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黑龙江省哈三中2014届高三下学期第一次高考模拟数学理试题(word版)


黑龙江省哈三中 2014 届高三下学期第一次高考模拟数学理 试题
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时 间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字 笔书写, 字体工整, 字迹清楚; (3) 请按

照题号顺序在各题目的答题区域内作答, 超出答题区域书写的答案无效, 在草稿纸、试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

第I卷

(选择题, 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. 集合 M ? ? 1,2? , N ? ? 1,2,3?, P ? x x ? ab, a ? M , b ? N ,则集合 P 的元素个数为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

?

?

2. 若 i 是虚数单位,则复数 A.

3 4

B. ?

3 4

2?i 的实部与虚部之积为 1? i 3 3 C. i D. ? i 4 4

3. 若 ? , ? 表示两个不同的平面, a, b 表示两条不同的直线,则 a // ? 的一个充分条件是 A. ? ? ? , a ? ? 4. 若 cos 2? ? B. ? ? ? ? b, a // b C. a // b, b // ? D. ? // ? , a ? ?

1 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为 3
B.

A.

13 18

11 18

C.

5 9

D. 1

5. 若按右侧算法流程图运行后,输出的结果是 的值为 A. 5

6 ,则输入的 N 7

开始 输入 N

B. 6

C. 7

D. 8

k ? 1, S ? 0

S?S?

1 k (k ? 1)


k ? k ?1

k ? N?

x ?1 ? ? 6. 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则目标函数 ?x ? 3 y ? 4 ? 0 ?

z ? 3x ? y 的最小值为
A. ? 4 7. 直线 x ? y ? 圆心角为 A. B. 0 C.

4 3

D. 4

2 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 所得劣弧所对

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6
2

8. 如图所示,是一个空间几何体的三视图,且这个空间 几何体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表 面积是 A.

49 ? 9

B. ?

7 3

C.

28 ? 3

D.

28 ? 9
2

正视图

侧视图

9. 等比数列 ?a n ?中,若 a 4 ? a8 ? ?3 ,则 a6 ?a2 ? 2a6 ? a10 ? 的值是 A. ? 9 2 B. 9 C. ? 6 D. 3 2 俯视图

10. 在二项式 ( x ?

2
4

x

) n 的展开式中只有第五项的二项式

系数最大,把展开式中所有的项重新排成一列,则有理项都互不相邻的概率为 A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

5 12

11. 设 A 、 B 、 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 上不同的三个点,且 A 、 B 连线经 a2 b2

过坐标原点,若直线 PA 、 PB 的斜率之积为

1 ,则该双曲线的离心率为 4
15 3

A.

5 2

B.

6 2

C. 2

D.

12. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 f ( x) ? x ln x ? x 的图象上的动点,该曲线在 点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M (0, yM ) ,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N (0, yN ) .则

yN 的范围是 yM

A. (??,?1] ? [3,??)

B. (??,?3] ? [1,??)

C. [3, ??)

D. (??,?3]

哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试 数学试卷(理工类)
第Ⅱ卷
(非选择题, 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上. ) 13. 已知 ? ? (0,

?
2

) ,由不等式 tan ? ?

22 tan ? tan ? 22 1 , tan ? ? ? ? ? ?3, ?2 tan 2 ? 2 2 tan 2 ? tan ?

tan ? ?

33 tan ? tan ? tan ? 33 ? ? ? ? ? 4 ,归纳得到推广结论: tan 3 ? 3 3 3 tan 3 ?

tan ? ?

m ? n ? 1(n ? N ? ) ,则实数 m ? _____________ n tan ?

14. 五名三中学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有 两名同学拿对自己衣服的不同情况有 _____________ 种.(具体数字作答) 15. 已知 A(0,1), B(0, ?1), C (1,0) ,动点 P 满足 AP ? BP ? 2 | PC | ,则 | AP ? BP | 的最大值
2

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

为 _____________ 16. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,已知角 A 为锐角, 且

sin 2 A ? 4sin B sin C ? (

sin B ? sin C 2 ) ,则实数 m 范围为 _____________ m

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 数列 {an } 满足 an ?1 ? an ? 2, a1 ? 2 ,等比数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b4 ? a8 . (I)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (II)设 cn ? anbn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . 18.(本小题满分 12 分) 某高中毕业学年,在高校自主招生期间,把学生的平时成绩按“百分制”折算,排出 前 n 名学生,并对这 n 名学生按成绩分组,第一组 [75,80) ,第二组 [80,85) ,第三组

[85,90) ,第四组 [90,95) ,第五组 [95,100] ,如图为频率分布直方图的一部分,其中
第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列,且第四组的人数

为 60.

频率 组距

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 (I)请在图中补全频率分布直方图; (II)若 Q 大学决定在成绩高的第 3 , 0.03 0.02 0.01 O
75 80 85 90 95 100

4 , 5 组中用分层抽样的方法抽 取 6 名学生进行面试.

