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教师版空间几何体知识点及题型精选总结


立体几何初步
本章知识结构与体系
立体几何体知识点: (1)空间几何体 (2)点、直线、面的位置关系 (3)空间直角坐标系 (1)空间几何体的知识点:

(2)点、直线、面的位置关系:

(3)空间直角坐标系:

一、空间几何体

知识点梳理:
一、常见空间几何体定义:
1 .棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱,(1) 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱,直棱柱的 侧棱即为棱柱的高.(2) 底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱,两底面中心的连线即为棱柱的 高. 2 .棱锥:有一个面是多边形 ,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几 何体叫做棱锥.(1) 如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点与底面中心的连线垂直于底面, 这样的棱锥称为正棱锥.正棱锥具有性质:①正棱锥的顶点和底面中心的连线即为高线;②正 棱锥的侧面是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,叫做这个正棱锥的斜高. (2) 底边长和侧棱长都相等的三棱锥叫做正四面体. (3) 依次连结不共面的四点构成的四边形叫做空间四边形. 3 .棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,叫做棱台. 4 .圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做 圆柱. 5 .圆锥:以直角三角形 的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成 的几何体叫做圆锥. 6 .圆台:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台. 7 .球:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球.

二、空间几何体的三视图和直观图
空间几何体的三视图是用平行投影得到,这种投影下,与投影面平行的平面图形留下的影 子,与平面图形的形状和大小是全等和相等的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图. 注:1、球的三视图都是圆,长方体的三视图都是矩形. 2、圆柱的正视图、侧视图都是全等矩形,俯视图是圆. 3、圆锥的正视图、侧视图都是全等的等腰三角形,俯视图是圆及圆心. 4、圆台的正视图、侧视图都是全等的等腰体性,俯视图是两个同心圆。 表示空间图形的平面图形 ,叫做空间图形的直观图.可用 观图 二、简单几何体的表面积与体积 知识点梳理:1.旋转体的表面积 (1) 圆柱的表面积 S =2πr2+2πrl( 其中 r 为底面半径,l 为母线长) . (2) 圆锥的表面积S =πr2+πrl(其中r 为底面半径,l 为母线长) . (3) 圆台的表面积公式 S = r ? r ? r l ? rl 其中 r′ 、r 为上、下底面半径,l 为母线长) .
'2 2 '

斜二测画法画空间图形的直

(4) 球的表面积公式S =4π R ( 其中R 为球半径) . 2.几何体的体积公式 (1)柱体的体积公式 V=Sh(其中 S 为底面面积,h 为高). 1 (2)锥体的体积公式 V= Sh(其中 S 为底面面积,h 为高). 3 1 (3)台体的体积公式 V= (S+ SS′+S′)h(其中 S′、S 为上、下底面面积,h 为高). 3 4 3 (4)球的体积公式 V= π R (其中 R 为球半径). 3

2

题型总结: 一、空间几何体题型精选讲解
题型一 空间几何体的基本概念的考察
1、下列命题中正确的是 ( ) A .以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B .以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆台 C .圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 D .圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形的半径等于圆锥底面圆的半径 解析:A 符合圆锥的定义.B 不符合圆台的定义.C 中圆柱、圆锥、圆台的底面是圆面,不是 圆.D 中圆锥的侧面展开图为扇形,扇形的半径等于圆锥的母线长.所以选 A. 答案 :A

题型二

三视图的考察
)

1、(2009· 海南、宁夏) 一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积( 单位:cm2) 为(

A.48+12 2 B.48+24 2 C.36+12 2 D.36+24 2 解析:根据三视图可知,这个三棱锥的一个底面为等腰直角三角形、一个侧面垂直于底面.其 直观图如图所示, 其中 PD⊥ 平面 ABC, D 为 BC 中点, AB⊥ AC, ED⊥ AB.连结 PE, 由于 AB⊥ PD, AB⊥ DE,故 AB⊥ PE,即 PE 为△PAB 的底边 AB 上的高.在直角三角形 PDE 中,PE=5,侧 1 1 1 面 PAB,PAC 的面积相等,故这个三棱锥的全面积是 2× × 6× 5+ × 6× 6+ × 6 2× 4=48+12 2. 2 2 2 故选 A.

答案:A 2、(2011· 辽宁) 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它的三视图中的俯视 图如下图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是( )

A.4 B.2 3 C.2 D. 3 解析:设正三棱柱底面边长为 a,利用体积为 2 3,容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱 长都是 2,所以底面正三角形的高为 3,故所求矩形的面积为 2 3. 答案:B

题型三

平面图的直观图(斜二测面法)
( )

1、如图所示的直观图,其平面图形的面积为

3 2 B. C.6 D.3 2 2 解析:由斜二测作图法,水平放置的△OAB 为直角三角形,且 OB=2O′B′=4,OA=O′A′=3, 1 则 S= × 4× 3=6. 2 答案:C 2、如图所示为一平面图形的直观图,则这个平面图形可能是 ( ) A.3

