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2014届高三苏教版数学(理)一轮复习创新能力提升 第十四章 第6讲 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析]


第6讲

数系的扩充与复数的引入
分层训练 B 级 创新能力提升

1.(2012· 盐城二模)若复数 z 满足|z-i|=1(其中 i 为虚数单位),则|z|的最大值为 ________. 解析 设 z=x+yi(x,y∈R),则由|z-i|=1,得 x2+(y-1)2=1,由画图可知 |z|的最大值为 2. 答案 2 2 .

(2011· 南京模拟 ) 在复平面内,复数- 3 + i 和 1 - i 对应的点间的距离为 ________. 解析 |-3+i-1+i|=|-4+2i|= ?-4?2+22= 20=2 5.

答案 2 5 y 3.(2013· 启东模拟)已知复数 z=x+yi,且|z-2|= 3,则x的最大值________. y 解析 由|z-2|= 3可得,|z-2|2=(x-2)2+y2=3.设x=k,即得直线方程为 kx -y=0,∴圆(x-2)2+y2=3 的圆心(2,0)到直线 kx-y=0 的距离 d= y ≤ 3,解得 k∈[- 3, 3],即得x的最大值为 3. 答案 3 2|k| k2+1

4.(2010· 苏中六校联考)给出下列四个命题: ①若 z∈C,|z|2=z2,则 z∈R; ②若 z∈C, z =-z,则 z 是纯虚数; ③若 z∈C,|z|2=zi,则 z=0 或 z=i; ④若 z1,z2∈C,|z1+z2|=|z1-z2|,则 z1z2=0. 其中真命题的个数为________个. 解析 设 z = a + bi(a , b ∈ R) , 若 |z|2 = a2 + b2 = z2 = a2 - b2 + 2abi , 则

2 2 2 2 ?a +b =a -b , ? 所以 b=0,所以 z∈R,①正确; ?2ab=0.

若 z=0,则 z 不是纯虚数,②错; 若 a2+b2=-b+ai,则 a=0,b=0 或 b=-1, 所以 z=0 或 z=-i,③错; 若|z1+z2|=|z1-z2|,设 z1=a+bi(a,b∈R), z2=c+di(c,d∈R). 则(a+c)2+(b+d)2=(a-c)2+(b-d)2, 整理得:ac+bd=0, 所以 z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,不一定为零,④错. 答案 1 5.已知 m∈R,复数 z= m?m+2? +(m2+2m-3)i,当 m 为何值时. m-1

1 (1)z∈R;(2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数;(4) z =2+4i.
2 ?m +2m-3=0, 解 (1)由 z∈R,得? 解得 m=-3. ?m-1≠0,

(2)由 z 是虚数,得 m2+2m-3≠0,且 m-1≠0, 解得 m≠1 且 m≠-3.

?m?m+2?=0, (3)由 z 是纯虚数,得?m-1≠0, ?m2+2m-3≠0,
解得 m=0 或 m=-2. m?m+2? 1 1 (4)由 z =2+4i,得 -(m2+2m-3)i=2+4i, m-1 ?m+2? 1 ?mm =2, 所以? -1 ?-?m2+2m-3?=4, 解得 m=-1. 1 6.设 z 是虚数,已知 ω=z+ z 是实数,且-1<ω<2. (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围; (2)设 u= 1-z ,求证:u 为纯虚数; 1+z

?2m +3m+1=0, 即?m≠1, ?m2+2m+1=0,

2

(3)求 ω-u2 的最小值. (1)解 因为 ω∈R,所以 ω =ω,所以 z + 1 z 1 =z+ z ,

1 ? ? 即(z- z )?1-z z ?=0,因为 z 为虚数,所以 z≠ z . ? ? 所以 z z =1,从而|z|2=1,即|z|=1. 设 z=a+bi(a、b∈R), ∵|z|=1,∴a2+b2=1, a-bi 1 1 ∴ω=z+ z =a+bi+ =a+bi+ 2 =2a. a+bi a +b2 1 ∵-1<ω<2,∴-1<2a<2,∴-2<a<1. ? 1 ? 即 z 的实部取值范围是?-2,1?. ? ? (2)证明 1 (1)因为 z z =1,所以 z = z . 1-z 1-z 1-z z-1 + = + = + =0,且 u≠0,所以 u 1 1+z z+1 1+z 1+ z 1+z 1+ z 1- z 1 1- z

所以 u+ u =

为纯虚数. (3)解 由(2)可设 u=ti(t∈R 且 t≠0),

1-z 1-ti 则由 =ti,得 z= , 1+z 1+ti 1 1-ti 1+ti 2?1-t ? 2 所以 ω=z+ z = + = ,u =-t2, 1+ti 1-ti 1+t2 2?1-t2? 2 4 2 所以 ω-u2= -3 2 +t =1+t + 1+t 1+t2 ≥2 4 ?1+t2?· 2-3=1, 1+t
2

当且仅当 t2+1=2,t=± 1 时等号成立, 故 ω-u2 的最小值为 1. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设

计· 高考总复习》光盘中内容.


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