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山东省青岛市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷


2015 年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,复数 等于( )

A. ﹣1+i B. ﹣1﹣i C. 1﹣i D. 1+i

2.设全集 I=R,集合 A={y|y=log2x,x>

2},B={x|y= A. A? B B. A∪B=A C. A∩B=? D. A∩(? IB)≠?

},则(



3.如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分 和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )

A. 5 和 1.6 B. 85 和 1.6 C. 85 和 0.4 D. 5 和 0.4 4. “? n∈N ,2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
*



5.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是(



A. 2 B.

C.

D. 3

6.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:x+2y+5=0,双曲 )

线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( A. ﹣ =1 B. ﹣ =1

C.



=1 D.



=1

7.设 m,n 是不同的直线,α,β是不同的平面,下列命题中正确的是( ) A. 若 m∥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β B. 若 m∥α,n⊥β,m⊥n,则α∥β C. 若 m∥α,n⊥β,m∥n,则α⊥β D. 若 m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β 8.函数 y=4cosx﹣e (e 为自然对数的底数)的图象可能是(
|x|



A.

B.

C.

D.

9.对于函数 y=sin(2x﹣ A. 函数图象关于点(

) ,下列说法正确的是( ,0)对称 对称



B. 函数图象关于直线 x= C. 将它的图象向左平移

个单位,得到 y=sin2x 的图象 )的图象

D. 将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的 倍,得到 y=sin(x﹣

10.已知点 G 是△ABC 的外心,

是三个单位向量,且 2

+

+

=

,如图

所示,△ABC 的顶点 B,C 分别在 x 轴的非负半轴和 y 轴的非负半轴上移动,O 是坐标原点, 则| |的最大值为( )

A.

B.

C. 2 D. 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知函数 f(x)=tanx+sinx+2015,若 f(m)=2,则 f(﹣m)=



12.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是



13. 设 a=∫1 (3x ﹣2x) dx, 则二项式 (ax ﹣ ) 展开式中的第 6 项的系数为

2

2

2

6



14.若目标函数 z=kx+2y 在约束条件

下仅在点(1,1)处取得最小值,则实数

k 的取值范围是



15.若 X 是一个集合,τ是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足:①X 属于τ,? 属 于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集 合 X 上的一个拓扑.已知集合 X={a,b,c},对于下面给出的四个集合τ: ①τ={? ,{a},{c},{a,b,c}}; ②τ={? ,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}; ③τ={? ,{a},{a,b},{a,c}}; ④τ={? ,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}. 其中是集合 X 上的拓扑的集合τ的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b=3. (Ⅰ)求角 B; (Ⅱ)若 sinA= ,求△ABC 的面积. ,

17.某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请 20 名来自本校机械工程 学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示:

学院 人数

机械工程学院 4

海洋学院 6

医学院 4

经济学院 6

(Ⅰ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,求这 3 名学生中任意两个均不属于同一学 院的概率; (Ⅱ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,设来自医学院的学生数为ξ,求随机变量 ξ的概率分布列和数学期望. 18.如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°,AD=AA1=3,BC=1,E1 为 A1B1 中点. (Ⅰ)证明:B1D∥平面 AD1E1; (Ⅱ)若 AC⊥BD,求平面 ACD1 和平面 CDD1C1 所成角(锐角)的余弦值.

19.已知数列{an}是等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和,且 a10=19,S10=100;数列{bn}对任意 n * ∈N ,总有 b1? b2? b3…bn﹣1? bn=an+2 成立. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)记 cn=(﹣1)
n

,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

20. 已知椭圆 C:

+y =1 与直线 l: y=kx+m 相交于 E、 F 两不同点, 且直线 l 与圆 O: x +y =

2

2

2

相切于点 W(O 为坐标原点) . (Ⅰ)证明:OE⊥OF; (Ⅱ)设λ= ,求实数λ的取值范围.

21.已知函数 f(x)= x +kx+1,g(x)=(x+1)ln(x+1) ,h(x)=f(x)+g′(x) . (Ⅰ)若函数 g(x)的图象在原点处的切线 l 与函数 f(x)的图象相切,求实数 k 的值; (Ⅱ)若 h(x)在[0,2]上单调递减,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)若对于? t∈[0, ﹣1], 总存在 x1,x2∈ (﹣1, 4) , 且 x1≠x2 满 f (xi) =g (t) (i=1, 2) ,其中 e 为自然对数的底数,求实数 k 的取值范围.

