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第三章 第二节 任意三角的三角函数的定义与诱导公式


第三章 第二节任意三角的三角函数的定义与诱导公式

题组一

三角函数的定义

1.角 α 的终边上有一点 P(a,a)(a≠0),则 cosα= A. 2 2 B.- 2 2 C. 2 2 或- 2 2

( D.1

)

解析:∵r= a2+a2= 2|a

|, 当 a>0 时,cosα= 当 a<0 时,cosα= 答案:C 2π 2.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向运动 弧长到达 Q 点,则 Q 的坐标 3 为 1 3 A.(- , ) 2 2 1 3 C.(- ,- ) 2 2 B.(- D.(- 3 1 ,- ) 2 2 3 1 , ) 2 2 ( ) a 2 = ; 2a 2 a 2 =- . 2 - 2a

2 2 1 3 解析:根据题意得 Q(cos π,sin π),即 Q(- , ). 3 3 2 2 答案:A 3.若角 α 的终边落在直线 y=-x 上,则 A.0 B.2 1-cos2α sinα + 的值等于 cosα 1-sin2α C.-2 D.2tanα 3π ,k∈Z,sinα,cosα 的符号相 4 ( )

解析:因为角 α 的终边落在直线 y=-x 上,α=kπ+ 反.当 α=2kπ+ 3π , 4

即角 α 的终边在第二象限时,sinα>0,cosα<0; 当 α=2kπ+ 7π ,即角 α 的终边在第四象限时, 4

sinα<0,cosα>0.

所以有 答案:A

1-cos2α sinα |sinα| sinα + = + =0. cosα |cosα| cosα 1-sin2α

题组二 4.(tanx+ 1 )cos2x= tanx B.sinx

化 简 问 题 ( C.cosx 1 D. tanx )

A.tanx 解析:(tanx+

sinx cosx 1 )cos2x=( + )cos2x tanx cosx sinx

sin2x+cos2x cosx 1 = · 2x= cos = . sinxcosx sinx tanx 答案:D π π π π 5.sin(π+ )sin(2π+ )sin(3π+ )…sin(2010π+ )的值等于________. 6 6 6 6 11 1 1 1 解析:原式=(- ) (- )… =- 2010. 22 2 2 2 1 答案:- 2010 2 6.如果 sinα· cosα>0,且 sinα· tanα>0, α 化简:cos · 2 α 1-sin 2 α +cos · α 2 1+sin 2 α 1+sin 2 . α 1-sin 2

sin2α 解:由 sinα· tanα>0,得 >0,cosα>0. cosα 又 sinα· cosα>0,∴sinα>0, π α π ∴2kπ<α<2kπ+ (k∈Z),即 kπ< <kπ+ (k∈Z). 2 2 4 α 当 k 为偶数时, 位于第一象限; 2 α 当 k 为奇数时, 位于第三象限. 2 α ∴原式=cos · 2 α (1-sin )2 2 α α +cos2· cos2 2 α (1+sin )2 2 α cos2 2

α α α 1-sin 1+sin 2cos 2 2 2 α α =cos · +cos · = α α α 2 2 |cos | |cos | |cos | 2 2 2

?2 =? ?-2

α ( 在第一象限时) 2 α ( 在第三象限时) 2 题组三 .

条件求值问题 ( 1 C. 3 D.- 1 3 )

π 1 π 7.已知 sin(α- )= ,则 cos( +α)= 4 3 4 2 A. 2 3 2 B.- 2 3

π π π 解析:∵cos( +α)=sin[ -( +α)] 4 2 4 π π 1 =sin( -α)=-sin(α- )=- . 4 4 3 答案:D 8.已知 A 为锐角,lg(1+cosA)=m,lg 1 A.m+n 1 1 C. (m+n) 2 1 =n,则 lgsinA 的值为 1-cosA ( )

B.m-n 1 D. (m-n) 2

1 解析:两式相减得 lg(l+cosA)-lg =m-n? 1-cosA lg[(1+cosA)(1-cosA)]=m-n?lgsin2A=m-n, ∵A 为锐角,∴sinA>0, ∴2lgsinA=m-n,∴lgsinA= 答案:D 3 sin(π-α)cos(2π-α)cos(-α+ π) 2 9.已知 f(α)= π cos( -α)sin(-π-α) 2 (1)化简 f(α); 3 1 (2)若 α 为第三象限角,且 cos(α- π)= ,求 f(α)的值; 2 5 (3)若 α=- 31 π,求 f(α)的值. 3 sinαcosα(-sinα) =-cosα. sinα· sinα m-n . 2

解:(1)f(α)=

3 1 1 (2)∵cos(α- π)=-sinα= ,∴sinα=- , 2 5 5 又∵α 为第三象限角,

2 6 ∴cosα=- 1-sin2α=- , 5 ∴f(α)= (3)∵- ∴f(- 2 6 . 5

31 5 π=-6×2π+ π 3 3

31 31 π)=-cos(- π) 3 3

5 =-cos(-6×2π+ π) 3 π 5 1 =-cos π=-cos =- . 3 3 2

题组四

公式的灵活应用

10.已知 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中 a、b、α、β 都是非零常数,若 f(2 009)=- 1,则 f(2 010)等于 A.-1 B.0 C.1 D.2 ( )

解析:法一:∵f(2 009)=asin(2 009π+α)+bcos(2 009π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β) =-(asinα+bcosβ)=-1, ∴f(2 010)=asin(2 010π+α)+bcos(2 010π+β) =asinα+bcosβ=1. 法二:f(2 010)=asin(2 010π+α)+bcos(2 010π+β) =asin[π+(2 009π+α)]+bcos[π+(2 009π+β)] =-asin(2 009π+α)-bcos(2 009π+β) =-f(2 009)=1. 答案:C 11.若 f(cosx)=cos3x,则 f(sin30° )的值为________. 解析:∵f(cosx)=cos3x, ∴f(sin30° )=f(cos60° )=cos(3×60° )=cos180° =-1. 答案:-1 12.(2010· 余姚模拟)如图,A、B 是单位圆 O 上的动点,且 A、B 分别在第一、二象限.C 是圆 O 与轴正半轴的交点,△AOB 为正三角形.记∠AOC=α. sin2α+sin2α 3 4 (1)若 A 点的坐标为( , ).求 2 的值; 5 5 cos α+cos2α (2)求|BC|2 的取值范围.

3 4 4 解:(1)∵A 点的坐标为( , ),∴tanα= , 5 5 3 ∴ sin2α+sin2α sin2α+2sinαcosα = cos2α+cos2α 2cos2α-sin2α

sin2α sinα 16 8 + 2 +2× 2 cos α cosα tan α+2tanα 9 3 = = = =20. sin2α 16 2-tan2α 2- 2- 2 9 cos α (2)设 A 点的坐标为(x,y),∵△AOB 为正三角形, π π ∴B 点的坐标为(cos(α+ ),sin(α+ )),且 C(1,0), 3 3 π π ∴|BC|2=[cos(α+ )-1]2+sin2(α+ ) 3 3 π =2-2cos(α+ ). 3 而 A、B 分别在第一、二象限, π π ∴α∈( , ). 6 2 π π 5π ∴α+ ∈( , ), 3 2 6 π 3 ∴cos(α+ )∈(- ,0). 3 2 ∴|BC|2 的取值范围是(2,2+ 3).


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