成绩

① 若 Q 大学本次面试中有 B 、 C 、 D 三位考官,规定获得两位考官的认可即面试 成功,且面试结果相互独立,已知甲同学已经被抽中,并且通过这三位考官面试的概 率依次为

1 1 1 、 , ,求甲同学面试成功的概率; 2 3 5

②若 Q 大学决定在这 6 名学生中随机抽取 3 名学生接受考官 B 的面试,第 3 组中有 ? 名学生被考官 B 面试,求 ? 的分布列和数学期望. 19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60? , Q 为 AD 的 中点. (I)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; (II)若平面 PAD ? 平面 ABCD ,且 PA ? PD ? AD ? 2 ,点 M 在线段 PC 上,试 确定点 M 的位置,使二面角 M ? BQ ? C 大小为 60? ,并求出

PM 的值. PC

P

Q
20.(本小题满分 12 分)
2

D B

C

A

若点 A?1,2? 是抛物线 C : y ? 2 px ? p ? 0? 上一点,经过点 B?5,?2 ? 的直线 l 与抛物线

C 交于 P, Q 两点.

(I)求证: PA ? QA 为定值; (II)若点 P, Q 与点 A 不重合,问 ?APQ 的面积是否存在最大值?若存在,求出最大 值; 若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 设 a ? R ,函数 f ( x) ? x e
2 1? x

? a( x ? 1) .
3 4

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 ( , 2) 内的极值; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? f ( x) ? a( x ? 1 ? e
1? x

) ,当 g ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 )

时, 总有 x2 g ( x1 ) ? ? f ?( x1 ) , 求实数 ? 的值. (其中 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数. )

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是的⊙ O 直径,CB 与⊙ O 相切于 B ,E 为线段 CB 上一点, 连接 AC 、AE 分别交⊙ O 于 D 、 G 两点,连接 DG 交 CB 于点 F . (Ⅰ)求证: C 、 D 、 G 、 E 四点共圆. (Ⅱ)若 F 为 EB 的三等分点且靠近 E , EG ? 1 , GA ? 3 ,求线段 CE 的长. A

O D G C E F B

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 3 ? y ? 3t

, ( t 为参数) ,以坐标原点为
2

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 ? cos? ? 3 ? 0 (Ⅰ)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点 P 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离 d 的取值范围.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 . (Ⅰ)解不等式 f ( x ? 1) ? f ( x ? 3) ? 6 ; (Ⅱ)若 a ? 1, b ? 1 ,且 a ? 0 ,求证: f (ab) ? a f ( ) .

b a

2014 年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试答案 数学(理工类)
一、选择题 1.C 2.B 3.D 4.C 二、填空题 13. n
n

5.B

6.B

7.C

8.C

9.B

10.D 11.A 12.A

14. 20

15. 6

16. (? 2, ?

6 6 )?( , 2) 2 2

三、解答题 17.解: (I) an ?1 ? an ? 2, a1 ? 2 ,所以数列 {an } 为等差数列, 则 an ? 2 ? (n ? 1)2 ? 2n ;-----------------------------------------------3 分

b1 ? a1 ? 2, b4 ? a8 ? 16 ,所以 q 3 ?
n

b4 ? 8, q ? 2 , b1

则 bn ? 2 ;-------------------------------------------------------------------6 分 (II) cn ? anbn ? n2
2 3

n ?1


4 n ?1

则 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n2

2Tn ? 1? 23 ? 2 ? 24 ? 3 ? 25 ? ? ? n2n ? 2
两式相减得 ?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? 2
2 3 4 n ?1

? n2n? 2 ----------9 分

整理得 Tn ? (n ? 1)2

n?2

? 4 .-----------------------------------------------12 分

18.解: (Ⅰ)因为第四组的人数为 60 ,所以总人数为: 5 ? 60 ? 300 ,由直方图可知,第五 组人数为 0.02 ? 5 ? 300 ? 30 人,又

60 ? 30 ? 15 为公差,所以第一组人数为:45 人,第二 2

组人数为:75 人,第三组人数为:90 人

频率 组距

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 O
75 80 85 90 95 100

成绩

---------------------------------------------------------------------------------------------------4 分 (Ⅱ)设事件 A ? 甲同学面试成功,则

P( A) ?

1 1 4 1 2 1 1 1 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………..8 分 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 15

(Ⅲ)由题意得, ? ? 0,1,2,3

P(? ? 0) ?