解析:由平行于 x、y 轴的直线仍然平行知 C 正确. 答案 :C

题型四

其他类型:展开、投影、截面、旋转体等

1、面积为 3的等边三角形绕其一边中线旋转所得圆锥的侧面积是________. l 解析:设等边三角形的边长为 l,则旋转所得的圆锥的母线长为 l,底面圆的半径为 ,如图 a, 2 3 1 图 b.因为 S 正三角形= 3,所以 l2= 3,即 l=2.所以圆锥侧面积为 S 侧= πl2=2π. 4 2

答案 :2π 2、 如图,长方体 ABCD -A1B1C1D1 中,交于顶点 A 的三条棱长分别为 AD =3 ,AA1 = 4 ,AB =5 ,则从 A 点沿表面到 C1 的最短距离为 ( )

A.5 2 B. 74 C.4 5 D.3 10 解析:长方体可分别沿三条边 B1B、A1B1、BC 展开,展开后为三个不同矩形,对角线为最短 距离,分别为 4 5, 74,3 10,因此,此题选 B. 3 、已知半径为 5 的球的两个平行截面的周长分别为 6π 和 8π ,则两平行截面间的距离为 ( ) A .1 B .2 C .1 或 7 D .2 或 6 解析:由截面周长为 6π 和 8π,知两截面圆半径分别为 3 和 4,所以两截面可在某条直径的同侧 或异侧. 同侧时,所求距离为 52-32- 52-42=1; 异侧时,所求距离为 52-32+ 52-42=7.

二、简单几何体的表面积与体积题型精选讲解
题型一 与三视图相结合
1、(2010·天津) 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为________

解析:由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形,由正视图和俯视图可知该几何体的高为 1, 1 结合三个视图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱,所以该几何体的体积为 (1+2)× 2× 1 2 =3. 2、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如下,若图中圆的半径为 1,等腰 三角形的腰长为 5,则该几何体的体积是:

4π A. B.2π 3 8π 10π C. D. 3 3 解析:这个几何体是一个底面半径为 1,高为 2 的圆锥和一个半径为 1 的半球组成的组合体, 1 1 4 4π 故其体积为 π×12×2+ × π×13= . 故选 A 3 2 3 3

题型二 内接与外接的知识
1 、 (2008· 福建 ) 若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 ________. 解析:考查空间想象能力和创新能力.以已知三棱锥的三个侧面为侧面,可作一个棱长为 3的 正方体.已知三棱锥的外接球即为正方体的外接球,易求半径和表面积.

? 2R ?

2

?

? 3? ? ? 3? ? ? 3? , R
2 2 2

2

?

9 4

S ? 4? R 2 ? 9?

2、(2011· 全国新课标)已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球 3 面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者 16 的高的比值为________. 解析:本题考查球内接圆锥问题,属于较难的题目.

?r 3 3 r 3 R R ? 由圆锥底面面积是这个球面面积的 ,得 所以 = ,则小圆锥的高为 R- = , 2 16 R 2 2 2 4? R 16 1 3R 1 大圆锥的高为 R+ R= ,所以比值为 . 2 2 3
2

题型三

表面积与体积综合问题

1、(2010· 全国)已知正四棱锥 S-ABCD 中,SA=2 3,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 ( ) A.1 B. 3 C.2 D.3 2 ? 2a?2= 12-a . 解析:设底面边长为 a,则高 h= SA2- 2 ? 2 ? 1 1 所以体积 V= a2h= 3 3 1 12a4- a6. 2

1 设 y=12a4- a6,则 y′=48a3-3a5, 2 当 y 取最值时,y′=48a3-3a5=0, a2 12- =2. 2 2、如图,一个几何体的正视图和侧视图是腰长为 1 的等腰三角形,俯视图是一个圆及其圆心, 当这个几何体的体积最大时,圆的半径是 ( ) 解得 a=0(舍去)或 a=4 时,体积最大,此时 h= A. 3 3 1 B. 3 C. 6 3 2 D. 3

解析:本题考查三视图及锥体的体积计算.设底面半径为 r,高为 h,又 r2+h2=1, 1 1 1 则 V= Sh= πr2h= π(1-h2)h, 3 3 3 当 h= 3 6 ,即 r= 时,体积最大,故选 C. 3 3

补充知识:
1.平行于棱锥底面的截面的性质 棱锥与平行于底面的截面所构成的小棱锥,有如下比例性质:

S小锥底 S小锥全面积 S小锥侧 = = =对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方 S大锥底 S大锥全面积 S大锥侧 之比.
注:这个比例关系很重要,在求锥体的侧面积、底面积的比时,会大大简化计算过 程;在求台体的侧面积、底面积的比时,将台体补成锥体,也可应用这个关系式. 2.有关棱柱直截面的补充知识 在棱柱中,与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面,正棱柱的上、下底面就是直截面.棱 柱的侧面积与截面周长有如下关系: S棱柱侧 =c直截l( 其中c直截 、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长) . 3.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算 (1) 圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积,因此弄清侧面展开 图的形状及侧面展开图中各线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决相关问题的 关键. (2) 计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件求出相应的底面面积和高,要充 分利用多面体的截面及旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题.


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