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赋值法在高中数学中的应用


赋值法在高中数学中的应用
康乐一中 倾转莉

摘要: 赋值法在高中数学中应用广泛,本文总结了赋值法在高中数学中主要应 用有函数方程, 二项式定理, 算法, 恒成立问题, 解选择题与填空题等。 关键字:赋值法 抽象函数 二项式定理 算法 恒等变化 赋值法就是给变量赋予特殊的数值。可以把抽象的问题具体化,把普遍的问 题特殊化。赋值法在高中数学中的应用常见

在以下几个方面: 一.赋值法在抽象函数性质中的应用 赋值法在函数性质中应用最广,特别是应用在抽象函数中用来的判断函数的
奇偶性,讨论函数的单调性,求函数的值域,判断函数的周期性,求函数的解析式等方面。 (一)判断函数的奇偶性 (x∈R, x≠0) 对任意非零实数 x1x2 都有 f (x1x2) f (x1) , = 例 1 已知函数 y= f (x) + f (x2) ,试判断 f (x)的奇偶性。 解:取 x1=-1,x2=1 得 f (-1)= f (-1)+(1) ,所以 f (1)=0 又取 x1=x2=-1,得 f (1)= f (-1)+ f (-1) , 所以 f (-1)=0 再取 x1=x,x2=-1,则有 f (-x)= f (x) ,即 f (-x)= f (x) 因为 f (x)为非零函数,所以 f (x)为偶函数。 (二)讨论函数的单调性 二 讨论函数的单调性 例 2. 设 f (x)定义于实数集 R 上,当 x>0 时, f (x)>1,且对任意 x,y∈R, 有 f (x+y)= f (x) f (y) ,求证 f (x)在 R 上为增函数。 证明:由 f (x+y)= f (x) f (y)中取 x=y=0 得 f (0)= f 2(0) 。 若 f (0)=0,令 x>0,y=0,则 f (x)=0,与 f (x)>1 矛盾。 所以 f (0)≠0,即有 f (0)=1。 当 x>0 时, f (x)>1>0,当 x<0 时, f (-x)>1>0,而 f ( x) = 时, f (0)=>0,所以 f (x)∈R, f (x)>0。 设 x1<x2,则 x1<x2>0, f (x2-x1)>1,所以 f (x2)= f [x1+(x2-x1)]= f (x1) f ·
1 f 0 ,又 x=0 f ( ? x)

(x2-x1)> f (x1) ,所以 y=(x)在 R 上为增函数。 (三)求函数的值域 三 求函数的值域 例 3 已知函数 f (x)在定义域 x∈R 上是增函数,且满足 f (xy)= f (x)+ f (y) ,求 f (x)的值域。 (x、y∈R ) (1)=2 f (1) ,所以 f (1)=0 解:因为 x=y=1 时,
+ +

,则 f (x1) 又因为(x)在定义域 R+上是增函数,所以 x1>x2>0 时,令 x1=mx2(m>1) - f <(x2)= f (m·x2)- f (x2)= f (m)+ f (x2)- f (x2)= f (m)>0。

,则 0<x1<x2。 得以对于 x>1 有 f (x)>0。又设 x1=mx2>0(0<m<1)

所以由函数在 R+上递增可得 f (x1)- f (x2)<0,即 f (mx2)- f (x2)= f (m) + f (x2)- f (x2)= f (m)<0。所以对于 0<x<1 有 f (x)<0。综上所述:当 x∈R 时, f (x)的值域为 R。 (四)判断函数的周期性 四 判断函数的周期性 例 4 函数 f (x)定义域为 R,对任意实数 a、b∈R,有 f (a+b)=2 f (a) f (b) , 且存在 c>0,使 f ? ? = 0 ,求证 f (x)是周期函数。


?c? ? 2?

证明: 证明:令 a = x =

c c , b = ,代入 f (a+b)+ f (a-b)=2 f (a) f (b)可 2 2

得: f (x+c)=- f (x) 。所以 f (x+2c)= f [(x+c)+c]=- f (x+c)= f (x) , 即 f (x+2c)= f (x) 。则 f (x)是以 2c 为周期的函数。 (五)求函数的解析式 五 求函数的解析式

例 5 设对满足| x |≠1 的所有实数 x,函数 f (x)满足 f ?

