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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第8章 第2节 两直线的位置关系


第二节

两直线的位置关系

[主干知识梳理] 一、两条直线的位置关系
斜截式 方 程 相 交 y=k1x+b1 y=k2x+b2 k1≠k2 一般式
2 A1x+B1y+C1=0(A2 1+B1≠0) 2 A2x+B2y+C2=0(A2 2+B2≠0)

A1B2-A2B1 ≠0
? A

1 B1? ? ? 当 A B ≠ 0 时,记为 ≠ 2 2 ? A2 B2? ? ?

垂 直

1 k1=- k2 或 k1k2=-1

A1A2+B1B2=0
? ? A1 A 2 ? ? 当 B B ≠ 0 时,记为 · =- 1 1 2 ? ? B1 B 2 ? ?

平 行

k1=k2 且 b1≠b2


? A1 B1 C1? ? ? 当 A B C ≠ 0 时,记为 = ≠ 2 2 2 ? A2 B2 C2? ? ?

重 合

k1=k2 且 b1=b2

A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)
? A 1 B1 C 1 ? ? ? 当 A B C ≠ 0 时,记为 = = 2 2 2 ? A 2 B2 C 2 ? ? ?

二、两条直线的交点 设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+

C2=0,两条直线的交点坐标就是方程组
的解,若方程组有唯一解,则两 条直线 相交 ,此解就是 交点坐标 ;若方程组 无解 ,则 两条直线无公共点,此时两条直线 平行 ;反之,亦成

立.

三、几种距离 1.两点间的距离 平面上的两点 A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式: d(A,B)=|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 . 2.点到直线的距离 点 P(x1,y1)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 |Ax1+By1+C| d= . 2 2 A +B

3.两条平行线间的距离 两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离 d= |C1-C2| A2+B2 .

[基础自测自评] 1.(教材习题改编)已知 l1 的倾斜角为 45°,l2 经过点 P (-2,-1),Q(3,m).若 l1⊥l2,则实数 m 为( )

A.6 C.5

B.-6 D.-5

m+1 B [由已知得 k1=1,k2= . 5 ∵l1⊥l2,∴k1k2=-1, m+1 ∴1× =-1,即 m=-6.] 5

2.l1:x- y=0与l2:2x-3y+ 1=0的交点在直线 mx +3y+5 =0上,则m的值为

(
A.3 C.-5 B.5 D.-8

)

3.点(a,b)关于直线x+y+1=0的对称点是(

)

A.(-a-1,-b-1)
C.(-a,-b) B [设对称点为(x′,y′),

B.(-b-1,-a-1)
D.(-b,-a)

解得x′=-b-1,y′=-a-1.]

4.与直线 4x+3y-5=0 平行,并且到它的距离等于 3 的直线方程 是______________________. 解析 设所求直线方程为 4x+3y+m=0, |m+5| 由 3= 2 2,得 m=10 或-20. 4 +3 答案 4x+3y+10=0 或 4x+3y-20=0

5.(2014· 临沂模拟)已知点 P(4,a)到直线 4x-3y-1=0 的距离不 大于 3,则 a 的取值范围是________. 解析 由题意得, |4×4-3×a-1| |15-3a| 点到直线的距离为 = . 5 5 |15-3a| 又 ≤3, 5 即|15-3a|≤15, 解得,0≤a≤10,所以 a∈[0,10]. 答案 [0,10]

[关键要点点拨] 1.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率

是否存在,两条直线都有斜率时,可根据斜率的关系作出
判断,无斜率时,要单独考虑. 2.在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时, 直线方程必须先化为Ax+By+C=0的形式,否则会出 错.

两直线的平行与垂直 [典题导入] 已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-

2y+3=0平行,则k的值是(
A.1或3 C.3或5 解得k=3或5.

)
B.1或5 D.1或2

[听课记录] ∵l1∥l2,∴-2(k-3)=(4-k)·2(k-3),

答案 C

[规律方法] 1 .充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键,

对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1和l2,l1∥l2?k1=k2,
l1⊥l2?k1·k2 =- 1. 若有一条直线的斜率不存在,那么另一 条直线的斜率是多少一定要特别注意.

2.(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+ b2,则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2=-1.

(2) 设 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 , l2 : A2x + B2y + C2 = 0. 则
l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.

[跟踪训练]

1.(2014·新昌中学月考)直线l1:kx+(1-k)y-3=0和
l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=( A.-3或-1 B.3或1 C.-3或1 )

D.-1或3
C [由两条直线垂直得k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0, 解得k=-3或k=1, 故选C.]

两直线的交点与距离问题 [典题导入] 已知点P(2,-1).

(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多 少 [听课记录] (1)①当l的斜率k不存在时显然成立, ∴l的方程为x=2;

②当 l 的斜率 k 存在时, 设 l:y+1=k(x-2),即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 由点到直线距离公式得 2 =2, 1+k 3 ∴k= ,∴l:3x-4y-10=0. 4 故所求 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0.

(2)作图可得过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与 PO 垂 直的直线,由 l⊥OP,得 k1kOP=-1, 1 所以 k1=- =2. kOP 由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2),

即 2x-y-5=0.即直线 2x-y-5=0 是过 P 点且与原点 O 距离最 |-5| 大的直线,最大距离为 = 5. 5

[规律方法] 1 .点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求.注意直

线方程为一般式.
2.点到与坐标轴垂直的直线的距离,可用距离公式求 解.也可用如下方法去求解: (1)点P(x0,y0)到与y轴垂直的直线y=a的距离d=|y0-a|. (2)点P(x0,y0)到与x轴垂直的直线x=b的距离d=|x0-b|.