2

2015 年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,复数 等于( )

A. ﹣1+i B. ﹣1﹣i C. 1﹣i D. 1+i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值. 解答: 解: = .

故选:D. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.

2.设全集 I=R,集合 A={y|y=log2x,x>2},B={x|y= A. A? B B. A∪B=A C. A∩B=? D. A∩(? IB)≠?

},则(



考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题;集合. 分析: 化简集合 A,B,即可得出结论. 解答: 解:由题意,A={y|y=log2x,x>2}=(1,+∞) ,B={x|y= }=[1,+∞) ,

∴A? B, 故选:A. 点评: 本题考查集合的包含关系判断及应用,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的 元素,那么集合 A 叫做集合 B 的子集. 3.如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分 和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )

A. 5 和 1.6 B. 85 和 1.6 C. 85 和 0.4 D. 5 和 0.4 考点: 茎叶图;众数、中位数、平均数. 专题: 图表型.

分析: 根据均值与方差的计算公式,分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可. 解答: 解:根据题意可得:评委为某选手打出的分数还剩 84,84,84,86,87, 所以所剩数据的平均数为
2

=85,
2 2 2 2

所剩数据的方差为 [(84﹣85) +(84﹣85) +(86﹣85) +(84﹣85) +(87﹣85) ]=1.6. 故选 B. 点评: 本题考查茎叶图、平均数和方差,对于一组数据通常要求的是这组数据的众数,中 位数,平均数,方差,它们分别表示一组数据的特征,这样的问题可以出现在选择题或填空 题. 4. “? n∈N ,2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
*



考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 2an+1=an+an+2,可得 an+2﹣an+1=an+1﹣an,可得数列{an}为等差数列;若数列{an}为等 差数列,易得 2an+1=an+an+2,由充要条件的定义可得答案. 解答: 解:由 2an+1=an+an+2,可得 an+2﹣an+1=an+1﹣an, 由 n 的任意性可知,数列从第二项起每一项 与前一项的差是固定的常数,即数列{an}为等差数列, 反之,若数列{an}为等差数列,易得 2an+1=an+an+2, * 故“? n∈N ,2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的充要条件, 故选 C 点评: 本题考查充要条件的判断,涉及等差数列的判断,属基础题. 5.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是( )

A. 2 B.

C.

D. 3

考点: 专题: 分析: 解答: V=

简单空间图形的三视图. 计算题;空间位置关系与距离. 根据三视图判断几何体为四棱锥,再利用体积公式求高 x 即可. 解:根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图是: =3? x=3.

故选 D.

点评: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.

6.已知双曲线



=1(a>0, b>0)的一条渐近线平行于直线 l:x+2y+5=0,双曲 )

线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( A. ﹣ =1 B. ﹣ =1

C.



=1 D.



=1

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 由已知得

,由此能求出双曲线方程.

解答: 解:∵双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:x+2y+5=0,

双曲线的一个焦点在直线 l 上,





解得 a=2

,b=

, ﹣ =1.

∴双曲线方程为

故选:A. 点评: 本题考查双曲线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线性质的合 理运用. 7.设 m,n 是不同的直线,α,β是不同的平面,下列命题中正确的是( ) A. 若 m∥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β B. 若 m∥α,n⊥β,m⊥n,则α∥β C. 若 m∥α,n⊥β,m∥n,则α⊥β D. 若 m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β 考点: 平面与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用线面平行、 垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案. 解答: 解:选择支 C 正确,下面给出证明. 证明:如图所示: ∵m∥n,∴m、n 确定一个平面γ,交平面α于直线 l. ∵m∥α,∴m∥l,∴l∥n. ∵n⊥β,∴l⊥β, ∵l? α,∴α⊥β. 故 C 正确. 故选 C.

