sin ? , ············· 3 分

··········· ···· ·········· ···· ? 2 ? 2 ? cos? ? 2 ? sin ? ,即 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 , ···············6 分 圆心直角坐标是 (1, ?1) ,极坐标为 ( 2, ?

?
4

··················10 ·········· ········ ) 。··················· 分

22.解:以 D 为坐标原点, DA, DC , DD1 为坐标轴,建立 O ? xyz 坐标系, 则 AM ? (?2, 0, 2) , DD1 ? (0, 0, 2) , DB ? (4,3, 0) , 设平面 BDD1 B1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z )

???? ?

???? ?

??? ?

???? ? ? n ? DD1 ? 2 z ? 0 由? 可得 n 的一个值是 n ? (3, ?4,0) , ??? ? ? n ? DB ? 4 x ? 3 y ? 0
设直线 AM 与平面 BB1 D1 D 所成的角是 ? ,则

???? ? ???? ? | AM ? n | 3 2 ? sin ? ?| cos AM , n〉 ???? 〈 |? ? , ··········· ········· 8 分 ··········· ········· ·········· ········· | AM | ? | n | 10
故直线 AM 与平面 BB1 D1 D 所成角的余弦是

3 2 。 ··········· ····· 分 ··········· ····· ···············10 10

23. 解:(1) P ( X ? 5) ?

1 3 C4C3 C 2C 2 18 4 ? , P ( X ? 6) ? 4 4 3 ? , C74 35 C7 35

P( X ? 6) ? P( X ? 5) ? P( X ? 6) ?

22 ··········· ··········· · 分 ··········· ·········· · 4 ·········· ··········· · 35

(2)得分 X 的所有可能值为:5,6,7,8

P ( X ? 5) ?

1 3 C4C3 C 2C 2 18 4 ? , P ( X ? 6) ? 4 4 3 ? , C74 35 C7 35 3 1 C4 C3 12 C 4C 0 1 ? , P ( X ? 8) ? 4 4 3 ? , 4 C7 35 C7 35

P ( X ? 7) ?

得分 X 的分布列为

X
P

5

6

7

8

4 35

18 35

12 35

1 35

EX ? 5 ?

4 18 12 1 44 。 ··········· ········ 分 ··················10 ·········· ········ ? 6? ? 7 ? ? 8? ? 35 35 35 35 7

24. 解:(1) a1 ? 2 时, a2 ? f (2) ? 2 ? sin 2 ? (0, 2) , 所以 sin a2 ? 0 , 所以 a3 ? a2 ? ? sin a2 ? 0 , 所以 a2 ? a3 。 ·····································4 分 ··········· ·········· ··········· ····· ·········· ··········· ··········· ···· (2)用数学归纳证明当 0 ? a1 ? 1 时, 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 恒成立,
*

① n ? 1 时,结论成立; ②设 n ? k 时, 0 ? ak ? 1 , 则当 n ? k ? 1 时,

ak ?1 ? ak ? ? sin ak ? 0 ,即 ak ?1 ? ak ? 1 , ·····················6 分 ··········· ·········· ·········· ··········
当 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 1 ? cos x ? 0 , 即 f ( x) 是 (0,1) 上的单调递增增函数, 所以 ak ?1 ? f (ak ) ? f (0) ? 0 ,即 0 ? ak ?1 ? 1 即 n ? k ? 1 时,结论成立, 综上可得,当 0 ? a1 ? 1 时, 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 恒成立, ·········· 分 ·········· ·········10
*

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