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直线与方程


直线与方程
一.斜率的概念
定义:在一直线上任取两点 (x1,y1),(x2,y2):当x1不等于x2时,斜率 k=y1-y2/x1-x2,;当x1=x2时,则称直线的 斜率不存在。

二.直线的倾斜角

定义:将一直线绕原点逆时针 旋转角度α,使其与x轴重合, 则称角度α为直线的倾斜角。

思考

:直线的倾斜角和斜率有什么 关系?

? 根据定义,当直线斜 率存在时,k=tanα
直线的倾斜角范围是多少?

【0,π)

三.直线的方程
(1).直线的点斜式方程

y-y0=k(x-x0)

这样的表示有什么 缺陷?

(2).直线的斜截式方程

? y=kx+b

K表示斜率,b表示纵截距

这样的直线不能表示怎样 的直线?(斜率不存在的

直线)

(3).直线的截距式方程
x/a+y/b=1

a表示什么? b呢?

横截距 纵截距

(4).直线的两点式方程
? y-y1/y1-y2=x-x1/x1-x2

这样的表示漏掉了哪些直线?
斜率为0和斜率不存 在的直线

(5).直线的一般式方程
? Ax+By+C=0
注:这种方程可以表示任一直线,但 是,与其他形式的方程相比,一般式 方程中的未知量有三个,利用它求解 时会有些困难,所以要灵活选择各种 方程求解。

小结
? 直线的方程有几种形式?各有

什么优缺点?

例一.已知直线过点(3,5),且斜率 为3,求直线的方程。
? 分析与解:已知一定点和斜率,用点斜式 方程比较简单。

y-5=3(x-3),即y=3x-4

例二.已知直线过一定点P(2,1),且 与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于 A,B两点; (1).求三角形AOB面积的最大值; (2).求OA+OB的最小值; (3).求PA乘PB的最小值.

如图所示

B

.

P(2,1)

O

A

分析与解:涉及到直线的截距问题, 用截距式方程比较合适。
? (1)设直线方程是x/a+y/b=1 ? 因为直线过点P,所以2/a+1/b=1 ? 有基本不等式:2/a+1/b>=2根号 2/ab=1,所以(ab)max=8,即三角形AOB ? 面积最大值为4 .

(2)OA+OB=(a+b)(2/a+1/b) =2+1+a/b+2b/a >=3+2根号2 (3)PA=1/sinα,PB=2/cosα 所以PA乘PB=2/sinαcosα =2/1/2sin2α 什么时候取 >=4
等号?

小试牛刀
? 1.直线L1,k1=1/2,绕远点逆时针方向旋转 45°,得L2,则L2的斜率k2=
2.L过点P(1,1),且与MN相交于M (2,-3)N(-3,-2),k范围是

3.直线x+my-m=0过定点

四.两条直线的平行与垂直
(1).两直线平行
两直线平行的充要条件是k1=k2 或两直线斜率都不存在.

若直线
l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2+B2+C2=0,若两

直线平行,则 若=C1/C2 呢?

A1/A2=B1/B2不等于 C1/C2

(2).两直线的垂直
定理:两直线平行的充要条件是k1k2=-1或一 条直线斜率不存在,另一条为零.

若直线
l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2+B2+C2=0,若两

直线垂直,则
A 1A2+B1B2=0

想一想,为什么?

补充:直线系方程
? 与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是 Ax+By+m=0 与之垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0 经过l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A 2x+B2y+C2=o的交点的直线系方程是: A1x+B1y+C1+a(A2x+B2y+C2)=0
有什么不足呢?

五.两直线的交点
方程组L1,L2 一组 的解 公共点个数 位置关系 一个 相交 无数组 无解 无数个 零个 重合 平行

小试牛刀
? 1.l1:ax+2y+6=0,l2:x+(a-1)y+a^2-1=0 (1)若两直线平行,则a的值是多少;
(2)若两直线垂直,则a的值是多少.

? 2.三角形ABCA(-1,5),B(-2,-1) C(4,7),求BC上中线长即直线AM 的方程.

? 3.求过点A(2,1)关于x-2y+1=0的对 称点坐标.

? 4.求l1:3x-4y+5=0关于l2:x+y+1=0对 称的方程.

5.三角形ABC顶点A(4,-1)两条角平 分线为l1:x-y-1=0;l2:x-1=0;求BC方程.

五.平面上两点间的距离
? P1(x1,x2),P(x2,y2),则P1P2=根号下 (x1-x2)^2+(y1-y2)^2

六.点到直线的距离 ? P(x1,x2),l:Ax+By+C=0,则 ? d=Ax+By+C/根号下A^2+B^2
根据这个公式,能否推导出两条平行 直线的距离公式呢?试一试.

设两条平行直线分别为l1:Ax+By+C1=0; l2:Ax+By+C2=0
? d=C1-C2/根号下A^2+B^2

证明:设P(x0,y0)为l1上任意一点,根
据 平面几何的知识,P到l2的距离即 为两 平行直线的距离 故d=Ax0+By0+C2/根号下A^2+B^2.又因 为Ax0+By0=-C1,所以d=-C1+C2/根号下 A^2+B^2,即C1-C2/根号下A^2+B^2.得证.

小试牛刀
? 1.求A,B两点间的距离. ? (1).A(2,0),B(-2,-3) ? (2).A(3,5),B(-3,3)

? 2.已知A,B两点都在直线y=x-1上,且A,B 两点横坐标之差为根号2,求AB长度.

? 3、若直线l被两条平行线l1:x-y+1=0;l2:xy+3=0所截得的线段的长为根号2,则直线 的倾斜角为 .

4.A(1,2),B(4,4)l:x-y-2=0上,求P坐 标使PA+PB的值最小PA-PB的值最大.
B

A

O

模拟真题体验
? 1. (镇江2012) 直线xcosθ+ysinθ=2与圆 x^2+y^2=4的公共点的个数是 __________.

? 2、(常州2014高三三模)直线y=kx+3与 圆(x-3)^2+(y-2)^=4相交于两点M,N, MN>=2根号3,则的取值范围是 .

3.(常州2014一模)某学校选修羽毛球课程 的学生中,高一,高二年级分别有80名, 50名.现用分层抽样的方法在这130名学 生中抽取一个样本,已知在高一年级学生 中抽取了24 名,则在高二年级学生中应 抽取的人数为

?

4.(常州2014一模)在平面直角坐标系中, 已知圆O:x^2+y^2=16,点P(1,2),M, N为圆O上不同的两点,且满足 PMPN=0.若PQ=PM+PN,则PQ长度的 最小值为

? 5. (苏州2014一模)公差不为零的等差数 列的第二、三及第六项构成等比数列,那 么a1+a3+a5/a2+a4+a6=

? 6.(扬州2014高三一模)已知a,b,c是单位 向量,a垂直于b,则(a+b+2c)乘c的最大值 是


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