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等比数列知识点总结


等比数列
知识梳理: 1、等比数列的定义: 2、通项公式:

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an ?1

an ? a1q n ?1 ?

a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? ,首项: a1 ;公比: q q
n?m

推广: an ? am q 3、等比中项:

? q n?m ?

an a ? q ? n?m n am am
2

(1) 如果 a, A, b 成等比数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项, 即: A ? ab 或 A ? ? ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项 互为相反数) (2)数列 ?a n ?是等比数列 ? an ? an ?1 ? an ?1
2

4、等比数列的前 n 项和 S n 公式: (1)当 q ? 1 时, S n ? na1 (2)当 q ? 1 时, S n ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

?
5、等比数列的判定方法:

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A '( A, B, A ', B ' 为常数) 1? q 1? q

(1)用定义:对任意的 n ,都有 an ?1 ? qan或 等比数列

an ?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } 为 an

(2)等比中项: an ? an ?1an ?1 (an ?1an ?1 ? 0) ? {an } 为等比数列
2

(3)通项公式: an ? A ? B 6、等比数列的证明方法: 依据定义:若

n

? A ? B ? 0 ? ? {an } 为等比数列

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an ?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an ?1

7、等比数列的性质:

(1)当 q ? 1 时 ①等比数列通项公式 an ? a1q 指数函数,底数为公比 q ; ②前 n 项和 S n ?
n ?1

?

a1 n q ? A ? B n ? A ? B ? 0 ? 是关于 n 的带有系数的类 q

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? a1q n a 1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ,系 1? q 1? q 1? q
n?m

数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比 q 。 (2)对任何 m, n ? N ,在等比数列 {an } 中,有 an ? am q
*

,特别的,当 m ? 1 时,便得

到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 ( 3 )若 m ? n ? s ? t( m, n, s, t ? N ) ,则 an ? am ? as ? at 。特别的,当 m ? n ? 2k 时,得
*

an ? am ? ak2

注: a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3an ? 2 ???

(4)数列 {an } ,{bn } 为等比数列,则数列 { 为非零常数)均为等比数列。

a k } ,{k ? an } ,{an k } ,{k ? an ? bn } ,{ n }( k bn an

(5)数列 {an } 为等比数列,每隔 k (k ? N ) 项取出一项 (am , am? k , am? 2 k , am?3k , ???) 仍为等
*

比数列 (6)如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (7)若 {an } 为等比数列,则数列 S n , S 2 n ? S n , S3n ? S2 n , ??? ,成等比数列 (8)若 {an } 为等比数列,则数列 a1 ? a2 ????? an , an ?1 ? an ? 2 ????? a2 n , a2 n ?1 ? a2 n ? 2 ??????a3n 成 等比数列

a1 ? 0,则{ an }为递增数列 { (9)①当 q ? 1 时, a1 ? 0,则{ an }为递减数列
a1 ? 0,则{ an }为递减数列 ②当 0<q ? 1时, a1 ? 0,则{ an }为递增数列

{

③当 q ? 1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列) ; ④当 q ? 0 时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列 {an } 中,当项数为 2n(n ? N ) 时,
*

S奇 S偶

?

1 q

二 例题解析 【例 1】 已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和, Sn=pn(p∈R, n∈N*), 那么数列{an}. ( A.是等比数列 B.C.当 p≠0,p≠1 时是等比数列 【例 2】 B.当 p≠0 时是等比数列 D.不是等比数列 )

已知等比数列 1,x1,x2,…,x2n,2,求 x1·x2·x3·…·x2n.

1 【例3】 等比数列{a n }中,(1) 已知a 2 = 4 ,a 5 =- ,求通项公 2
式;(2)已知 a3·a4·a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值. 【例 4】 【例 5】 设 a、b、c、d 成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2. 求数列的通项公式: (1){an}中,a1=2,an+1=3an+2 (2){an}中,a1=2,a2=5,且 an+2-3an+1+2an=0 三 考点分析

考点一:等比数列定义的应用 1 4 1、数列 ?an ? 满足 an ? ? an?1 ? n ? 2 ? , a1 ? ,则 a4 ? _________. 3 3
2、 在数列 ?an ? 中, 若 a1 ? 1 ,an ?1 ? 2an ? 1? n ? 1? , 则该数列的通项 an ? ______________.

考点二:等比中项的应用
1、已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 ? ( A. ?4 B. ?6
2

) D. ?10 )

C. ?8

2、若 a 、 b 、 c 成等比数列,则函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴交点的个数为( A. 0 B. 1 C. 2 D.不确定

3、已知数列 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2 , a2 ? a4 ?

20 ,求 ?an ? 的通项公式. 3

考点三:等比数列及其前 n 项和的基本运算 2 9 1 1、若公比为 的等比数列的首项为 ,末项为 ,则这个数列的项数是( ) 3 8 3 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2、 已知等比数列 ?an ? 中,a3 ? 3 ,a10 ? 384 , 则该数列的通项 an ? _________________. 3、若 ?an ? 为等比数列,且 2a4 ? a6 ? a5 ,则公比 q ? ________. 4、设 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列,其公比为 2 ,则

2a1 ? a2 的值为( 2a3 ? a4



A.

1 4

B.

1 2

C.

1 8

D. 1

1 且 a2+a4+…+a100=30,则 a1+a2+…+a100=______________. 2 考点四:等比数列及其前 n 项和性质的应用
5、等比数列{an}中,公比 q= 1、在等比数列 ?an ? 中,如果 a6 ? 6 , a9 ? 9 ,那么 a3 为( ) D. 2

3 16 C. 2 9 2、如果 ?1 , a , b , c , ?9 成等比数列,那么( ) A. b ? 3 , ac ? 9 B. b ? ?3 , ac ? 9 C. b ? 3 , ac ? ?9 D. b ? ?3 , ac ? ?9
A. 4 B. 3、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a10 ? 3 ,则 a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 a9 等于( A. 81 B. 27 5 27 C. 3

) D. 243 )
10

4、在等比数列 ?an ? 中, a9 ? a10 ? a ? a ? 0 ? , a19 ? a20 ? b ,则 a99 ? a100 等于(

b9 A. 8 a

?b? B. ? ? ?a?

9

b10 C. 9 a
2

?b? D. ? ? ?a?

a3 和 a5 是二次方程 x ? kx ? 5 ? 0 的两个根, 5、 在等比数列 ?an ? 中, 则 a2 a4 a6 的值为 (
A. 25 B. 5 5 C. ?5 5 D. ?5 5



6、若 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,若 a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25 ,那么 a3 ? a5 的值等于

? S1 , ( n ? 1) 考点五:公式 an ? ? 的应用 ? S n ? S n ?1 , ( n ? 2)
1、若数列的前 n 项和 Sn=a1+a2+…+an,满足条件 log2Sn=n,那么{an}是( A.公比为 2 的等比数列 )

1 B.公比为 的等比数列 2

C.公差为 2 的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 n 2、等比数列前 n 项和 Sn=2 -1,则前 n 项的平方和为( ) A.(2n-1)2

B.

1 n 2 (2 -1) 3

C.4n-1

D.

1 n (4 -1) 3

3、设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n+r,那么 r 的值为______________. * 4、设数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 S1=3,若对任意的 n∈N 都有 Sn=2an-3n. (1)求数列{an}的首项及递推关系式 an+1=f(an); (2)求{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn.


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