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每日一题(三角函数、概率统计、立体几何)


每日一题 (三角函数、 概率统计、 立体几何)
1、已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2x ( x ?R). (1) 求 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (2) (2)若 ? 为锐角,且 f ? ? ?

? ?

??

2 ,求 tan 2? 的值. ?? 8? 3



2、如右下图,在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中,已知 AB ? 4, AD ? 3, AA ? 2 , E , F 分别 1 1 是线段 AB, BC 上的点,且 EB ? FB ? 1 (I)求二面角 C ? ED ? C1 的正切值 (II)求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值 3、箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球,黄、白乒 乓球的数量比为 s:t.现从箱中每次任意取出一个球,若取出 的是黄球则结束,若取出的是白球,则将其放回箱中,并继 续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过 n 次, 以ξ表示取球结束时已取到白球的次数. (Ⅰ)求ξ的分布列; (Ⅱ)求ξ的数学期望.

D1

C1

A1 D

B1 C F

A

E

B

4、已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ? (其中 x ? R , 0 ? ? ? ? ) . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若点 ?

?? ? ?? 1? , ? 在函数 y ? f ? 2 x ? ? 的图像上,求 ? 的值. 6? ? ? 6 2?

5、如图 3 所示,在四面体 P—ABC 中,已知 PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB= 2 34 .F 是线 段 PB 上一点, CF ?

15 34 ,点 E 在线段 AB 上,且 EF⊥PB. 17

(Ⅰ)证明:PB⊥平面 CEF; (Ⅱ)求二面角 B—CE—F 的大小. 6、某运动员射击一次所得环数 X 的分布如下: 0?6 7 8 9 10 X 0.2 0.3 0.3 0.2 0 P 现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为 ? . (I)求该运动员两次都命中 7 环的概率(II)求 ? 的分布列(III) 求 ? 的数学期望 E? . 7、已知 △ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? 2, cos B ?

3 . 5

(1)若 b ? 4 ,求 sin A 的值; (2)若 △ABC 的面积 S△ABC ? 4 ,求 b, c 的值.
1

8、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生 产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据.

x
y
(1)请画出上表数据的散点图;

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

? ? (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx ? a ;
(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回 归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准 煤? O1 D E (参考数值: 3 ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 ) 9、如图 5 所示, AF 、 DE 分别世 ? O 、 ? O1 的直径, AD 与两圆所 在 的 平 面 均 垂 直 , AD ? 8 . BC 是 ? O 的 直 径 , AB ? AC ? 6 , OE // AD . (I)求二面角 B ? AD ? F 的大小;(II)求直线 BD 与 EF 所成的角.
C

A B

O

F

?π ? ?π ? 10、已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的图像经过点 ? , 0 ? 和 ? , 1? . ?3 ? ?2 ?
(Ⅰ)求实数 a 和 b 的值; (Ⅱ)当 x 为何值时, f ( x) 取得最大值.

图5

11、随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等 品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ? . (1)求 ? 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望) ; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率提高为 70% .如 果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少? 12、如图 6 所示,等腰 △ ABC 的底边 AB ? 6 6 ,高 CD ? 3 ,点 E 是线段 BD 上异于点

B,D 的动点,点 F 在 BC 边上,且 EF ⊥ AB ,现沿 EF 将 △BEF 折起到 △PEF 的位
置,使 PE ⊥ AE ,记 BE ? x , V ( x) 表示四棱锥 P ? ACFE 的体积. (1)求 V ( x) 的表达式; (2)当 x 为何值时, V ( x) 取得最大值? A (3)当 V ( x) 取得最大值时,求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值. D E B P

F C 图6 13、渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60? 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 ? 的 方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上. (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin ? 的值. 14、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 40 件产品 作为样本称出它们的重量(单位:克) ,重量的分组区间为(490,495], (495,500],??,

2

(510,515], 由此得到样本的频率分布直方图, 如图 4 所示。 (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量。 (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件, 设 Y 为重量超过 505 克的产品数量, 求 Y 的分布列。 (3)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率。 15、如图 5 所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是半径 为 R 的 圆 的 内 接 四 边 形 , 其 中 BD 是 圆 的 直 径 ,

?ABD ? 60? , ?BDC ? 45? , PD 垂 直 底 面 ABCD , PD ? 2 2R , E,F 分 别 是
PE DF ? ,过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于 G . EB FC (1)求 BD 与平面 ABP 所成角 ? 的正弦值; (2)证明: △EFG 是直角三角形; E PE 1 ? 时,求 △EFG 的面积. (3)当 EB 2
PB,CD 上的点,且
P

G

? 1 5 16、已知 sin ? ? , ? ? (0, ) , tan ? ? . 2 3 5
(1) 求 tan ? 值;(2) 求 tan ?? ? 2? ? 的值.

A F B 图5 C

D

17、为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别 抽取 14 件和 5 件,测量产品中微量元素 x,y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产 品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共98件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175且y≥75时,该产品为优等品,用上述样本数据 估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随即抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分 布列及其均值(即数学期望). 18、如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ?

π ,斜边 AB ? 4 . Rt△ AOC 6

可以通过 Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B ? AO ? C 是直二面角.动点 D 在斜边 AB 上。 (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)当 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO 与 CD 所成角的余弦值;

3

19、已知向量 m ? ? 2cos

? ?

x ? x ? ? , 1? , n ? ? sin , ? ? x?R ? ,设函数 f ? x ? ? m? ?1 . 1 n 2 ? 2 ? ?

( 1 ) 求 函 数 f ? x ? 的 值 域 ; 2 ) 已 知 锐 角 ?ABC 的 三 个 内 角 分 别 为 A,B,C, ( 若

f ? A? ?

5 3 , f ? B ? ? ,求 f ? A ? B ? 的值. 13 5

20、第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日至 23 日在深圳举行,为了搞好 接待工作,组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者.将这 30 名志愿者的身 高编成如下茎叶图(单位:cm) : 男 9 9 8 6 5 0 4 2 1 1 15 16 17 18 19 7 1 2 0 女 7 8 9 9 2 4 5 8 9 3 4 5 6 1

8 7

若身高在 175cm 以上 (包括 175cm) 定义为 “高个子” 身高在 175cm 以下 , (不包括 175cm) 定义为“非高个子” ,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐” . (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中 选 2 人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ? 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐” 的人数,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望. 21、 已知梯形 ABCD 中,AD ∥ BC ,?ABC ? ?BAD ?

?
2

,AB ? BC ? 2 AD ? 4 ,E 、

F 分别是 AB 、 CD 上的点, EF ∥ BC , AE ? x .沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使平面 AEFD ⊥平面 EBCF (如图). G 是 BC 的中点,以 F 、 B 、 C 、 D 为顶点的三棱锥的体
积记为 f ( x ) . (1)当 x ? 2 时,求证: BD ⊥ EG ; (2)求 f ( x ) 的最大值; (3)当 f ( x ) 取得最大值时,求异面直线 AE 与 BD 所成的角的余弦值.

4


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