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2个竞赛不等式的统一证明


第 7期  查正开 : 2个 竞赛 不等 式 的 统 一 证 明   ? 4 3?   于是 A E=   , 从而B E= 2 A E   A   A  以上 解 法 都 用 到 了 2个 几 何 事 实 : / _ A B E=   C A D , B E= 2 A E , 较之题干 中的陈述 条件更加有  利 于应 用.   2 试 题 的“ 后 生”   C  ~   图6   图7   图8   经 过上 述 剖析 , 相信读 者对 蕴藏 于这 道 试题 之  中 的几 何 知识 与思 想方法 已经 相 当地 了解 , 那 么 以  后的试题可 以进行怎样 的发展演变 呢?笔者进行  了如下 的初 步 尝试 :   2 . 1   互换条 件 与结 论  方法 1  如图7 , 过点 C作 C M∥B E交 A D延   长线 于 点 M , 在A D 上截 取 A N= B E, 联结 C N .   先 证 AA   E   △C A N, 得  CN =AE,   CND = A BED ,   △  _2 .   如 图 4, 已知 △A B C中 , A B= A C, D是 B C上 一  点, B D= 2 C D, 且/ _ A B E=  C AD .求 证 : .B / E D=   2厶 CED.   再由C M∥B E得  而  B D =   ~   =AB E D, 于是 C M =C N, 从  2 . 2 增加 条件 , 使 图形特 殊化  已知 在 AA B C中, A B=A C=1 , D是 B C上 一  点,   是线段 A D上一点, 且 /B A C= / _B E D=   2   DEC.   方法2   如图8 , 过点D作 D F / / A B交A C于点   F, 易知 F C=F D .   先 证 △A   一 △D A F, 得  =   B E =2 ; 再 由平  行 线分 线段 成 比例 , 得  BD 丝 一 , ,   C D ‘ FC — — FD —   一 ( 1 ) 当/ .B A C= 9 0 。 时( 如图 9 ) , 求B D 的长 ;   B  ( 2 ) 当/ _B A C= 6 0 。 时( 如图 1 O ) , 求 AC D E的  面积  一   一 方法3 如 图4 , 在△ A B E中, 由正弦定理 , 得  日  D  C  !   里  墨   墨一 丝 一 , ,   s i n/ _ ABE  AE  1   AA BD — — 图9   图 1 0   ’   ( 解答 留 给读 者 . )   ÷他 ?  D? s i n _ / B A D   = —  —————— —————————— —————————— 一 =   从 而  s △ A C D   二  c . AD .s i n/ _C AD  !   一呈   n   E , ’   s i n   C AD —s i n   ABE 一  ’   一 解题是数学学 习的重要途径 , 需要我们全身心  地投入其 中, 慢慢地品尝, 体会各种美妙 ; 认真细致  地解 剖 , 不 同方 向、 角度 地 观 察 , 创 造 性 地 链 接 尝  试, 以及解题成功以后的回望 , 不断促使解法完善 ,   解答简化合理 , 发现多解 , 提炼通解 , 自拟试题 等.   日积月累 , 定会使解

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