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2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征知识点试题及答案


一、知识要点及方法
一、众数,中位数,平均数 1、在频率分布直方图中估计众数数 直方图中最高的矩形的中点。 2、在频率分布直方图中估计中位数 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此可以估计中位数的值。 3、在频率分布直方图中估计平均数 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐 标之和。 4、对众数,中位数,平均数估计总体数字特征的

认识 (1)样本众数通常用来表示分类变量的中心值,比较容易计算,但是它只能表示样本 数据中的很少一部分信息. (2)中位数不受少数几个极端值的影响, 容易计算,它仅利用了数据排在中间的数据的 信息. (3) 样本平均数与每个样本数据有关,所以,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的 改变.这是中位数,众数都不具有的性质,也正因为这个原因,与众数,中位数比较起 来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息. (4) 如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多较大的极端值;反之, 说明数 据中存在许多较小的极端值. (5) 使用者根据自己的利益去选择使用中位数或平均数来描述数据的中心,从而产生一 些误导作用. 二、标准差 1、标准差 考察样本数据的分散程度的大小, 最常用的统计量是标准差。 标准差是样本数据到平均 数的一种平均距离,一般用 s 表示。 样本数据 x1, x2, ?, xn 的标准差的算法: (1) 、算出样本数据的平均数 x 。 (2) 、算出每个样本数据与样本数据平均数的差: xi ? x(i ? 1, 2,?n) (3) 、算出(2)中 xi

? x(i ? 1,2,?n) 的平方。

(4) 、算出(3)中 n 个平方数的平均数,即为样本方差。 (5) 、算出(4)中平均数的算术平方根, ,即为样本标准差。 其计算公式为:

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n
? 0 。当 s ? 0 时,意味着所有的样本数据

显然,标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小。 注:从标准差的定义和计算公式都可以得出: s

都等于样本平均数。 2.方差 从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方 s (即方差)来代替标准差,作为测 量样本数据分散程度的工具:
2

s2 ?

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n

在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一 般多采用标准差。

二、试题
同步测试 1. 如图是 2012 年青年歌手大奖赛中七位评委为甲、 乙两名选手打出的分数的茎叶图(其 中 m 为数字 0~9 中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平 均数分别为 a1,a2,则一定有( ) A.a1>a2 B.a2>a1 C.a1=a2 D.a1,a2 的大小与 m 的值有关 2.甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示. ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高; ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低; ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是( ) A.③④ B.①②④ C.②④ D.①③④ 3.某公司将职员每月的工作业绩用 1~30 的自然数表示,甲、乙两职员在 2010 年 1~ 8 月份的工作业绩的茎叶图如图,则下列说法正确的是( )

A.两职员的平均业绩相同,甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定 B.两职员的平均业绩不同,甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定 C.两职员的平均业绩相同,乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定 D.两职员的平均业绩不同,乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定 4.在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别 是________,________.

课时训练 1.样本 101,98,102,100,99 的标准差为( ) A. 2 B.0 C.1 D.2 2.为了解我国 13 岁男孩的平均身高,从北方抽取了 300 个男孩,平均身高为 1.60 m; 从南方抽取了 200 个男孩,平均身高为 1.50 m,由此可推断我国 13 岁男孩的平均身高约为 ( ) A.1.54 m B.1.55 m C.1.56 m D.1.57 m 3.甲、乙两台机床同时生产一种零件,现要检验它们的运行情况,统计 10 天中两台机 床每天出次品数分别为甲:0,1,0,2,2,0,3,1,2,4;乙:2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.则出次品数( ) A.甲较少 B.乙较少 C.相同 D.不能比较 4.已知某中学高三(2)班的甲、乙两名同学自高中以来每次数学考试成绩的茎叶图如图 所示,则下列说法正确的是( )

A.乙同学比甲同学发挥的稳定,且平均成绩也比甲同学高 B.乙同学比甲同学发挥的稳定,但平均成绩不如甲同学高 C.甲同学比乙同学发挥的稳定,且平均成绩也比乙同学高 D.甲同学比乙同学发挥的稳定,但平均成绩不如乙同学高 5.某地居民的月收入调查所得数据的频率分布直方图如图,居民的月收入的中位数大 约是( ) A.2100 C.2500 B.2400 D.2600