0 3 1 2 C3 C3 1 C3 C3 9 ? P ( ? ? 1) ? ? , , 3 3 C6 20 C6 20 3 0 C3 C3 1 P(? ? 3) ? ? 3 C6 20

2 1 C3 C3 9 P(? ? 2) ? ? , 3 C6 20

分布列为

?
P

0

1

2

3

1 9 9 1 20 20 20 20 1 9 9 1 3 E (? ) ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? …………………..12 分 20 20 20 20 2
19. ( I ) ? PA ? PD , Q 为 AD 的中 点, ? PQ ? AD ,又 ? 底 面 ABCD为菱 形,

?BAD ? 60? , ? BQ ? AD , 又 PQ ? BQ ? Q ? AD ? 平 面 P Q B, 又

? AD ? 平面 PAD ,?平面 PQB ? 平面 PAD ;-----------------------------6 分
(II)?平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , PQ ? AD

? PQ ? 平面 ABCD .?以 Q 为坐标原点,分别以 QA, QB, QP 为 x, y, z 轴建立空间

P

z

直角坐标系如图.

则 Q(0,0,0), P(0,0, 3 ), B(0, 3,0), C (?2, 3,0) ,设 PM ? ? PC ( 0 ? ? ? 1 ), 所以 M (?2? , 3? , 3 (1 ? ? )) ,平面 CBQ 的一个法向量是 n1 ? (0,0,1) ,
?? ?? ?QM ? n2 ? 0 设平面 MQB 的一个法向量为 n 2 ? ( x, y, z ) ,所以 ? ? ?? ?QB ? n ? 0 2 ?

? ??

? ??

取 n2 ? (

3 ? 3? ,0, 3 ) ,-----------------------------------------9 分 2?

由二面角 M ? BQ ? C 大小为 60? ,可得:

1 | n1 ? n 2 | 1 PM 1 ? ,解得 ? ? ,此时 ? --------------------------------12 分 2 | n1 || n 2 | 3 PC 3
20. 解: (I)因为点 A?1,2? 在抛物线 C : y ? 2 px ? p ? 0? 上,
2

所以 4 ? 2 p ,有 p ? 2 ,那么抛物线 C : y ? 4 x ---------------------------------------2 分
2

若直线 l 的斜率不存在,直线 l x ? 5 ,此时 P 5,2 5 , Q 5,?2 5 , A?1,2?

?

? ?

?

PA ? QA ? ? 4,2 ? 2 5 ? ? 4,2 ? 2 5 ? 0 -------------------------------------------3 分
若直线 l 的斜率存在,设直线 l y ? k ?x ? 5? ? 2, ?k ? 0? ,点 P?x1 , y1 ? , Q?x2 , y 2 ?

?

??

?

? y 2 ? 4x , ? ? y ? k ( x ? 5) ? 2
有 ky ? 4 y ? 4?5k ? 2? ? 0 ? ?
2

4 20 k ? 8 ? ? y1 ? y 2 ? , y1 y 2 ? ? ,---------------5 分 k k ? ? ? ? 16 ? 16 k ?5k ? 2? ? 0

PA ? QA ? ?1 ? x1 ,2 ? y1 ? ? ?1 ? x 2 ,2 ? y 2 ?
2 2 2 2

? 1 ? ? x1 ? x 2 ? ? x1 x 2 ? 4 ? 2? y1 ? y 2 ? ? y1 y 2 y ? y2 y y ? 1? 1 ? 1 2 ? 4 ? 2? y1 ? y 2 ? ? y1 y 2 4 16 2 ? y ? y 2 ? ? 2 y1 y 2 ? y1 2 y 2 2 ? 4 ? 2? y ? y ? ? y y ? 1? 1 1 2 1 2 4 16 ?0

那么, PA ? QA 为定值.--------------------------------------------------------------------------7 分 (II) 若直线 l 的斜率不存在,直线 l x ? 5 ,此时 P 5,2 5 , Q 5,?2 5 , A?1,2?

?

? ?

?

S ?APQ ?

1 ?4 5?4 ? 8 5 2

若直线 l 的斜率存在时, PQ ?

?x1 ? x 2 ?2 ? ? y1 ? y 2 ?2
? 1? 1 80 k 2 ? 32 k ? 16 ? ------------------9 分 k2 k2

? 1?

1 ? k2

? y1 ? y 2 ?2 ? 4 y1 y 2

点 A?1,2? 到直线 l y ? k ?x ? 5? ? 2 的距离 h ?

4 k ?1 1? k 2

------------------------------10 分
2

S ?APQ ?

1 5k 2 ? 2k ? 1 ?k ? 1? ?1 ? ? PQ ? h ? 8 ,令 u ? ? ? 1? ,有 u ? 0 , 4 2 k ?k ?
2

?

?

2 则 S ?APQ ? 8 u ? 4u 没有最大值.---------------------------------------------------------12 分

21. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x e 令 h( x) ? (2 x ? x ) ? e
2 x ?1

2 1? x

(2 x ? x 2 ) ? e x ?1 ? ( x ? 1) ,则 f ?( x) ? , e x ?1
x ?1

,则 h?( x) ? 2 ? 2 x ? e

,显然 h?( x) 在 ( , 2) 上单

3 4

调递减. 又因为 h?( ) ?

