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2015-2016学年高中数学 1.4全称量词与存在量词课后习题 新人教A版选修2-1


【优化设计】2015-2016 学年高中数学 1.4 全称量词与存在量词课后习题 新人教 A 版选修 2-1
课时演练·促提升 A组 1.已知命题 p:? x∈R,cos x≤1,则( ) A. p:? x∈R,cos x≥1 B. p:? x∈R,cos x≥1 C. p:? x∈R,cos x>1 D. p:? x∈R,cos x>1 答案:C 2.下列命题中的假命题是( ) A.? x∈R,lg x=0 B.? x∈R,tan x=1 3 x C.? x∈R,x >0 D.? x∈R,2 >0 3 解析:对于 C,当 x=-1 时,x =-1<0,故 C 为假命题. 答案:C 3.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( ) A.存在一个 α ,使 tan(90°-α )=tan α B.存在实数 x0,使 sin x0= C.对一切 α ,sin(180°-α )=sin α D.sin(α -β )=sin α cos β -cos α sin β 解析:只有 A,B 两个选项中的命题是特称命题. 因为|sin x| ≤1,所以 sin x0=不成立,故 B 中命题为假命题, 又因为当 α =45°时,tan(90°-α )=tan α ,故 A 中命题为真命题. 答案:A 4.下列说法中,正确的个数是( ) ①存在一个实数 x,使-2x2+x-4=0; ②所有的质数都是奇数; ③在同一平面中斜率相等且不重合的两条直线都平行; ④至少存在一个正整数,能被 5 和 7 整除. A.1 B.2 C.3 D.4 2 解析:①方程-2x +x-4=0 无解,故①不正确; ②2 是质数,但不是奇数,故②不正确; ③正确; ④35 能被 5 和 7 整除.故④正确. 答 案:B 2 5.已知命题 p:? x∈R,x +2x-a>0.若 p 为真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a>-1 B.a<-1 C.a≥-1 D.a≤-1 2 解析:依题意不等式 x +2x-a>0 对 x∈R 恒成立,所以必有 Δ =4+4a<0,解得 a<-1. 答案:B 2 6.命题 p:存在实数 m,使方程 x +mx+1=0 有实数根,则“ p”形式的命题是 . 2 答案:对任意实数 m,方程 x +mx+1=0 没有实数根 2 2 7.给出下列四个命题:①a⊥b?a·b=0;②矩形不是梯形;③? x,y∈R,x +y ≤1;④任意互相垂直的 两条直线的斜率之积等于-1.其中全称命题是 . 答案:①②④ 8.已知命题 p:“? x∈,sin x+cos x>m”为真命题,则 m 的取值范围是 . 解析:设 f(x)=sin x+cos x,x∈,则由已知得 m<f(x)min. ∵f(x)=sin x +cos x,∴f(x)=sin . 又∵0≤x≤,∴≤x+, ∴≤sin≤1, ∴f(x)min=1.∴m 的取值范围是 m<1. 答案:(- ∞,1)

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9.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定: (1)三角形的内角和为 180°; (2)每个二次函数的图象都开口向下; (3)存在一个四边形不是平行四边形. 解:(1)是全称命题且为真命题. 命题的否定:三角形的内角和不全为 180°,即存在一个三角形其内角和不等于 180°. (2)是全称命题且为假命题. 命题的否定:存在一个二次函数的图象开口不向下. (3)是特称命题且为真命题. 命题的否定:所有的四边形都是平行四边形. 10.已知命题 p:? x0∈R,使 a+2x0+a<0,若 命题p 是假命题,求实数 a 的取值范围. 解:由于 p 是假命题,则 p 是真命题. 2 即不等式 ax +2x+a<0 有实数解, (1)当 a=0 时,不等式为 2x<0,符合题意; 2 (2)当 a<0 时,抛物线 y=ax +2x+a 开口向下,符合题意; 2 (3)当 a>0 时,应满足 Δ =4-4a >0. 所以 0<a<1. 综上可知,实数 a 的取值范围是 a<1. B组 2 1.若函数 f(x)=x +(a∈R),则下列结论正确的是( ) A.? a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数 B.? a∈R, f(x)在(0,+∞)上是减函数 C.? a∈R,f(x)是偶函数 D.? a∈R,f(x)是奇函数 2 2 解析:对于 f(x)=x +,当 a=0 时,f(x )=x 是偶函数,所以 C 项正确. 答案:C 2 2.已知 a>0,函数 f(x)=ax +bx+c,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的 是( ) A.? x∈R,f(x)≤f(x0) B.? x∈R,f(x)≥f(x0) C.? x∈R,f(x)≤f(x0) D.? x∈R,f(x)≥f(x0) 2 解析:当 a>0 时,函数 f(x)=ax +bx+c 的图象为开口向上的抛物线,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0, 则 x0=-为 抛物线顶点的横坐标, f(x)min=f(x0),故对于? x∈R,f(x)≥f(x0)成立, 从而选项 A,B,D 为真命题,选项 C 为假命题. 答案:C 2 3.若命题 r(x):sin x+cos x>m,s(x):x +mx+1>0,如果对? x∈R,r(x)为假命题且 s(x)为真命题,则 实数 m 的取值范围是 . 解析:因为 sin x+cos x=sin ∈[-],所以如果对? x∈R,r(x)为假命题,即对? x∈R,不等式 sin x+cos x>m 不恒成立,则 m≥; 2 2 又对? x∈R,s(x)为真命题,即对? x∈R,不等式 x +mx+1>0 恒成立,所以 Δ =m -4<0,即-2<m<2; 故对于? x∈R,r(x)为假命题且 s(x)为真 命题,应有≤m<2. 答案:≤m<2 4.写出下列命题的 否定,并判断真假. 2 (1)p:? x∈R,x -x+≥0; (2)q:? x0∈R,+2x0+2≤0. 解:(1)命题的否定为:? x0∈R,-x0+<0,是一个假命题. 2 (2)命题的否定是:? x∈R,x +2x+2>0,是一个真命题. 2 5.若命题“对任意实数 x,2x>m( x +1)”是真命题,求实数 m 的取值范围. 2 解:由题意知, 不等式 2x>m(x +1)恒成立, 2 即不等式 mx -2x+m<0 恒成立. (1)当 m=0 时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立,不合题意.

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(2)当 m≠0 时,要使不等式 mx -2x+m<0 恒成立,则解得 m<-1. 综上可知,所求实数 m 的取值范围是(-∞,-1). 2 6.已知命题 p:? x∈R,x +(a-1)x+1≥0 成立,命题 q:? x0∈R,a-2ax0-3>0 不成立,若 p 假 q 真,求实 数 a 的取值范围. 2 解:因为命题 p:? x∈R,x +(a-1)x+1≥0 是假命题, 2 2 所以命题 p:? x0∈R,+(a-1)x0+1<0 是真命题,则 Δ =(a-1) -4>0,即(a-1) >4, 故 a-1<-2 或 a-1>2, 即 a<-1 或 a>3. 因为命题 q:? x0∈R,a-2ax0-3>0 不成立, 2 所以命题 q:? x∈R,ax -2ax-3≤0 成立, 当 a=0 时,-3<0 成立; 2 2 当 a<0 时,必须 Δ =(-2a) +12a≤0,即 a +3a≤0, 解得-3≤a<0,故-3≤a≤0. 综上所述,-3≤a<-1. 所以实数 a 的取值范围是[-3,-1)

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