点评: 正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理是解 题的关键. 8. (5 分) (2015? 绍兴二模) 函数 y=4cosx﹣e (e 为自然对数的底数) 的图象可能是 (
|x|



A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先验证函数 y=4cosx﹣e 是否具备奇偶性,排除一些选项,在取特殊值 x=0 时代入 函数验证即可得到答案. 解答: 解:∵函数 y=4cosx﹣e , |﹣x| |x| ∴f(﹣x)=4cos(﹣x)﹣e =4cosx﹣e =f(x) ,
|x| |x|

函数 y=4cosx﹣e 为偶函数,图象关于 y 轴对称,排除 BD, |0| 又 f(0)=y=4cos0﹣e =4﹣1=3, 只有 A 适合, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数的图象,关于函数图象的选择题,通常先验证奇偶性,排除一些 选项,再代特殊值验证,属于中档题.

|x|

9.对于函数 y=sin(2x﹣ A. 函数图象关于点(

) ,下列说法正确的是( ,0)对称 对称



B. 函数图象关于直线 x= C. 将它的图象向左平移

个单位,得到 y=sin2x 的图象 )的图象

D. 将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的 倍,得到 y=sin(x﹣

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: A,将 x= B,将 x= 代入可得 y≠0,故不正确;

代入可得:y=﹣1,由正弦函数的图象和性质可知正确;

C,求出平移后的函数解析式即可判断. D,求出平移后的函数解析式即可判断. 解答: 解:A,将 x= B,将 x= 代入可得:y=sin(2× ﹣ ﹣ )=1,故不正确;

代入可得:y=sin(2×

)=﹣1,由正弦函数的图象和性质可知正确; )﹣ ]=sin(2x+ )的图象,

C,将它的图象向左平移 故不正确;

个单位,得到 y=sin[2(x+

D,将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的 倍,得到函数 y=sin(4x﹣

)的图象,故

不正确. 故选:B. 点评: 本题考查正弦函数的对称性、周期性,考查综合分析与应用能力,属于中档题.

10.已知点 G 是△ABC 的外心,

是三个单位向量,且 2

+

+

=

,如图

所示,△ABC 的顶点 B,C 分别在 x 轴的非负半轴和 y 轴的非负半轴上移动,O 是坐标原点, 则| |的最大值为( )

A.

B.

C. 2 D. 3

考点: 向量的加法及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据题意,得出:①G 是 BC 的中点,△ABC 是直角三角形,且斜边 BC=2; ②点 G 的轨迹是以原点为圆心、1 为半径的圆弧;
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③OA 经过 BC 的中点 G 时,|

|取得最大值为 2| + +

|. = ,

解答: 解:∵点 G 是△ABC 的外心,且 2

∴点 G 是 BC 的中点,△ABC 是直角三角形,∠BAC 是直角; 又∵ 是三个单位向量,

∴BC=2; 又∵△ABC 的顶点 B、C 分别在 x 轴和 y 轴的非负半轴上移动, ∴点 G 的轨迹是以原点为圆心、1 为半径的圆弧; 又∵| |=1, |取得最大值,最大值为 2| |=2.

∴OA 经过 BC 的中点 G 时,|

故选:C. 点评: 本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义与应用问题,是基础题目. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知函数 f(x)=tanx+sinx+2015,若 f(m)=2,则 f(﹣m)= 4028 . 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据解析式得出 f(﹣x)+f(x)=4030,f(m)+f(﹣m)=4030,即可求解. 解答: 解:∵函数 f(x)=tanx+sinx+2015, ∴f(﹣x)=﹣tanx﹣sinx+2015, ∵f(﹣x)+f(x)=4030, ∴f(m)+f(﹣m)=4030, ∵f(m)=2, ∴f(﹣m)=4028. 故答案为:4028. 点评: 本题考查了函数的性质,整体运用的思想,属于容易题,难度不大.

12.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 132 ;

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 s,i 的值,当 i=10 时,不满足条件 i≥11,退出循环,输出 s 的值为 132. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 i=12,s=1 满足条件 i≥11,s=12,i=11 满足条件 i≥11,s=132,i=10 不满足条件 i≥11,退出循环,输出 s 的值为 132. 故答案为:132. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,依次正确写出每次循环得到的 s,i 的值是解题的 关键,属于基本知识的考查.
2 2 2 6

13.设 a=∫1 (3x ﹣2x)dx,则二项式(ax ﹣ ) 展开式中的第 6 项的系数为 ﹣24 .

