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2011年高考数学(北京卷,理科)word版


2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学(理) (北京卷)
1.已知集合 P ? {x | x2 ? 1} , M ? {a} ,若 P ? M ? P ,则 a 的取值范围是 A. (??, ?1] 2.复数 B. [1, ??) C. [?1,1] D. (??, ?1] ? [1, ??)

i?2 ? 1 ? 2i
B. ?i C. ?

A. i

4 3 ? i 5 5

D. ?

4 3 ? i 5 5

3.在极坐标系中,圆 ? ? ?2sin ? 的圆心的极坐标是 A. (1, )

? 2

B. (1, ? )

? 2

C. (1, 0)

D. (1, ?)

4.执行如图所示的程序框图,输出的 s 的值为 A. ?3 B. ?

1 2

1 3 2 D.
C.

5.如图,AD、AE、BC 分别与圆 O 切于点 D、E、F,延长 AF 与圆 O 交于另一点 G,给出下 列三个结论: E ① AD ? AE ? AB ? BC ? CA ; ② AF ? AG ? AD ? AE ; C ③ △ AFB ∽△ ADG . O G 其中正确的结论的序号是( ) A.①② B.②③ F C.①③ A D.①②③

B

D

? ? ? 6.根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 f ( x) ? ? ? ? ?
的值分别是 A. 75,25 C. 60,25 B. 75,16 D. 60,16

c ,x ? A x (A, c ,x ? A x

c 为常数) 。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品时用时 15 分钟,那么 c 和 A

7.某四面体三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是 A. 8 B. 6 2 C. 10 D. 8 2

8. 设 A(0,0) B(4,0) C( t ? 4 ,4) D(t,4) t ? R ) , , , ( ,记 N(t)为平行四边形 ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整数点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数 N(t)的值 域为 A.{ 9,10,11 } C.{ 9,11,12 } 9.在 B.{ 9,10,12 } D.{ 10,11,12 }

? ABC 中,若 b ? 5 , ?B ? ? , tan A ? 2 ,则 sin A ? _______, a ? ______. 4
1 , a4 ? ?4 , 则 公 比 q ? ________ ; 2

10.已知向量 a ? ( 3,1) , b ? (0, ?1) , c ? (k , 3) ,若 a ? 2b 与 c 共线,则 k ? ________. 11. 在 等 比 数 列 {an } 中 , 若 a1 ?

| a1 | ? | a2 | ??? | an |? ________.

12.用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有______个(用数字 作答)

?2 x?2 ? , 13.已知函数 f ( x) ? ? x ,若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根,则实数 k 的 ?( x ? 1)3 , x ? 2 ?
取值范围是________. 14.曲线 C 是平面内与两个定点 F1 (?1,0) 和 F2 (1,0) 的距离的积等于常数 a 2 (a ? 1) 的点的轨迹, 给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则

? F PF 的面积不大于 1 a . 2
2

1

2

其中,所有正确结论的序号是____________. 15.已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 [ ?

? 6

? ? , ] 上的最大值和最小值。 6 4

? PA AB=2 , BAD=60? . 16.如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, ? 平面 ABCD, 底面 ABCD 是菱形, (1)求证: BD ? 平面 PAC; (2)若 PA=PB ,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

P

D A B
17.以下茎叶图记录了甲、 乙两组各四名同学的植树棵数。 乙组记录中有一个数据模糊, 无法确认, 在图中以 X 表示。

C

(1)如果 X ? 8 ,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果 X ? 9 ,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数 Y 的分 布列和数学期望。
2 (注:方差 s ?

1 [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,…, xn 的平均数) n

x

18.已知函数 f ( x) ? ( x ? k ) 2 e k . (1)求 f (x) 的单调区间; (2)若对 ?x ? (0 , ? ?) ,都有 f ( x ) ?

1 ,求 k 的取值范围。 e

x2 ? y 2 ? 1,过点(m,0)作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点。 19.已知椭圆 G: 4
(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 | AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值。

20.若数列 An : a1 , a2 ,…, an (n ? 2) 满足 | ak ?1 ? ak |? 1 ( k ? 1 ,2,…, n ? 1 ) ,则称 An 为

E 数列。记 S ( An ) ? a1 ? a2 ? ? ? an .
(1)写出一个满足 a1 ? a5 ? 0 ,且 S ( A5 ) ? 0 的 E 数列 A5 ; (2)若 a1 ? 12 , n ? 2000 ,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an ? 2011 ; (3)对任意给定的整数 n(n ? 2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得 S ( An ) ? 0 ?如果存在, 写出一个满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由。


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