3 4

1 1 3 ? 4 ? 0 ,故 x ? ( , 2) 时,总有 h?( x) ? 0 , 2 4 e

所以 h( x) 在 ( , 2) 上单调递减.---------------------------------------------3 分 又因为 h(1) ? 0 , 所以当 x ? ( ,1) 时, h( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 ,这时 f ( x) 单调递增, 当 x ? (1, 2) 时, h( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 ,这时 f ( x) 单调递减,

3 4

3 4

当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

3 ( ,1) 4
+

1 0 极大

(1, 2)


f ( x)

所以 f ( x) 在 ( , 2) 上的极大值是 f (1) ? 1 .-----------------------------5 分 (Ⅱ)由题可知 g ( x) ? ( x ? a)e
2 1? x

3 4

,则 g ?( x) ? (? x ? 2 x ? a)e
2

1? x

.

根据题意方程 ? x2 ? 2 x ? a ? 0 有两个不等实数根 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 所以 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? ?1 ,且 x1 ? x2 ? 2 .因为 x1 ? x2 ,所有 x1 ? 1 . 由 x2 g ( x1 ) ? ? f ?( x1 ) ,其中 f ?( x) ? (2 x ? x )e
2 1? x

?a,

可得 x2 ( x12 ? a)e1? x1 ? ?[(2 x1 ? x12 )e1? x1 ? a ] 又因为 x2 ? 2 ? x1 , x12 ? a ? 2 x1 , a ? x12 ? 2 x1 ,将其代入上式得:

2 x1 (2 ? x1 )e1? x1 ? ?[(2 x1 ? x12 )e1? x1 ? (2 x1 ? x12 )]









x1[2e1? x1 ? ? (e1? x1 ? 1)] ? 0 .--------------------------------------------------------8 分
即不等式 x1[2e1? x1 ? ? (e1? x1 ? 1)] ? 0 对任意 x1 ? (??,1) 恒成立 (1) 当 x1 ? 0 时,不等式 x1[2e1? x1 ? ? (e1? x1 ? 1)] ? 0 恒成立,即 ? ? R ; (2) 当 x1 ? (0,1) 时, 2e
1? x1

? ? (e1? x1 ? 1) ? 0 恒成立,即 ? ?

2e1? x1 e1? x1 ? 1

令 k ( x) ?

2e1? x 1 ? 2(1 ? 1? x ) ,显然 k ( x) 是 R 上的减函数, 1? x e ?1 e ?1
2e 2e ,所以 ? ? ; e ?1 e ?1

所以当 x ? (0,1) 时, k ( x) ? k (0) ? (3)当 x1 ? (??, 0) 时, 2e
1? x1

? ? (e1? x1 ? 1) ? 0 恒成立,即 ? ?

2e1? x1 e1? x1 ? 1

由(2)可知,当 x ? (??, 0) 时, k ( x) ? k (0) ? 综上所述, ? ?

2e 2e ,所以 ? ? ; e ?1 e ?1

2e .-------------------------------------12 分 e ?1
? ?

22. (Ⅰ)连接 BD ,则 ?AGD ? ?ABD , ?ABD ? ?DAB ? 90 , ?C ? ?CAB ? 90 所以 ?C ? ?AGD ,所以 ?C ? ?DGE ? 180? ,所以 C, E, G, D 四点共圆. ………………………………..5 分 (Ⅱ)因为 EG ? EA ? EB ,则 EB ? 2 ,又 F 为 EB 三等分,所以 EF ?
2

2 4 , FB ? , 3 3

又因为 FG ? FD ? FE ? FC ? FB ,所以 FC ?
2

8 , CE ? 2 …………………….10 分 3

23.(I)直线 l 的普通方程为: 3 x ? y ? 3 3 ? 0 ; 曲线的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? y ? 1 ---------------------------4 分
2 2

(II)设点 P(2 ? cos? , sin? ) (? ? R) ,则

| 3 (2 ? cos? ) ? sin ? ? 3 3 | d? ? 2
所以 d 的取值范围是 [

| 2 cos( ??

?

6 2

)?5 3 |

5 3?2 5 3?2 , ] .--------------------------10 分 2 2

24. (I)不等式的解集是 (??,?3] ? [3,??) ------------------------------5 分 (II)要证 f (ab) ? a f ( ) ,只需证 | ab ? 1 |?| b ? a | ,只需证 (ab ? 1) ? (b ? a)
2 2 2 2 2 2 2 2 2

b a

2

而 (ab ? 1) ? (b ? a) ? a b ? a ? b ? 1 ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ,从而原不等 式成立.----------------------------------------10 分


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