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(十校联考)数学试卷答案文


2012 年河南省豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(一) 数学(文科)· 答案 (1)A (9)D 1 (13) 3 (2)B (10)D (14)3∶2 (3)C (11)B (4)C (12)D (5)B (6)C (7)A (8)B

(15) 2 x ? 4 y ? 3 ? 0

(16)①

(17)解:

(Ⅰ)由

1? x ? 0 得 ?1 ? x ? 1 ,所以 f ( x) 的定义域为(-1,1). 1? x 1? x 1? x 又 f (? x) =log2 =-log2 = ? f ( x) , 1? x 1? x
所以 f ( x ) 为奇函数,所以 f ?

? 1 ? ?? ? 2012 ?

? 1 ? f? ? ? 0 .…………………………(5 分) ? 2012 ?

(Ⅱ) f ( x ) 在(-a,a]上有最小值.……………………………………………………(6 分) 设 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1 , 则

1 ? x1 1 ? x2 2( x2 ? x1 ) ,因为 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 x2 ? x1 ? 0 , ? ? 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) 1 ? x1 1 ? x2 . ? 1 ? x1 1 ? x2

又 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 ,所以 所以函数 y ?

1? x 在(-1,1)上是减函数. 1? x 1? x 从而得 f ( x ) =log2 在(-1,1)上也是减函数.又 a∈(-1,1), 1? x 1? a 所以当 x∈(-a,a]时, f ( x ) 有最小值,且最小值为 f ( a ) =log2 .…… (12 分) 1? a
(18)解:(Ⅰ)∵四边形 DCBE 是平行四边形, ∴BC∥DE,又 BC ? 平面 ADE,DE ? 平面 ADE, ∴BC∥平面 ADE.……………………………………………………………………(3 分) (Ⅱ)∵四边形 DCBE 为平行四边形,∴CD∥BE, ∵DC⊥平面 ABC,∴BE⊥平面 ABC, ∵AB 是圆 O 的直径,∴BC⊥AC,∴ AC ? 1 3 ∴S△ABC= AC· BC= , 2 2 1 1 3 1 ∴VC-ABE=VE-ABC= S△ABC· BE= × × 3= .…………………………………(7 分) 3 3 2 2 (Ⅲ)∵DC⊥平面 ABC,BC ? 平面 ABC,∴DC⊥BC. 又 BC⊥AC,且 DC∩AC=C,∴BC⊥平面 ACD. ∵DE∥BC,∴DE⊥平面 ACD.……………………………………………………(10 分) 又 DE ? 平面 ADE,∴平面 ACD⊥平面 ADE.……………………………………(12 分) (19)解:(Ⅰ)由题意可知,当 m ? 0时x ? 1 ,

AB2 ? BC 2 ? 3 ,

?1 ? 3 ? k , 即k ? 2,? x ? 3 ?

2 ……………………………………………….(3 分) m ?1

每件产品的销售价格为 1.5 ?

8 ? 16 x 元, x

y ? x(1.5 ?

8 ? 16 x ) ? (8 ? 16 x ? m) x 2 16 ? 4 ? 8 x ? m ? 4 ? 8 ? (3 ? ) ? m ? 28 ? ( ? m)( m ? 0) .……………(5 分) m ?1 m ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, y ? 28 ? (

16 ? 16 ? ? m) ? ?? ? (m ? 1)? ? 29 ,…………………(8 分) m ?1 ? m ?1 ?

? m ? 0, ?

16 ? (m ? 1) ? 2 16 ? 8, y ? ?8 ? 29 ? 21 . ? m ?1 16 ? m ? 1 ,即 m=3 时,ymax=21. 当且仅当 m ?1

所以该企业 2012 年投入的广告费用为 3 万元时,企业的年利润最大,最大利润为 21 万元.…………………………………………………………………………………(12 分) (20)解:(Ⅰ)方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5-5m,当 5-5m>0 即 m<1 时,此方程表示 圆.……………………………………………………………………………………(4 分) (Ⅱ)当 m=0 时,曲线 C 的方程为 x2+y2-4x+2y=0. ①当直线 l 斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=0, 可求得 A(0,0),B(0,-2),|PA|=|AB|,满足题意.………………………………(6 分) ②当直线 l 斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+2,A(xA,yA),B(xB,yB), 联立得 ?

? y ? kx ? 2 ,消去 y 得(1+k2)x2+(6k-4)x+8=0, x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 ?

∵|PA|=|AB|,∴A 为 PB 的中点,xB=2xA,

4 ? 6k ? 4 ? 6k ? ? xA ? 3(1 ? k 2 ) ? x A ? xB ? 1 ? k 2 ? ? 由? ,可得 ? , ? x ?x ? 8 ? x2 ? 4 ? A B 1? k 2 ? A 1? k 2 ? ?
5 可得 k=- ,此时 Δ=4(k2-12k-4)>0,故满足题意,∴直线 l 的方程为 5x+12y 12 -24=0. 综上所述,直线 l 的方程为 x=0 或 5x+12y-24=0.…………………………(12 分) (21)解:(Ⅰ) f ( x) ? x ? (证明略) 所 以 , 函 数 f ( x) ? x ?

