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2-3导数与变化率的意义


模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识

微分学 导数与变化率的意义 导数的概念
知识内容

二级模块名称 模块编号 模块编号
教学要求

基础模块 2-3
2-2 掌握程度

1、深入理解导数的定 义 2、变化率的意义 2、理解变化率的意义 3、理解导数的几何意 3、导数的几何意义 义 1、培养学生的联系的、辩证统一的思想 能力目标 2、培养学生的分析问题、解决问题的能力 时间分配 25 分钟 编撰 校对 方玲玲 审核 黄小枚 1、导数的定义
修订 肖莉娜 二审 危子青

理解

危子青

一、正文编写思路及特点
思路:本文先复习导数的概念,为了让学生进一步深入理解 导数的概念,引入变化率的意义、导数的几何意义。 特点:通过变化率的意义让学生发现我们生活中有许许多多 的导数问题,开阔学生的视野,把所学到的知识与生活实际相结 合,培养学生的应用能力。

二、授课部分
(一)预备知识 若 lim
f ( x) ? f ( x0 ) ?y 存在,称该极限值为函数在 x 0 ? lim x ? x 0 ?x x ? x0

?x ?0

处的导数,记

f ?( x0 ) ? lim

f ( x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim = lim ?x ?0 ?x x ? x0 ?x ?0 x ? x0 ?x

若极限不存在,则称 y ? f ?x ? 在点 x 0 处不可导。 (二)新课讲解 1.导数概念的进一步理解 提问 :若令 ?x =h, f ?? x 0 ? 可表示为:
f ??x0 ? ? lim
h ?0

f ?x0 ? h ? ? f ? x0 ? 。 h

那么当 x 从 x 0 变化到 x0 ? 2h 时, x 0 处的导数怎样表示?

f ? x0 ? 2h ? ? f ? x0 ? f ? x0 ? 2h ? ? f ? x0 ? ? lim 答: f '( x0 )= lim h?0 h?0 (x0 ? 2h) ? x0 2h

例1
lim
h ?0

若函数 f(x)在点 x0 存在,试用 f '( x0 ) 表示极限:
f ? x0 ? 2h ? ? f ? x0 ? h ? h

解: lim
h?0

f ? x0 ? 2h ? ? f ? x0 ? h ? ? 3 ? 3 f '( x0 ) 2h ? (?h)
f ? x0 -2 x ? ? f ? x0 ? x ? 的值. x

例2

已知 f '( x0 )=1,求 lim
x ?0

解: lim

f ? x0 -2 x ? ? f ? x0 ? x ? x ?0 x f ? x0 -2 x ? ? f ? x0 ? f ? x0 -x ? ? f ? x0 ? = lim (-2) + x ?0 -2 x -x =-2 f ' ? x0 ? ? f ' ? x0 ? ? ? f ' ? x0 ? ? ?1

2.变化率意义 一个函数在 处有增量 们就称 率。
f ? ? x0 ? ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,我们把平均变化 ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x

, 则 也会有相应的增量 在 处增量为

, 那么我



的比

?y 为函数 ?x

的平均变化

率当 ?x ? 0 时的极限 f ? ? x0 ? 称为函数 x0 处的变化率. 下面我们通过实例来说明变化率在实际问题中的应用. 例 1 (电流模型)设在[0,t]这段时间内通过导线横截面的 电荷为 ,求 时刻的电流. 时间段内通过导线横截面的电荷

解:如果是恒定电流, 在 为 ,那么它的电流为

平均电流: 瞬时电流:

例 2

(细杆的线密度模型)设一根质量非均匀分布的细杆

x]上的质量 m 是 x 的函数 m=m(x), 放在 x 轴上, 在[0, 求杆上 处的线密度. 解:如果细杆质量分布是均匀的,长度为 ,那么它的线密度为 的一段的质量为

平均线密度: 某一点处的线密度:

(选讲)例 3 (化学反应速度模型) 在化学反应中某种物质的浓度 N 和时间 t 的关系为
N=N(t)

求在 t 时刻该物质的瞬时反应速度. 平均反应速度: 瞬时反应速度:

总结: 在我们日常的生活中会遇到很多类似这样的问题, 例如, 功对时间的变化率; 位移对时间的变化率; 速度对时间的变化率,

它们都是导数问题。 3.导数的几何意义 设曲线 y=f(x)上某一点 A 的坐标是(x0,y0),当自变量由 x0 变 到 x0+Δx 时,点 A 沿曲线移动到点 B(x0+Δx,y0+Δy),直线 AB 是 曲线 y=f(x)的割线,

?y 的几何意义是表示割线 AB 的斜率. ?x

由 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

?y ? tan ? 可知, 函数 y=f(x)在 x0 处的导数 f′(x0) ?x

的几何意义就是曲线 y=f(x)在对应点 A(x0,y0)处的切线的斜率. 三、能力反馈部分 1、 (考查对导数概念的深层理解) 若函数 f(x)在点 x0 存在,试用 f '( x0 ) 表示极限:

f ?x0 ? ? f ?x0 - h? h 1 (2) lim n[ f ( x0 ? ) ? f ( x0 )] n?? n
(1) lim
h?0

2、 (考查对变化率的理解)

一底半径与高相等的直圆锥体受热膨胀 ,在膨胀过程中,其高 和底半径的膨胀率相等, 问: (1)体积关于半径的变化率如何? (2)半径为 5cm 时,体积关于半径的变化率如何


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