考点: 定积分;二项式系数的性质. 专题: 导数的概念及应用;二项式定理. 分析: 先根据定积分的计算法则求出 a 的值,再根据二项式展开式的通项公式求出第 6 项 的系数. 解答: 解:a=∫1 (3x ﹣2x)dx=(x ﹣x )| ∴(ax ﹣ ) =(4x ﹣ ) , ∵Tk+1= ∴T6=T5+1=﹣ ? 4x ,=﹣24x ,
﹣3 ﹣3 2 6 2 6 2 2 3 2

=4,



∴展开式中的第 6 项的系数为﹣24,

故答案为:﹣24. 点评: 本题考查了定积分的计算法则和根据二项式展开式的通项公式,属于与基础题.

14.若目标函数 z=kx+2y 在约束条件

下仅在点(1,1)处取得最小值,则实数

k 的取值范围是 (﹣4,2) . 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标取最优解的条件,即 可求出 k 的取值范围. 解答: 解:作出不等式对应的平面区域, 由 z=kx+2y 得 y=﹣ x+ , 要使目标函数 z=kx+2y 仅在点 B(1,1)处取得最小值, 则阴影部分区域在直线 z=kx+2y 的右上方, ∴目标函数的斜率﹣ 大于 x+y=2 的斜率且小于直线 2x﹣y=1 的斜率 即﹣1<﹣ <2, 解得﹣4<k<2, 即实数 k 的取值范围为(﹣4,2) , 故答案为: (﹣4,2) .

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.根 据条件目标函数仅在点(1,1)处取得最小值,确定直线的位置是解决本题的关键. 15.若 X 是一个集合,τ是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足:①X 属于τ,? 属 于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集 合 X 上的一个拓扑.已知集合 X={a,b,c},对于下面给出的四个集合τ: ①τ={? ,{a},{c},{a,b,c}};

②τ={? ,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}; ③τ={? ,{a},{a,b},{a,c}}; ④τ={? ,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}. 其中是集合 X 上的拓扑的集合τ的序号是 ②④ . 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 根据集合 X 上的拓扑的集合τ的定义,逐个验证即可:①{a}∪{c}={a,c}? τ,③ {a,b}∪{a,c}={a,b,c}? τ,因此①③都不是; ②④满足:①X 属于τ,? 属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元 素的交集属于τ,因此②④是,从而得到答案. 解答: 解:①τ={? ,{a},{c},{a,b,c}}; 而{a}∪{c}={a,c}? τ,故①不是集合 X 上的拓扑的集合τ; ②τ={? ,{b},{c},{b,c},{a,b,c}},满足:①X 属于τ,? 属于τ;②τ中任意多 个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ 因此②是集合 X 上的拓扑的集合τ; ③τ={? ,{a},{a,b},{a,c}}; 而{a,b}∪{a,c}={a,b,c}? τ,故③不是集合 X 上的拓扑的集合τ; ④τ={? ,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}. 满足:①X 属于τ,? 属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的 交集属于τ 因此④是集合 X 上的拓扑的集合τ; 故答案为②④. 点评: 此题是基础题.这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题,重在理解 题意.本题是开放型的问题,要认真分析条件,探求结论,对分析问题解决问题的能力要求 较高. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b=3. (Ⅰ)求角 B; (Ⅱ)若 sinA= ,求△ABC 的面积. ,

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (I)利用正弦定理与余弦定理即可得出; (II)利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴
2 2




2

∴a ﹣b =ac﹣c ,

∴ ∵B∈(0,π) , ∴ . ,



(Ⅱ)由 b=3, 由 a<b 得 A<B,从而 故 ∴△ABC 的面积为

,得 a=2, , , .