? x ? 3? ?3+ x? ?+ f? ? = x ,求 ? x +1? ? 1? x ?

f (x)的解析式。

解:将 x 取为

x?3 ?3+ x? ? x ? 3? 代入原等式,有 f ? ? + f ( x) = ? ?, x +1 ? 1? x ? ? x +1?
(2)

(1)

将 x 取为

3+ x 3? x 3+ x 代入原等式,有 f ( x ) + f 。 = 1? x 1+ x 1? x

(1)+(2) ,且将原等式代入即得 f ( x) =

x3 + 7 x (| x |≠ 1) 2 ? 2 x2

有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的, 可通过赋特殊值法使问题得以解决。 二.赋值法在二项式定理中的应用
0 1 n 在二项式定理(a+b)n= C n an+ C n an-1b+… C n ?1 abn-1+ C nn bn(n∈N)中,给 a,b 1 n 赋予一些特殊值,或者在(1+x)n=1+ C n x+… C n ?1 xn-1+ C nn xn 中给 x 一些特殊

值,可以得到相应的系数,所以“赋值法”在二项式定理求系数和中最常见。 例题 6: 在 (2x ? 3y) 的展开式中,求:①二项式系数的和; ②各项系数的和;
10

③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤ x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和.
r 分析:因为二项式系数特指组合数 C n ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式

2x ? 3y 中的系数无关.
解:设 (2x ? 3y)
10

= a0 x10 + a1 x9 y + a2 x8 y 2 + L+ a10 y10 (*),

各项系数和即为 a0 + a1 +L+ a10 ,奇数项系数和为 a0 + a2 +L+ a ,偶数项系数和为 10

a1 + a3 + a5 +L+ a9 , x 的奇次项系数和为 a1 + a3 + a5 +L+ a9 , x 的偶次项系数和
a 0 + a 2 + a 4 + L + a10 .
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为 C10
0 1 10 + C10 + L + C10 = 210 .
10

②令 x = y = 1 ,各项系数和为 (2 ? 3)

= (?1)10 = 1.

0 2 10 ③奇数项的二项式系数和为 C 10 + C 10 + L + C 10 = 2 9 ,

偶数项的二项式系数和为 C10 + C10 +L+ C10 = 2 .
1 3 9 9

④设 (2x ? 3y)

10

= a0 x10 + a1x9 y + a2 x8 y 2 + L+ a10 y10 ,

令 x = y =1,得到 a0

+ a1 + a2 + L+ a10 =1 …(1),
? a1 + a2 ? a3 + L+ a10 = 510 …(2)

令 x =1 , y = ?1 (或 x = ?1, y =1)得 a0 (1)+(2)得 2(a0

+ a2 + L+ a10 ) = 1 + 510 ,
1 + 5 10 ; 2

∴奇数项的系数和为 (1)-(2)得 2( a1

+ a 3 + L + a 9 ) = 1 ? 510 ,

1 ? 5 10 . ∴偶数项的系数和为 2
⑤ x 的奇次项系数和为 a 1 + a 3 + a 5 + L + a 9 =

1 ? 5 10 ; 2

x 的偶次项系数和为 a 0 + a 2 + a 4 + L + a10 =

1 + 510 . 2

点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系 数和”严格地区别开来,.

定理: 定理 : 对于

, f (x) = a0 (x ? a)n + a1(x ? a)n?1 +L+ an ,令 x?a =1 即 x =a+1可得各

的值; 项系数的和 a0 + a1 + a2 +L+ an 的值 ; 令 x ?a =?1, 即 x = a ?1, 可得奇数项系数 和与偶数项和的关系 三.赋值法在算法中的应用 赋值是算法中的难点之一, 理解赋值对于理解算法是非常重要的。 例如,a=5,就表示变量 a 被赋予的值是 5,这个被赋值的变量可以与其他的 值进行运算。对于被赋值的变量 a,还可以赋予其它的值取代原来的值。我们可 以用磁带录音来比喻赋值,在我们录音时,是把磁带上旧的录音材料冲掉之后, 才能把新的录音材料加载上去。同样的道理,我们这里的赋值也是先把原来的值 清零之后,再把新的值赋上去。下面我们通过一个例子来说明如何设置变量和给 变量赋值。 例 8:设计一个算法,从 5 个不同的数中找出最大数。 解:记这 5 个不同的数分别为 a1,a2,a3,a4,a5,算法步骤如下: 1、比较 a1 与 a2 将较大的数记作 b. (在这一步中,b 表示的是前 2 个数中的最大数) 2、再将 b 与 a3 进行比较,将较大的数记作 b. (执行完这一步后,b 的值就是前 3 个数中的最大数) 3、再将 b 与 a4 进行比较,将较大的数记作 b. (执行完这一步后,b 的值就是前 4 个数中的最大数) 4、再将 b 与 a5 进行比较,将较大的数记作 b. (执行完这一步后,b 的值就是前 5 个数中的最大数)
新疆 王新敞
奎屯