6.城市交通拥堵已经成为日益突出的社会问 题,为了缓解交通高峰的压力,某市政府采取了错 时上下班的措施.下表是某路段在采取措施前后 30 min 通过的车流量. 时间段 6∶30~7∶00 7∶00~7∶30 2000 2500 采取措施前车流量 1800 2200 采取措施后车流量

7∶30~8∶00 3000 2500

时间段 8∶00~8∶30 8∶30~9∶00 9∶00~9∶30 1800 1700 1600 采取措施前车流量 2300 2000 1800 采取措施后车流量 在 6∶30 到 9∶30 这个时间段内,采取措施后下列说法正确的是( ) A.采取措施后平均车流量减少 B.采取措施后平均车流量增大 C.采取措施后车流量的方差大于采取措施前的 D.采取措施后车流量的方差小于采取措施前的

7.一个样本按从小到大的顺序排列为 10,12,13,x,17,19,21,24,其中位数为 16,则 x= ________. 8.某教师出了一份共 3 道题的测试卷,每道题 1 分,全班得 3 分、2 分、1 分、0 分的 学生所占比例分别为 30%、40%、20%、10%.若全班共有 30 人,则全班同学的平均得分是 ________分. 9.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中抽取 8 件产品,对其使用寿命(单位:年) 进行追踪调查的结果如下: 甲:3,4,5,6,8,8,8,10; 乙:4,6,6,6,8,9,12,13; 丙:3,3,4,7,9,10,11,12. 三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是 8 年, 请根据结果判断厂家在广告中分别运用 了平均数,众数,中位数中的哪一种集中趋势的特征数. 甲:________,乙:________,丙:________. 10.为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加 2010 年广州亚运会跳水项目,对甲、乙两 名运动员进行培训. 现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 6 次, 得出 茎叶图如图所示. 从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑, 你认为选派哪名运 动员合适? 11.假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数. 甲:10,9,10,10,11,11,9,11,10,10; 乙:8,10,14,7,10,11,10,8,15,12. 估计两个供货商的交货情况, 并问哪个供货商的交货时间短一些, 哪个供货商的交货时 间较具有一致性与可靠性. 12. 某制造商 3 月生产了一批乒乓球, 随机抽样 100 个进行检查, 测得每个球的直径(单 位:mm),将数据分组如下表: 分组 频数 频率 [39.95,39.97) 10 [39.97,39.99) 20 [39.99,40.01) 50 [40.01,40.03] 20 100 合计

(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数), 并在上图中画出频率分布直方 图; (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是 40.00)作为代表.据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数).