点评: 本题考查了正弦定理与余弦定理、正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积 计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 17.某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请 20 名来自本校机械工程 学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示: 学院 人数 机械工程学院 4 海洋学院 6 医学院 4 经济学院 6

(Ⅰ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,求这 3 名学生中任意两个均不属于同一学 院的概率; (Ⅱ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,设来自医学院的学生数为ξ,求随机变量 ξ的概率分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量及其分布列;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随 机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为 一学院的方法数为 ,由此利用等可能事件概率计算公式 能求出这 3 名学生中任意两个均不属于同一学院的概率. (Ⅱ)ξ可能的取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量ξ的概率 分布列和数学期望. 解答: 解: (Ⅰ)从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为 选出 3 人中任意两个均不属于同一学院的方法数为: , ,选出 3 人中任意两个均不属于同

所以 (Ⅱ)ξ可能的取值为 0,1,2,3, ,

所以ξ的分布列为 0 1 2 3 P 所以 点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题, 解题时要注意排列组合知识的合理运用. 18.如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°,AD=AA1=3,BC=1,E1 为 A1B1 中点. (Ⅰ)证明:B1D∥平面 AD1E1; (Ⅱ)若 AC⊥BD,求平面 ACD1 和平面 CDD1C1 所成角(锐角)的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)连结 A1D 交 AD1 于 G,四边形 ADD1A1 为平行四边形,从而 B1D∥E1G,由此能证 明 B1D∥平面 AD1E1. (Ⅱ)以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标 系,求出平面 ACD1 的一个法向量和平面 CDD1C1 的一个法向量,由此利用向量法能求出平面 ACD1 和平面 CDD1C1 所成角(锐角)的余弦值. 解答: 解: (Ⅰ)证明:连结 A1D 交 AD1 于 G, 因为 ABCD﹣A1B1C1D1 为四棱柱, 所以四边形 ADD1A1 为平行四边形, 所以 G 为 A1D 的中点,

又 E1 为 A1B1 中点,所以 E1G 为△A1B1D 的中位线, 从而 B1D∥E1G…(4 分) 又因为 B1D? 平面 AD1E1,E1G? 平面 AD1E1, 所以 B1D∥平面 AD1E1. …(5 分) (Ⅱ)解:因为 AA1⊥底面 ABCD,AB? 面 ABCD,AD? 面 ABCD, 所以 AA1⊥AB,AA1⊥AD,又∠BAD=90°, 所以 AB,AD,AA1 两两垂直.…(6 分) 如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系. 设 AB=t,则 A(0,0,0) ,B(t,0,0) ,C(t,1,0) , D(0,3,0) ,C1(t,1,3) ,D1(0,3,3) . 从而 因为 AC⊥BD,所以 所以 设 , , . ,解得 . .…(8 分)

是平面 ACD1 的一个法向量,





令 x1=1,则 又 设 ,

.…(9 分) . 是平面 CDD1C1 的一个法向量,





令 x2=1,则

.…(10 分)





∴平面 ACD1 和平面 CDD1C1 所成角(锐角)的余弦值 .…(12 分)

点评: 本小题考查空间中直线与平面的位置关系、空间向量的应用等基础知识,考查空间 想象能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想. 19.已知数列{an}是等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和,且 a10=19,S10=100;数列{bn}对任意 n * ∈N ,总有 b1? b2? b3…bn﹣1? bn=an+2 成立. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)记 cn=(﹣1)
n

,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意和等差数列的前 n 项和公式求出公差,代入等差数列的通项公式化简求 出 an,再化简 b1? b2? b3…bn﹣1? bn=an+2,可得当 n≥2 时 b1? b2? b3…bn﹣1=2n﹣1,将两个 式子相除求出 bn; (2)由(1)化简 cn=(﹣1)
n

,再对 n 分奇数和偶数讨论,分别利用裂项相消

法求出 Tn,最后要用分段函数的形式表示出来. 解答: 解: (Ⅰ)设{an}的公差为 d, 则 a10=a1+9d=19, 解得 a1=1,d=2,所以 an=2n﹣1, ) 所以 b1? b2? b3…bn﹣1? bn=2n+1…① 当 n=1 时,b1=3, 当 n≥2 时,b1? b2? b3…bn﹣1=2n﹣1…② ①②两式相除得 因为当 n=1 时,b1=3 适合上式,所以 . ,

(Ⅱ)由已知



得 则 Tn=c1+c2+c3+… +cn= 当 n 为偶数时, ,

= = 当 n 为奇数时, ,

= = .