5、输出 b,b 的值即为所求得最大数。 分析:上述算法的 4 个步骤中,每步都要与上一步中得到的最大数 b 进行 比较,得出新的最大数。b 可以取不同的值,b 就称之为变量。在第 1 步到第 4 步的算法过程中,我们都把比较后的较大数记作 b,即把值赋予了 b,这个过程 就是赋值的过程,这个过程有两个功能,第一,我们可以不断地对 b 的值进行改 变,即把数值放入 b 中;第二,b 的值每变化一次都是为下一步的比较服务。 四.在恒成立问题中的应用 例 9、是否存在实数 a,b c,使得函数 f(x)=ax2+bx+c 对于任意实数 a 均满足下列条 件: (1)f(sin α )≥2;(2)f(2-cos α )≤2;(3)f(4) ≥c,若存在,找出一组数 a,b c,并画 出函数的图象,若不存在,说明理由。 分析:若直接把 sin α 、2-cos α 、4 代入原函数化简,方程个数较多,自变量 形式复杂,给解题带来一定难度,注意到题目中条件对一切实数 α 均能使等式恒 成立,故不妨令 α 为特殊值为突破口。 解:在(1)中令 sin α =1,则有 f(1)≥2,在(2)中令 cos α =1,则有 f(1)≤2, ∴f(1)=2,即 a+b+c=2; y 由 f(4) ≥c,得 4a+b≥0, 在 (2) 中令 cos α =-1,可得 f(3) ≤-2,化简即得 4a+b≤0, 可得 4a=-b, 则可求得 c=3a+2; ∴f(x)=ax2-4ax+3a+2 1 =a(x-2)2+2-a----------------(1) o 2 在(2)中令 cos α =0,有 f(2)=2-a≤2, ∴a≥0,则(1)式表示开口 向上,对称轴为 x=2 的抛物线,取 a=1,此时 b –4,c=5,所得抛物线 符合题意。 五.在解选择题及填空中的特殊应用 选择题、 填空题因其题目的特殊性, 在有些问题中不要求有严密的推理证明, 而只要能借助于一些特殊方法写出正确结果即可,故其应用相当普遍。 π 例 10、如果函数 y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x= ? 对称,那么 a=( ) 8
A 、1 B、-1 C

x

2

D- 2。

),即 a=-1。 4 4 例 11、当 a∈R 时,关于 x,y 的方程(x2+y2+x+y)-a(x+2y+1)=0 表示的曲线是轴对 称图形,则它们的公共对称轴方程 ( ) A x+2y+1=0 B 4x+2y+1=0 C 4x-2y+1=0 D 2x-4y+1=0 略解:既然上述对称轴对一切 a∈R 都成立,不妨令 a=0,则方程变为: 1 1 1 1 1 x2+y2+x+y=0,即(x+ )2+(y+ )2= ,此曲线为圆,圆心坐标为( ? , ? ) , 2 2 4 2 2 只适合于 C,故答案为 C。 例 12、△ABC 中,角 A,B,C 依次成等差数列,则 a+c 与 2b 的大小( ) A a+c<2b B a+c>2b C a+c≥2b D a+c≤2b 略解:题中没有给定三角形的形状,不妨令 A=B=C=600,则可排除 A、B, 再取角 A,B,C 分别为 300,600,900,可排除 C,故答案为 D。

略解:取 x=0 及 x= ?

π

,则 f(0)=f( ?

π

例 10 、 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 f(x)=(x+a)3, 满 足 f(x+1)=-f(1-x), 则 f(2)+f(-3)= 。 略解:∵f(x+1)=-f(1-x)对一切 x∈R 都成立,当然可以把 x+1 和 1-x 分别代 (x+1+a)3=(1-x+a)3, 化简后得到 a 的值。 然而既然 f(x+1)=-f(1-x) 入函数关系式得: 对一切 x∈R 都成立,不妨令 x=0,可得 f(1)=0,代入原函数关系可得 a=-1,即 f(x)=(x-1)3,故 f(2)+f(-3)=-63。

参考文献:


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