答案: 同步测试 1、解析:选 B.根据茎叶图可知,去掉一个最高分和一个最低分后,甲的平均分为 a1 5+4+5+5+1 4+4+6+4+7 =80+ =84,乙的平均分为 a2=80+ =85,故 a2>a1,故选 B. 5 5 2 、 解 析 :选 A. 由 茎叶图 知 甲 同学 的 成绩 为 72,76,80,82,86,90 ; 乙同 学 的成 绩 为 69,78,87,88,92,96.故甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数,①错; 计算得甲同学的平均分为 81,乙同学的平均分为 85,故甲同学的平均分比乙同学的平 均分低,因此②错、③对;计算得甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差,故④对. 1 3、解析:选 C.根据茎叶图提供的数据得 x 甲= (12+15+18+20+20+22+25+28)= 8 1 1 20, x 乙= (14+15+17+19+21+23+25+26)=20,s2 = [(12-20)2+(15-20)2+(18- 甲 8 8 1 2 2 2 2 2 20) +(20-20) +(20-20) +(22-20) +(25-20) +(28-20)2]=23.25,s2 = [(14-20)2+ 乙 8 2 2 2 2 2 2 (15-20) +(17-20) +(19-20) +(21-20) +(23-20) +(25-20) +(26-20)2]=17.75,故 两职员的平均业绩相同,乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定. 4、解析:甲组数据为:28,31,39,42,45,55,58,57,66,中位数为 45. 乙组数据为:29,34,35,42,46,48,53,55,67,中位数为 46. 答案:45 46 课时训练 1、解析:选 A.样本平均数 x =100,方差为 s2=2, ∴标准差 s= 2,故选 A. 300×1.60+200×1.50 2、解析:选 C. =1.56(m),故选 C. 500 1 3、解析:选 B. x 甲= (0+1+0+2+…+4)=1.5, 10 1 x 乙= (2+3+…+1)=1.2,故选 B. 10 4、 解析: A.从茎叶图可以看出乙同学的成绩集中分布在 80~100 之间, 选 中位数为 95.5, 甲同学的成绩集中分布在 70~90 之间,中位数是 88.5,可以得出结论:乙同学比甲同学发 挥的稳定,且平均成绩也比甲同学高.选 A. 5、解析:选 B.从频率分布直方图,可以知道要使得两边的面积相等,平分面积的直线 应该在 2000~2500 之间,设该直线的方程为 x=a,则 500×(0.0002+0.0004)+0.0005×(a -2000)=0.0005×(2500-a)+500×(0.0005+0.0003+0.0001),解得 a=2400,即居民的月 收入的中位数大约是 2400. 6、解析:选 D.由于 x 前=2100 辆, x 后=2100 辆,所以采取措施前后的平均车流量没 有变化.由于对样本数据和平均值缩小相同比例不影响结果,故可将数据缩小为原数据的 2 2 1%.所以可得 s前≈24.7,s后≈6.7. x+17 7、解析:由中位数的定义知 =16,∴x=15. 2 答案:15 8、 解析: 全班得 3 分, 分, 分, 分的学生数分别是 30×30%=9,30×40%=12,30×20% 2 1 0 9×3+12×2+6×1+3×0 =6,30×10%=3,则全班同学的平均分是 =1.9. 30 答案:1.9 9、解析:甲的众数为 8, 乙的平均数为 8,

7+9 丙的中位数 =8. 2 答案:众数 平均数 中位数 10、解:根据茎叶图,可得甲、乙两名运动员的 6 次预赛成绩如下: 甲:78 79 81 84 93 95 乙:75 80 83 85 92 95 派甲运动员参赛比较合适. 理由如下: 1 x 甲= (70×2+80×2+90×2+8+9+1+4+3+5)=85, 6 1 x 乙= (70×1+80×3+90×2+5+0+3+5+2+5)=85, 6 1 133 s2 = [(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(84-85)2+(93-85)2+(95-85)2]= , 甲 6 3 1 139 2 2 2 2 2 2 2 s乙= [(75-85) +(80-85) +(83-85) +(85-85) +(92-85) +(95-85) ]= . 6 3
2 ∵ x 甲= x 乙,s2 <s乙,∴甲运动员的成绩较稳定,派甲运动员参赛比较合适. 甲 1 11、解: x 甲= (10+9+10+10+11+11+9+11+10+10)=10.1(天), 10 1 s2 = [(10-10.1)2+(9-10.1)2+(10-10.1)2+ 甲 10 (10-10.1)2+(11-10.1)2+(11-10.1)2+ (9-10.1)2+(11-10.1)2+(10-10.1)2+ (10-10.1)2]=0.49; 1 x 乙= (8+10+14+7+10+11+10+8+15+12) 10 =10.5(天), 1 s 2 = [(8-10.5)2 +(10-10.5)2 +(14-10.5)2+(7-10.5)2+(10-10.5)2+(11-10.5)2 + 乙 10 (10-10.5)2+(8-10.5)2+(15-10.5)2+(12-10.5)2]=6.05. 从交货天数的平均数来看,甲供货商的供货天数短一些;从方差来看,甲供货商的交货 天数较稳定,因此甲供货商的交货时间较具有一致性与可靠性. 12、解:(1)频率分布表如下: 频率 分组 频数 频率 组距 [39.95,39.97) 10 0.10 5 [39.97,39.99) 20 0.20 10 [39.99,40.01) 50 0.50 25 [40.01,40.03] 20 0.20 10 100 1 合计 注:频率分布表可不要最后一列,这里列出,只是为画频率分布直方图方便. 频率分布直方图如下:

(2)整体数据的平均值约为 39.96×0.10+ 39.98×0.20 + 40.00×0.50 + 40.02×0.20≈40.00(mm).


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