综上:



点评: 本题考查数列的递推公式,等差数列的通项公式、前 n 项和公式,裂项相消法求数 列的和,以及分类讨论思想,考查化简、计算能力,属于中档题.
2 2 2

20. 已知椭圆 C:

+y =1 与直线 l: y=kx+m 相交于 E、 F 两不同点, 且直线 l 与圆 O: x +y =

相切于点 W(O 为坐标原点) . (Ⅰ)证明:OE⊥OF; (Ⅱ)设λ= ,求实数λ的取值范围.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 方程思想;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由直线 l 与圆 O 相切,得圆心到直线 l 的距离 d=r,再由直线 l 与椭圆 C 相 交,得出 E、F 点的坐标关系,从而证明 OE⊥OF; (Ⅱ)根据直线 l 与圆 O 相切于点 W,以及 OE⊥OF,得出λ= 值范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵直线 l 与圆 O 相切, ∴圆 x +y = 的圆心到直线 l 的距离 d=
2 2

的坐标表示,求出λ的取

=









,得:

(1+2k )x +4kmx+2m ﹣2=0; 设 E(x1,y1) ,F(x2,y2) , 则 , ;

2

2

2



∴OE⊥OF;

(Ⅱ)∵直线 l 与圆 O 相切于 W,







由(Ⅰ)知 x1x2+y1y2=0, ∴x1x2=﹣y1y2,即 ;

从而











∵﹣

≤x1≤



∴λ∈[ ,2]. 点评: 本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题,也考查了直线与圆相切的应用问题, 考查了方程思想的应用问题,是综合性题目.
2

21.已知函数 f(x)= x +kx+1,g(x)=(x+1)ln(x+1) ,h(x)=f(x)+g′(x) . (Ⅰ)若函数 g(x)的图象在原点处的切线 l 与函数 f(x)的图象相切,求实数 k 的值; (Ⅱ)若 h(x)在[0,2]上单调递减,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)若对于? t∈[0, ﹣1], 总存在 x1,x2∈ (﹣1, 4) , 且 x1≠x2 满 f (xi) =g (t) (i=1, 2) ,其中 e 为自然对数的底数,求实数 k 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)求出 g(x)的定义域和导数,求得切线的斜率和切点,写出切线方程,联立 f(x) ,消去 y,运用判别式为 0,即可得到 k; (Ⅱ)求出 h(x)的导数,h(x)在[0,2]上单调递减,则 h′(x)≤0 对 x∈[0,2]恒成 立,运用导数求出 h′(x)在[0,2]的最大值,解不等式即可得到 k 的范围; (Ⅲ)分别求出 g(t)在 t∈[0, ﹣1]的值域 A 和 f(x)在 x∈(﹣1,4)的值域 B, 由题意可得 A 包含于 B,得到不等式组,解出即可得到 k 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)函数 g(x)的定义域为(﹣1,+∞) , g′(x)=ln(x+1)+1, 则 g(0)=0,g′(0)=1, ∴切线 l:y=x, 由 ∵l 与函数 f(x)的图象相切, ∴ ; ,

(Ⅱ) 令 ,

,导数



对 x∈[0,2]恒成立,

则 ∴

在[0,2]递增,即 h′(x)在[0,2]上为增函数, ,

∵h(x)在[0,2]上单调递减, ∴h′(x)≤0 对 x∈[0,2]恒成立,

即 ∴ ;



(Ⅲ)当 时,g′(x)=ln(x+1)+1>0, ∴g(x)=(x+1)ln(x+1)在区间 上为增函数, ∴ ∵ 时, 的对称轴为 x=﹣k, ,

∴为满足题意,必须﹣1<﹣k<4, 此时 个, ∵对于 2) , ∴ , ,总存在 x1,x2∈(﹣1,4) ,且 x1≠x2 满足 f(xi)=g(t) (i=1, ,f(x)的值恒小于 f(﹣1)和 f(4)中最大的一









点评: 本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间及极值、最值,同时考查任意存在问 题注意转化为函数的值域的包含关系,考查运算能力,属于中档题和易错题.


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