1.1.1任意角的概念改

1.1.1 任意角的概念

体操中有转体两周或转体三周，如何 度量这些角度呢？

一、角的概念
初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几 何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理

解，但它是从图形形状来定义角，因此角的
范围是[0? , 360? )，

这种定义称为静态定义，其弊端在于
“狭隘”.

3.过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实

际问题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、 跳台跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、 “转体12600”这样的解说．再如钟表的指针、拧 动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方 向旋转所成的角，不全是0°～3600范围内的角.因 此，仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必 须将角的概念进行推广.
想想用什么办法才能推广到任意角？

关键是用运动的观点来看待角的变化。

思考：
你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准 的呢？假如你的手表快了1.25小时，你应当 如何将它校准呢？当时间校准后，分针旋转 了多少度呢？

二、角的概念的推广
1.“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA， 绕着它的端点O按逆时针方向旋 转到另一位置OB，就形成角α． B 旋转开始时的射线OA叫做角 α的始边，旋转终止的射线OB叫 做角α的终边，射线的端点O叫做 角α的顶点．

O

A

二、角的概念的推广
⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置 OA，绕着它的端点O按逆时 B 针方向旋转到另一位置OB， 就形成角α． 终边 旋转开始时的射线OA叫 O 做角α的始边，旋转终止的射 顶点 线OB叫做角α的终边，射线 的端点O叫做角α的顶点．

A

始边

2.角的分类 逆时针 顺时针
规定：逆时针转动——正角 顺时针转动——负角 没有转动 ——零角

“正角”与“负角”、“0? 角” 如图，以OA为始边的角α=210°，β=－ 150°，γ=660°，

2100

6600

-1500

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，
我们也认为这时形成了一个角，并把这个角

叫做零度角（0? ）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.

角的概念扩展的意义： 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了 ① 角有正负之分; 如：?=210?, ?= ?150?, ?=660?. ② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360?×2=720?） 3周（360?×3=1080?） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.

角的概念推广以后，它包括任意大小的正

角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好

象数零无正负一样．

用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋
转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点. （2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根 据以往的经验，我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示，那么许多问题就可以解 决了；

（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360? ， 角度的绝对值可大于360? .于是就会出现 720? ， － 540? 等角度.

3．“象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来 讨论角。

终边

y

终边

o
终边

始边 x 终边

角的顶点重合于坐标 原点，角的始边重合于 x轴的非负半轴，这样 一来，角的终边落在第 几象限，我们就说这个 角是第几象限的角（角 的终边落在坐标轴上， 则此角不属于任何一个 象限） ——轴线角

课堂练习
请指出下面的角是第几象限角？

（1）-50° （2）405° （3）210° （4）-200°

y

y

y

y
x o －200° x

y
－450° x o

x
o －50° o

210°
x o 405°

4．终边相同的角
⑴ 观察：390?，?330?角，它们的终边都与 30?角的终边相同. ⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0?到

360?的角与k(k∈Z)个周角的和：
390?=30?+360?(k=1), ?330?=30??360? (k=－1)

30?=30?+0×360? (k=0), 1470?=30?+4×360?(k=4)
?1770?=30??5×360? (k=－5)

⑶ 结论： 所有与?终边相同的角连同?在内可以构 成一个集合：{β| β=α+k· 360? }(k∈Z) 即：任何一个与角?终边相同的角，都可 以表示成角?与整数个周角的和

⑷注意以下四点：

① k∈Z；
② ?是任意角；

③ k· 360? 与?之间是“+”号，如k· 360? －30? ,应
看成k· 360? +(－30? )；

④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终
边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们

相差360? 的整数倍.

例1. 在0? 到360? 范围内，找出与下列各角终边
相同的角，并判断它是哪个象限的角.

