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【数学】2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(人教A版必修4)1


问题提出

1.如何求作两个非零向量的和向量、差 向量?
a b a+b a a b b a- b

2.相同的几个数相加可以转化为数乘运 算,如3+3+3+3+3=5×3=15.那么相 等的几个向量相加是否也能转化为数乘 运算呢?这需要从理论上进行探究.

探究一:向量的数乘运算及其几何意义
<

br />思考1:已知非零向量a,如何求作向 量a+a+a和(-a)+(-a)+ (-a)? a
a O

a A B

a C

uuu r OC = a+a+a
-a -a
M O

-a
P N

uuu r OP =(-a)+(-a)+(-a)

-

2

思考2:向量a+a+a和(-a)+ (-a)+(-a)分别如何简化其表示 形式? a+a+a记为3a, (-a)+(-a)+(-a)记为-3a. 思考3:向量3a和-3a与向量a的大小和 方向有什么关系?
a a O A a B a

-a
P N

-a
M

-a
O

C

2 思考4:设a为非零向量,那么 3a和-

2a

还是向量吗?它们分别与向量a有什么 关系? a

2 a 3

-

2a

思考5: 一般地,我们规定:实数λ与向 量a的积是一个向量,这种运算叫做向量 的数乘.记作λ a,该向量的长度与方向 与向量a有什么关系? (1)|λ a|=|λ ||a|; (2)λ >0时,λ a与a方向相同; λ <0时,λ a与a方向相反; λ =0时,λ a =0.

思考6:如图,设点M为△ ABC 的重心, uuu r uuu r D 为 BC 的中点,那么向量 与 , BD BC uuu r uuuu r A D与 DM 分别有什么关系?
A

uuu r 1 uuu r BD = BC 2

M B D C

uuu r uuuu r A D = - 3DM

探究二:向量的数乘运算性质 思考1:你认为-2×(5a),2a+2b, (3 + 2)a可分别转化为什么运算? -2× (5a)= -10a ; 2a + 2b = 2(a+b); (3+ 2 )a =3a+ 2 a.

思考2:一般地,设λ ,μ 为实数,则 λ (μ a),(λ +μ ) a,λ (a+b)分别 等于什么? λ (μ a)=(λ μ ) a ; ( λ + μ ) a = λ a + μ a; λ (a+ b)=λ a+λ b.

思考3:对于向量a(a≠0)和b,若 存在实数λ ,使b=λ a,则向量a与b 的方向有什么关系? 思考4:若向量a(a≠0)与b共线,则 一定存在实数λ,使b=λ a成立吗? 思考5:综上可得向量共线定理:向量a (a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一 个实数λ ,使b=λ a. 若a=0,上述定 理成立吗?

uuu r uuu r 思考6:若存在实数λ ,使 A B = l BC , 则A、B、C三点的位置关系如何? uuu r uuu r A B = l BC ? A、B 、C 共线
思考7:如图,若P为AB的中点,则 uuu r uuu uuu r r OP 与 OA 、OB 的关系如何?
O

r uuu uuu r 1 uuu r OP = (OA + OB ) 2
A
P B

思考8:向量的加、减、数乘运算统称为 向量的线性运算,对于任意向量a、b, 以及任意实数λ 、x、y,λ (xa±yb)可 转化为什么运算?

λ (xa±yb)=λ xa±λ yb.

理论迁移

例1 计算 (1)(-3)×4a; (2)3(a+b)-2(a-b)-a; (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c).

例2 如图,已知任意两个非零向量a, ??? ? b , 试作 = a + b , = a + 2 b , OB OA ???? OC =a+3b.你能判断A、B、C三点之 间的位置关系吗?为什么?
C 3b B 2b b O uuu r uuu r A C = 2A B ? A、B 、C 共线 a A

a

b

例3 如图,平行四边形 ABCD 的两条对 uuu r uuu r 角线相交于点M,且 = a , = b , A B A D uuu r uuur uuur uuur 试用a,b表示向量 MA 、 MB 、 MC 、 MD
D C M

b
A

a

B

小结作业

1.实数与向量可以相乘,其积仍是向量, 但实数与向量不能相加、相减.实数除 以向量没有意义,向量除以非零实数就 是数乘向量. 2.若λ a=0,则可能有λ =0,也可能有 a=0. 3.向量的数乘运算律,不是规定,而是 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线,直线平行,线段 数量关系的理论依据.


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