1 (x∈(0,+∞))在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, x 1 在 (0 , + ∞) 上 不 是 单 调 函 数 , 从 而 该 函 数 不 是 闭 函 x

数.……………………………………………………………………………………(3 分) (Ⅱ)易知 y=-x3 是 R 上的单调递减函数.依题意可得 ? 则 a+b=-(a3+b3), ∴(a+b)[a2-ab+b2+1]=0,而 a2-ab+b2+1= ? a ?

?b ? ?a 3 ( ? ), 3 ?a ? ?b
b? 3 2 ? + b +1>0,∴a+b=0, 2? 4
2

? ?

由( ? )式得 b=-a3=-(-b3)3=b9,解之得 b=-1 或 b=0 或 b=1. 又 b>a,∴a=-1,b=1,所求区间为[-1,1].………………………………… (7 分) (Ⅲ)易知 y=k+ x是[0,+∞)上的增函数,符合条件①.

设函数符合条件②的区间为[a,b],则 ?

?a ? k ? a ,故 a,b 是 x=k+ x的两个不等 ?b ? k ? b

实根,即方程 x2-(2k+1)x+k2=0 有两个不等非负实根,设为 x1,x2.

?? ? (2k ? 1) 2 ? 4k 2 ? 0 ? ? x ? x2 ? 2 k ? 1 ? 0 则? 1 , 2 ? x1 x2 ? k ? 0 ?k ? 0 ?
1 1 0 解得- <k<0,∴k 的取值范围为 ( ? ,) ………………………………………….(12 分) 4 4
1 (22)解:(Ⅰ)连接 PB,依题意知 PB⊥CF,取 PF 的中点 M,连接 BM,则 BM= PF, 2 ∴以 PF 为直径的圆过点 B.…………………………………………………………(5 分)

(Ⅱ)∵BC 切⊙P 于点 B,且 CD=2,CB=2 2, ∴由切割线定理 CB2=CD· CE,得 CE=4,∴DE=2,BP=1.………………… (7 分) 又易证 Rt△CBP∽Rt△CEF,∴EF∶PB=CE∶CB, 得 EF= 2. 在 Rt△FEP 中,PF= PE 2 ? EF 2 ? 3 .………………………………………(10 分) (23)解:(Ⅰ)∵ρ=2cos ?? ?

? ?

??

? = 2cos θ- 2sin θ, 4?

∴ρ2= 2ρcos θ- 2ρsin θ,………………………………………………………(2 分) ∴圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2- 2x+ 2y=0, ………………………………(3 分)

? 2? ? 2? ? ?? y ? ? ? 1 . ………………………………………………(5 分) 即?x ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?
(Ⅱ)方法 1:直线上的点向圆 C 引切线,切线长为
2 2

2

2

? 2 ? 2? ? 2 2 ? ? ?? t? t? ? 4 2 ? ?1 ? 2 ? 2 ? ? 2 2 ……………………… (8 分) ? ? ? ? ? t 2 ? 8t ? 40 ? (t ? 4) 2 ? 24 ? 2 6
∴切线长的最小值是 2 6.…………………………………………………………(10 分) 方法 2:直线 l 的普通方程为 x-y+4 2=0,……………………………………(8 分)

圆心 C 到直线 l 的距离为

? 2+ 2+4 2? 2 ?2 ?
2

=5,

∴切线长的最小值是 52-12=2 6.……………………………………………(10 分) (24)解:(Ⅰ)当 a=6 时,x 应满足|x-1|+|x-5|-6>0, 即|x-1|+|x-5|>6, 设 g(x)=|x-1|+|x-5|,

? 2 x ? 6, x ? 5, ? 1 ? x ? 5, 则 g(x)=|x-1|+|x-5|= ? 4, ……………………………………(3 分) ?6 ? 2 x, x ? 1. ?
所以|x-1|+|x-5|>6 ? ?

?x ? 1 ?1 ? x ? 5 ? x ? 5 或? 或? ? x<0 或 x>6. ?6 ? 2 x ? 6 ?4 ? 6 ?2 x ? 6 ? 6

………………………………………………………………………………………(5 分) (Ⅱ)函数 f(x)的定义域为 R 等价于|x-1|+|x-5|-a>0 对任意 x∈R 恒成立, 由(Ⅰ)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为 4,……………………………………(8 分) ∴|x-1|+|x-5|-a>0 恒成立?(| -1|+|x-5|)min>a, x ∴a<4.……………………(10 分)


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