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赋值法在解数学竞赛题中的应用


中 等

数 学

賦 值 法 在 解 数 学 竞 赛 题 中 的 应 用
刘 东 华
天津 市 南 开 中 学
中图 分类号

文献标识码

:

文 章编 号

:

数学 竞 赛 是 培 养 学 生 数 学

兴 趣 的 重 要 途 径
竞 赛 题 思 考性 强 有 助 于 学 生创 造 性 思 维 的 培 养

次 规定







最 终 变为




其中 有



类 数 学 问 题 若 用 常 规 的 思 考方 式 解 答


从而 所有 数变 为 相 等 且 对相邻 顶 点 对
,

往 往 捉襟 见 肘 此 时 只 需 转 换思 路 经 过添 加
, ,



(

,



的操作 次 数


赋值 使 问 题 迎 刃 而 解 下 面 举例 说 明 例





,

在正

边 形 的 每个 顶 点 处 各 放 置
的非 负 整数 给 某 两个相邻顶
,

符合题 目 要 求



个 不超过




棋盘

(



列 方格 构 成

'

点 处的 数分别加

称 作对 这两个 相邻顶 点 的




:

的 所有 小 方 格 均 染 上红 蓝 两 色 之
,



次 操作 求 的 最 小 值 使得 ⑴ 点 处 的 数 变 雌此 全 相 等
,

定 可 以 将 所有 顶

若 两 个相 邻 有 公共 边 的 小 方格 异 色 则 称 这 两





卡故士





碎麻科




)






届 俄 罗 斯 数学 奥林匹 克

?确 定 色
偶数
?

?

; 情形 下 什么


为 奇数

?

什么 情 形 下




设顶 点
'

,

`

,

孙的 粉优淹 韦 的数 ` 处 依次 为

说 明理 由

(

第 四 届 中 国 西 部 数 学 奥林 匹 克

)

解 对 每 次 操 作赋 值

把所 有 方 格 分 成 三 类 第
:

类方 格 位 于

純好 《 細胁 難讓 賴 ± 不 包括 四 个 角 上 其 余 的方 格 为 第 三 类
,

)

,

若对 相 邻 顶 点 对 岑 毛 操 作
,



)

次 则
,



上数

将 所有 红 色 方 格 填 上 数
记第

,

所 有 蓝 色 方格 填





;

若 对相 邻 顶 点 对
减少

(

,

操作

次 则
,



类 方格 中 的 填 数分 别 为











… , ,

第二 类 方 格 中 的 填 数 分别 为

,

若对 其 他 相 邻 顶 点 对
操作 初始时
,


,

;

次 则
,

保持 不 变
最终 时
,

第三 类 方 格 中 的 填 数 分 别 为

… , , ,

于是 至 少 要 对 相 邻 顶 点 对 次 毛
(
,

操作



任 意 两个 相 邻 的 方 格 在 其 公 共 边 上 标 上
,



这 两 个方格 中 填数 的 积 设所有公 共边 上 的 标 数 的 积 为
… , ,
:

从而


,

其次证 明 对任 意 初 始状 态 各 定可 以 通 过 至 多


对每 个第



类 方格 它 有 两个 邻 格 从 而 其
, ;

,



填数 在 丑 中 贡 献 两 次 填数 在 填数 在
中 贡 献 三次
好 中 贡 献 四次

操 作 将 所有 的 数 变 为 相 等
'

事 实上 对 相 邻 顶 点 对
,

对 每 个第 二类 方格 它 有 三 个 邻 格 从 而 其
, , '

操作

;



°

对 每 个第 三 类 方 格 它 有 四 个 邻 格 从 而 其
, ,

收稿





年第





,

其中

,



当 当
`



,


,

,

故 有 偶 数 个 标准 对
,

;