[跟踪训练] 2.与直线 7x+24y-5=0 平行,并且距离等于 3 的直线方程是 ________. 解析 设所求的直线方程为 7x+24y+b=0,由两条平行线间 |b+5| 的距离为 3,得 =3,则 b=-80 或 b=70,故所求的直 25 线方程为 7x+24y-80=0 或 7x+24y+70=0. 答案 7x+24y-80=0 或 7x+24y+70=0

对称问题
[典题导入] (2014· 成都模拟)在直角坐标系中,A(4,0),B(0,4),从 点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后,再射到直线 OB 上,最 后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是( A.2 10 C.3 3 B.6 D.2 5 )

[听课记录] 如图,设点 P 关于直线 AB,y 轴 的对称点分别为 D,C,易求得 D(4,2), C(-2,0),由对称性知,D,M,N,C 共线, 则△ PMN 的周长=|PM|+|MN|+|PN|= |DM|+|MN|+|NC|=|CD|= 40=2 10即为光线所经过的路程. 答案 A

[规律方法] 对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1)中心对称 ①点 P(x,y)关于 O(a,b)的对称点
? ?x′=2a-x, P′(x′,y′)满足? ? ?y′=2b-y.

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.

(2)轴对称 ①点 A(a,b)关于直线 Ax+By+C=0(B≠0)的对称点 A′(m,n),
? ? ? A? ? n-b ×? - ?=-1, ? ?m-a ? B? 则有? b+n ? a+m A· +B· +C=0. ? 2 2 ?

②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

[跟踪训练] 3.(2014· 广州模拟)直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线 方程是 ( A.x+2y-1=0 C.2x+y-3=0 B.2x+y-1=0 D.x+2y-3=0 )

D [由题意得直线 x-2y+1=0 与直线 x=1 的交点坐标为 (1,1).又直线 x-2y+1=0 上的点(-1,0)关于直线 x=1 的 对称点为(3,0),所以由直线方程的两点式, y-0 x-3 得 = ,即 x+2y-3=0.] 1-0 1-3

【创新探究】 妙用直线系求直线方程 (2014·银川一中月考)求经过直线l1:3x+2y

-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x
-5y+6=0的直线l的方程. 【思路导析】 可以先求出交点坐标和直线l的斜率,也

可以采用交点的直线系方程.

【解析】

? ?3x+2y-1=0, 解法一:解方程组? ? ?5x+2y+1=0,

得 l1,l2 的交点坐标为(-1,2). 3 5 由 l3 的斜率 得 l 的斜率为- . 5 3 5 则由点斜式方程可得 l 的方程为 y-2=- (x+1) 3 即 5x+3y-1=0.

解法二:由于 l 过 l1,l2 的交点, 故可设 l 的方程为 3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0 将其整理, 得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0, 3+5λ 5 1 其斜率- =- ,得 λ= . 3 5 2+2λ 代入直线系方程得 l 方程 5x+3y-1=0.

【高手支招】

运用直线系方程,有时会给解题带来方便,常见

的直线系方程有: (1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是 Ax+By+m= 0(m∈R 且 m≠C); (2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m= 0(m∈R); (3)过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的 直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈ R),但不 包括 l2.

[体验高考] 1.(2013· 天津高考)已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相 切,且与直线 ax-y+1=0 垂直,则 a=( 1 A.- 2 C.2 B.1 1 D. 2 )

C [由切线与直线 ax-y+1=0 垂直,得过点 P(2,2)与圆心 2-0 (1,0)的直线与直线 ax-y+1=0 平行,所以 =a,解得 a 2-1 =2.]

2 . (2013· 四川高考 ) 在平面直角坐标系内,到点 A(1 , 2) ,

B(1 , 5) , C(3 , 6) , D(7 ,- 1) 的距离之和最小的点的坐
标是________. 解析 设平面上任一点M,因为|MA|+|MC|≥|AC|,当且仅

当A,M,C共线时取等号, 同理|MB|+|MD|≥|BD|,

当且仅当B,M,D共线时取等号,连接AC,BD交于一点
M, 若|MA|+|MC|+|MB|+|MD|最小,则点M为所求.

6-2 又 kAC= =2,∴直线 AC 的方程为 y-2=2(x-1), 3-1 即 2x-y=0① 5-(-1) 又 kBD= =-1, 1-7 ∴直线 BD 的方程为 y-5=-(x-1), 即 x+y-6=0.②
? ? ?2x-y=0, ?x=2, 由①②得? ∴? ∴M(2,4). ? ? ?x+y-6=0, ?y=4,

答案

(2,4)

3.(2012·北京高考)已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数 y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为

(
A.4 C.2 B.3 D.1

)

解析 设点 C(t,t2),直线 AB 的方程是 x+y-2=0, |AB|=2 2,由于△ABC 的面积为 2, 1 则这个三角形中 AB 边上的高 h 满足方程 ×2 2h=2, 2 |t+t2-2| 即 h= 2,由点到直线的距离公式得 2= , 2 即|t2+t-2|=2,即 t2+t-2=2 或者 t2+t-2=-2,这两个方程 各自有两个不相等的实数根,故这样的点 C 有 4 个. 答案 A

课时作业


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