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最佳平方逼近多项式


宁夏师范学院数学与计算机科学学院 《数值分析》实验报告
实验序号: 学 号 3 姓 名 实验项目名称:最佳平方逼近多项式 专业、班级 时 间 2013 年 10 月 9 日

实验地点 一、实验目的及要求

指导教师

1、掌握最佳平方逼近的算法,能够根据给定的函数值表达求出二、三次最佳平 方逼近多项式。 2、 、2 2

S * ( x) ? ? a *j ? ? j ( x)
j ?0

n



二、实验设备(环境)及要求 1、环境要求: 硬件:一般要求 486 以上的处理器、16MB 以上内存、足够的的硬盘可用空 间 (随安装组件的多少而定); 软件:MATLAB 编程软件。 三、实验内容及要求 求函数 f(x)=exp(x)在[-1,1]上的二、三次最佳平方逼近多项式。 四、实验过程 对于给定的函数 f ( x) ? C[a, b] ,如果存在
S * ( x) ? Span{?0 ( x), ?1 ( x), ?, ?n ( x)}

使得

?

b

a

? ( x) ? f ( x) ? S * ( x) ? dx ? min ? ? ( x) ? f ( x) ? s( x)? dx ? ?
2 b 2 a ? x ?b a

则称 S*(x)是 f (x)在集合 Span{?0 ( x), ?1 ( x), ?, ?n ( x)} 中的最佳平方逼近函数。 显然,求最佳平方逼近函数 S * ( x) ? ? a * ? ? j ( x) 的问题可归结为求它的系数 j
j ?0
* * * a 0 , a1 , ? , a n ,使多元函数

n

I (a 0 , a1 , ? , a n ) ? ?

b

a

n ? ? ? ( x) ? f ( x) ? ? a j ? j ( x)? dx j ?0 ? ?

2

* * * 取得极小值, 也即点( a 0 , a1 , ? , a n )是 I (a0, …, n)的极点。 a 由于 I (a0, a1, …,

an)是关于 a0, a1, …,an 的二次函数,利用多元函数取得极值的必要条件,
?I ?0 ?a k

(k = 0, 1, 2, …, n)


n b ? ? ?I ? 2? ? ( x) ? f ( x) ? ? a j ? j ( x)??? ? k ( x)?dx ? 0 a ?a k j ?0 ? ?

得方程组

?a ?
j ?0 j b a

n

b

a

? ( x)? k ( x)? j ( x)dx
(k ? 0, 1, 2, ?, n)

? ? ? ( x) f ( x)? k ( x)dx,

如采用函数内积记号
(? k , ? j ) ? ? ? ( x)? k ( x)? j ( x) dx,
a b

( f , ? k ) ? ? ? ( x) f ( x)? k ( x )dx,
a

q

那么,方程组可以简写为

? (? , ? )a
j ?0 k j

n

j

? ( f , ?k )

(k ? 0, 1, 2, ?, n)

(1) 这是一个包含 n + 1 个未知元 a0, a1, 成矩阵形式为 …, an 的 n + 1 阶线性代数方程组,写

? (?0 , ?0 ) (?0 , ?1 ) ? (?0 , ?n ) ? ? a0 ? ? ( f , ?0 ) ? ? ?? ? ? ? ? (?1 , ?0 ) (?1 , ?1 ) ? (?1 , ?n ) ? ? a1 ? ? ? ( f , ?1 ) ? ????? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? (?n , ?0 ) (?n , ?1 ) ? (?n , ?n ) ? ? an ? ? ( f , ?n ) ? (2)
此方程组叫做求 aj (j = 0, 1, 2, …, n)的法方程组。 显然,其系数行列式就是克莱姆行列式 Gn = Gn (?0, ?1, …, ?n)。由于?0,

?1, … , ?n 线 性 无 关 , 故 Gn ? 0 , 于 是 上 述 方 程 组 存 在 唯 一 解
* a k ? a k (k ? 0, 1, ?, n) 。从而肯定了函数 f (x)在 Span{?0 ( x), ?1 ( x), ?, ?n ( x)} 中如

果存在最佳平方逼近函数,则必是

S * ( x) ? ? a*? j ( x) j
j ?0

n

(3)

将上述算法编写成 MATLAB 程序共需三个程序: 第一个程序(函数名 Sapproach.m) 计算最佳逼近函数的系数: function S=Sapproach(a,b,n) %定义逼近函数 global i;global j; if nargin<3 n=1; end %判断 X=zeros(n+1,n+1); for i=0:n for j=0:n; X(i+1,j+1)=quad(@fan,a,b); %求fan积分 end end Y=zeros(n+1,1); for i=0:n Y(i+1)=quad(@yb,a,b); %求yb积分 end s=X\Y 第二个程序(函数名:fan.m) : function y=fan(x) global i;global j; y=(poly(x,i)).*poly(x,j); 第三个程序(函数名:yb.m) : function y=yb(x) global i; y=(poly(x,i)).*exp(x); 编写多项式函数 : function y=poly(x,k) %多项式函数 if k==0 y=ones(size(x)); else y=x.^k; end 五、实验结果与数据处理 清单: 当求的是二次逼近时得到如下结果:

>> Sapproach(-1,1,2) s = 0.9963 1.1036 0.5367 当求的是三次逼近时得到如下结果 >> Sapproach(-1,1,3) s = 0.9963 0.9980 0.5367 0.1761 六、分析与讨论 在该次实验中较顺利的达到了预期的结果。 从试验结果看出三次逼近没有二 次逼近效果理想,验证了最佳平方逼近理论。

七、教师评语 成绩

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