,

故有奇 数 个标 准对

这表 明

的 奇 偶 性 由 第 二类 方 格 的 颜 色 所




故 当 第 二类 方格 中 有 奇 数 个 蓝 色格 时

,

为奇



当 第 二类方 格 有 偶 数 个 蓝 色 格 时

,

为偶 数
的正三角 形



如图

平 面上 由 边 长 为
,

开始 时

个无 穷 的 三 角 形 网 络 三 角 形 的 顶 点 成 为 格 点 距离 为 的格 点 为 相 邻格 点
构成


而 由 规则 知 任 意



轮 跳 跃 不 改变 青 蛙



在 格 点 的值 与 青 蛙

所在 格 点 的 值之 比 值


若 最 终青 蛙 士

能 交 换位置 则

矛盾 所 以 不能做到
,






张 书签 每 张 书 签
,




面为 白色 另
,

面 为黑 色 将 它 们 排成


排 且 所有 的 书 签 的
,







面朝 上 每 次操 作 若 可 能 的 话 是拿 掉
( ) (



两 只 青 蛙 进 行跳 跃 游 戏

白 色 的 面朝 上 的 书签

非最靠边 的 书 签


)

,

并将 与
:




次 跳跃 是 指 青 蛙从 所 在 的 格 点 跳 至 相




这 张 书 签 相 邻 的 两 张书 签 翻 到 另

面 证 明 能够 不

邻 的 格点


使 得 只 剩 下 两 张 书 签 的 充 分 必要 条 件 是


青蛙

轮 跳 跃 是指 其 按 下 列 规 则


进 行的青蛙 规则

先青 蛙 青蛙

后 的 跳跃


(





预选 题
“ ”

)

任 意跳


次 则青蛙

沿与


,

证明

相 同 的 跳跃 方 向 跳 跃

次 或沿 与 之相 反 的跳跃
,

将 白 色 的 面朝 上 的 书 签称 为 白 书 则 在 所有 可 能 的 操 作 反之 称 为 黑 书 签




方 向 跳跃 两 次
规则
可 执行规则
,

后 黑书 签 的数
,

的 奇 偶性 始 终 不 变

当青蛙



所在 的 格 点 相 邻 时 它 们
,

剩 下 两 张 书签 则 这 两 张 书 签 的 颜 色 相 同
,

完成



轮 跳跃 也 可 由 青 蛙
,

连跳






张 书签 的 左边 有
`

张黑书 签 则 在该 白

两 次 每 次 跳 跃均 保 持 与 青 蛙
则 留 在 原地 不 动

相邻 而 青蛙

书 签 上 放置 数

(

只 在 白 书 签 上 放 置数

是 白 书签 上所放 置 的 数 的 和
:

若青 蛙
初 始 位 置上
,

义 的初 始位置为 两个相邻 的格 点
,

,

只需 证 明 在 可 能 的 操作下

,

是不 变量
之前其 则 拿掉 『

能否 经 过有 限 轮 跳 跃 使 青 蛙
中 国 国 家 集 训 队测 试

恰 位 于对 方 的

任 意选 择 左边 有



张 白 书签



,

且 设拿掉

张 黑 书签
『 的 两 张 相 邻 书签 均 为 黑 书 签

)


,



不 可能

后 白 书签 上 放 置 的数之 和 增 加 了

不妨 设 青 蛙



右 方 与 之相 邻 的 格 点 上
:

现 为每 个格 点 赋 值 先 取 青 蛙 点 将 此格 点 賦 值 为
, ,

初 始所在 格


因此

,



没 有改 变

以 后 赋 值规 则 为 任 意
,


,

『 的 两 张相 邻 书签 均 为 白 书 签

则拿掉 『
`

个 格 点 所 賦 之 值 是 其 左 边 相 邻 格 点 处 的 值乘 以 又 是 斜 左 下 方 与 之 相 邻 格 点 处 的 值乘 以 出 知
,
,

后 白 书签 上 放 置 的 数 之 和 增 加 了
` `

:

所 有 格点 赋 值 分 布 如 图

因此

其中



'



模 没有 改 变 麵 张相 邻 的 书 签 为 左 黑 右 白 则 拿 掉
,



等 数 学

斯 后 白 书 签上 放 置 的 数 之和 增 加 了
,
`
`

则 上述 每



种 策 略对 应





元有 序 数 组

因此

,



没 有 改变
,

擦 去所 有 的
则拿掉

;




,

『 的 两 张相 邻 的 书 签 为 左 白 右 黑

其中
对 赋值

,

,

,

后 白 书 签上 放 置 的 数 之 和增 加 了

擦去 所 有 的
`

`
`

广
因 为 开 始 时是

,

则 所有 张 白 书 签 所以
, '

种 策 賴 赋值 之和 为

若 最 后 剩 下 两 张书 签 则 当 是 两 张 白 书签 时



,


当是两张 黑书 签时
因此

'

