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数学实验四题目和答案


一.实验题目 1.(必做题)解微分方程(组)

?d3y d2y dy ? ( 2 ? 1)2 ? ? y2 ? 3 (1) ? dx dx dx ? y(0) ? 0, y '(0) ? 1, y ''(0) ? ?1, ?
(提示可以考虑 x ? [0,20] ,以特解函数及其一阶、二阶导数曲线图形来表示) 解: ①将高阶

微分方程化为一阶微分方程组,设 y1 ? y, y2 ? y? , y3 ? y?? ,则有

?y ? ? y 2 ? 1 ? ? ? y 2 ? y3 ? ? 2 2 ? y 3 ? ? y 3 ? 1? ? y 2 ? y1 ?
②建立函数文件 function dy=myfun(x,y) dy=[y(2);y(3);(y(3)-1)^2-y(2)-y(1)^2]; ③主程序: [x,y]=ode45('myfun',[0,20],[0;1;-1]); plot(x,y(:,1),'*',x,y(:,2),'+',x,y(:,3),'o') %legend('y','y的一阶导数','y的二阶导数'); ④结果
2 1.5 1

0.5

0

-0.5

-1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

注意此题得不到解析解,只能用数值解,解法可参看PPT中数值解例题3 (2)运用数值解手段描述下面常微分方程组在初值 x0 ?[0;0;1e ? 10] 下的相空间的相轨线.

? x1 '(t ) ? ?8 x1 (t ) / 3 ? x2 (t ) x3 (t ) ? ? x2 '(t ) ? ?10 x2 (t ) ? 10 x3 (t ) ? x '(t ) ? ? x (t ) x (t ) ? 28 x (t ) ? x (t ) 1 2 2 3 ? 3
解:①建立函数文件 function dx=lorenz(t,x) dx=[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)]; ②主程序文件 [t,x]=ode45('lorenz',[0,100],[0;0;1e-10]); axis([0 40 -20 20 -20 20]); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)); grid on ③结果
30 20 10 0 -10 -20 -30 20 10 0 -10 -20 -20 20 0 40 60

? dy ? dx ? ?0.01 y ? 99.99 z ? ? dz ? ?100 z (3)求 ? 的数值解,并画出图像 ? dx ? y (0) ? 2, z (0) ? 1 ? ?
解:首先建立 odefun1 .m 如下: function dy=odefun1(x,y); dy=[-0.01*y(1)-99.99*y(2);-100*y(2)]; 然后建立主程序 shiyan2_3.m clc clear close all [x,y]=ode15s('odefun1',[0 100],[2;1]) plot(x,y(:,1) ,'*',x,y(:,2),'r*')
2 1.5

1

0.5

0

结果为

-0.5

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

(4)求下列方程的通解及特解

? x 2 y ''? xy '? ( x 2 ? n 2 ) y ? 0 1 ? ? ?? ? 2 (Bessel 方程,令 n ? ) ?? ? 2 ? y ? 2 ? ? 2, y ' ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
解:求通解的主程序为(syms n) diff_y='x^2*D2y+x*Dy+(x^2-(1/2)^2)*y=0'; y=dsolve(diff_y,'x') 结果为: y=C1/x^(1/2)*sin(x)+C2/x^(1/2)*cos(x) y = (2^(1/2)*C12*cos(x))/(pi^(1/2)*x^(1/2)) + (2^(1/2)*C13*sin(x))/(pi^(1/2)*x^(1/2)) 求特解的主程序为 diff_y='x^2*D2y+x*Dy+(x^2-(1/2)^2)*y=0'; y=dsolve(diff_y,'y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x') 结果为: y =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) y = (2*sin(x)*(pi/2)^(1/2))/x^(1/2) + (cos(x)*(2/(pi/2)^(1/2) - pi/(pi/2)^(3/2)))/(2*x^(1/2)) 2.(必做题)凶杀案作案时间问题:受害者的尸体于晚上 7:30 被发现,法医于晚上 8:20 赶到凶案现 场,测得尸体温度为 32.6℃;一小时后,当尸体即将被抬走时,测得尸体温度为 31.4℃,室温在几个小 时内始终保持 21.1℃。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无罪的,并有证人说: “下午张某一直在办公室 上班,5:00 时打完电话后就离开了办公室” 。从张某到受害者家(凶案现场)步行需 5 分钟,现在的问题 是,张某不在凶案现场的证言能否被采信,使他排除在嫌疑犯之外。 (提示:Newton 冷却定理告诉我们“物 体在介质中冷却速度同该物体温度与介质温度之差成正比” ) 解:首先应确定凶案的发生时间,若死亡时间在下午5点5分之前,则张某就不是嫌疑犯,否则不能将 张某排除。

设 T(t)表示 t 时刻尸体的温度,并记晚上 8:20 为 t=0,则 T(0)=32.6℃,T(1)=31.4℃。假设受害者 死亡时体温是正常的,即 T=37℃(查资料)是要确定受害者死亡的时间,也就是求 T(t)=37℃的时刻,进 而确定张某是否是嫌疑犯。 人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节的功能消失,尸体的温度受外界环境温度的影响。 假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律,即尸体温度的变化律与他同周围的温度差成正比。即 模型:由Newton冷却定理可得一阶线性微分方程模型

? dT ? ?? (Tt ? 21.1) ? ? dt ?T (0) ? 32.6 ?
求解:(1)首先用dsolve求解该方程的解析解 程序: syms lamd sy3d11='DT+lamd*(T-21.1)=0'; T=dsolve(sy3d11,'T(0)=32.6','t') 结果: T =211/10+23/2*exp(-lamd*t) 或 T =23/(2*exp(lamd*t)) + 211/10 (2)求解参数lamd 可以利用初始条件“1小时后,当尸体即将被抬走时,测得尸体温度为31.4℃” 由上式可以得到:31.4=21.1+11.5*exp(-1*lamd) lamd的值为0.11020314013361429463890984998294 (程序:lamd=solve('31.4-21.1-11.5*exp(-1*lamd)=0','lamd') (3)求解t0 当 T=37℃时,有 t=-2.95 小时 (程序:t0=solve('37-21.1-11.5*exp(-0.11*t)','t')) =-2 小时 57 分, 8 小时 20 分-2 小时 57 分=5 小时 23 分。 即死亡时间大约在下午 5:23, 因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。


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