(1) －120? ；(2) 640? ；(3) －950? 12′.
解：⑴∵－120? =－360? +240? ， ∴240? 的角与－120? 的角终边相同， 它是第三象限角． ⑵ ∵640? =360? +280? ， ∴280? 的角与640? 的角终边相同， 它是第四象限角．

⑶ ∵－950?12’=－3×360?+129?48’，
∴129?48’的角与－950?12’的角终边相同，

它是第二象限角．

例2 写出终边落在y轴上的角的集合。
? 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+K?3600,K∈Z} ={β| β=900+2K?1800,K∈Z} ={β| β=900+1800 的偶数倍}

｛偶数｝∪｛奇数｝ ＝｛整数｝
900+K?3600
Y X O 2700+k?3600

终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=2700+K?3600,K∈Z} ={β| β=900+1800+2K?1800,K∈Z} ={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}

所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
S=S1∪S2 ={β| β=900+1800 的偶数倍}
={β| β=900+1800 的整数倍}

∪{β| β=900+1800 的奇数倍}

={β| β=900+K?1800 ，K∈Z}

x 轴上的角的集合。 例2 写出终边落在 y ? 解：终边落在 x y 轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β= ={β| β= ={β| β= S2={β| β= ={β| β= ={β| β= 900K +?3600,K∈Z} 2K?1800,K∈Z} 900 + 1800 的偶数倍} 900 +
0K?360 0,K∈Z} 180 + 2700

｛偶数｝∪｛奇数｝ ＝｛整数｝
Y
1800+k?3600

终边落在x y 轴负半轴上的角的集合为
0 0,K∈Z} ={β| β= 180 2K?180 900 + + 1800 +

X K?3600

（2K+1）1800 ，K∈Z} 900 + 900 180 + 0 的奇数倍}

O

y 轴上的角的集合为 所以 终边落在 x
S=S1∪S2 ={β| β=1800 的偶数倍}
∪{β| β=1800 的奇数倍}

例3. 写出终边在直线y=x上的角的集合S，
并把S中适合不等式－360?≤β≤720?的

元素β写出来.

课堂练习
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是 否都是锐角？小于90? 的角是锐角吗？区间 (0? ,90? )内的角是锐角吗？ 答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定 是锐角；小于90? 的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间(0? ,90? )内的角是锐

角．

2．已知角的顶点与坐标系原点重合，始边
落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指

出它们是哪个象限的角？
(1)420? ，(2) －75? ，(3)855? ，(4) －510? ． 答：(1)第一象限角； (2)第四象限角，

(3)第二象限角，
(4)第三象限角.

3、已知α,β角的终边相同，那么α －β的终边 在（

A ）
B y轴的非负半轴上

A x轴的非负半轴上

C x轴的非正半轴上

D y轴的非正半轴上

4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ C ） A {β|β=k· 360? (k∈Z) } B {β|β=k· 180? (k∈Z) } C {β|β=k· 90? (k∈Z) } D {β|β=k· 180? +90? (k∈Z) }

5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是 ( C ) A 第一象限角 C 第一、三象限角 B 第一、二象限角 D 第一、四象限角

6、若α是第四象限角，则180? －α是（ C ） A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角

7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，

那么α与β之间的关系是（ D ）
A. β=α+90o

B β=α±90o
C β=k· 360o+90o+α,k∈Z

D β=k· 360o±90o+α, k∈Z
8、若90? <β<α<135? ，则α－β的范围是 (0? ,45? ) ，α+β的范围是___________; (180? ,270? ) __________

9、若β的终边与60? 角的终边相同，那么在 ? [0? ,360? ]范围内，终边与角 的终边相同的角
3

为______________; 解：β=k· 360? +60? ，k∈Z. 所以
?
3

=k· 120? +20? ， k∈Z.

当k=0时，得角为20? ，

当k=1时，得角为140? ，
当k=2时，得角为260? .

作业
? 课本P5 练习1-5

? 课本P9 A组第1、2、3题（交）

思考：P10A组第5题