对 于 黑板 上 的 每
,



个数

和 每种 策 略
中得 巾


定义


不被
整除 当
,







时 每次选 择 最
,

卞⑶
,

'

在数对



左 边 的 可 以 进行 操作 的 书 签 连 续 进 行

次操 作

'

后 则剩 下


张 白 书 签 没 有 黑 书 签 这 称为
,

)

`

(

轮操 作 对
张 白 书 签 经 过若 干 轮 上 述 操 作 后 得 到
, ' '

,

,

`

只 剩下



张 白 书 签 的 局 面 此 时 至 多再
, ,


、 ;
£ ;

操作 数




次 得 到 只 剩 下 两 张 白 书签 的 局 面
黑 板上 有
,


,



(

,

对 非 零 整 数 对于 每 个 整 至多 有 对 出 现在黑板
,






,

)

,



个整 数 中 的 某 些 使得 被 擦 去 的 数 中 任 两 个 数之 和 不 为 零 规定 若 这
一 一

学 生擦 去 这

:

对 整数 中 的 某
生 就得



对至少有



个 数 被擦 去 则 该 学
,



分 求该 学 生得分 的 最 大值
,



)

`



難 数 学 奥林 匹 克
定可 以得 到

)


首 先证 明



;

设黑板 上 所有 的 数 的 绝 对 值构 成 的 集 合 为
, '

,


(



,

不妨设 黑 板 上 没 有 形 如 否则 将 令


)

的数对
°








互换 即可


'








;

$“

考虑
,

种 不 同 的 策 略 擦 数方 式
(
,

每 种策



略 中 要 么 将 所有 的

的数对 用

擦去 要 么 将 所 有 的








穿
)

广一 他


,

,

,

将所有 形如
,

,



)

,



,



)






,

代 替后 每种 策略 的 最 终得到 分








数不咖
从 而 不 妨 设 所有 数 对 均 具 有
,




注意到
于是
,

,



,



$





'



§n

? 一



年第



与 数 字 和 的 狗 造 问 题 有 关 的 两 个 引 理
武 柄 杰
复旦 大学 数学科学学 院


级 研究 生
:

,

分类 号

文 献标 识 码

:

文章 编 号

有关数 字 和 的 问 题 当 对 题 目 进 行 灵 活 多 样 的 构 造 时 常 给 题 目 提 升 了 很 大 的 难 度 本文 旨 在
,

引理

的 证明 记
:



通 过 两个 简 单 的 引 理 串 连 起
,



系 列 此类 问题 的

构造 方 法 用
和 则

表示 数字

在 十进 制 表 示 下 的 数 字

所以


,

个 直接 的 运 用






计算

其中

表 示 不 超过 实 数 欠 的 最 大 整 数 由 表 达 式 ① 可 直接 得 到 结论
, , :

(

,

美 国数 学 奥 林 匹 克


)

;

分析 熟 知 引 理 且 稍 有 下 子 便 能得 到 答 案 了 的话





点 数 量 级概 念


,

的局 部 连 续性



:









,



利用 引 理 下 面 分 别 简 述两 个 引 理 及 其 证 明





收稿

… 似

'





期卿务
`



证明 对 于任 意 的
:






,

存在 无 穷


若 如 上 每 种 策 略 均 至 多得

分 则
,

从 而 该学 生 至 多 得
,





)

士卜



?

,

知当



与 式 ①矛 盾




,

取最大值

故 必有

种 策 略 至少 可 以 得
,



(
, ,

综上 得 分最 大 值 为
,

其次 构 造
对 于 每个

对数 使得 学 生 至 多 得


参 考文献

:

,

,

,

,

构造

对数







届俄 罗 斯数 学奥 林 匹 克
'

(

十年级

)

中 等数

对 数称 为 第








中 国 西 部 数 学 奥林 匹 克

中 等 数学


出版社

中 国 国家集训 队教练组 走向
(

数学

对 数 称为 第 二 类

奥 林 匹克 试 题 集 锦


上 海 华 东 师 范 大学

对任意
,



种 擦 数策 略 设
,

,

,

,

中 擦去

个数 则 在第



类 数对 中 得 到 分

分 在 第 二类 数
,







预 选题

中 等 数学

对 中 至 多得 到

美 国 数 学 奥 林匹 克 ⑴ 中 等 数 学


增刊




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