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空间几何体的直观图


1.2.3 空间几何体的直观图 【学习目标】1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图. 2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图. 【重点难点】1.通过斜二测画法画空间几何体的直观图,增强空间图形的立体感,从而能根 据直观图结构,想象实物的形象.(重点) 2.水平放置的平面图形与其直观图的转化及三视图与直观图间的转化.(难点) 【新知探究】 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)画轴:在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O.画直观图时,把它们 分别画成对应的 x′轴与 y′轴,其交点为 O′,且使∠x′O′y′=45° (或 135° ),它们确定 的平面表示水平面. (2)画线: 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段, 在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′ 轴的线段. (3)取长度:已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的 线段,长度为原来的一半. 温馨提示:(1)在已知图中建立直角坐标系,理论上是在任何位置建立坐标系都行,但实 际作图时,一般建立特殊的直角坐标系,尽量用原有直线为坐标轴,图形的对称直线为坐标 轴,图形的对称点为原点,利用原有垂直正交的直线为坐标轴等. (2)画出一些关键线段或一些关键点,其中与坐标轴平行的线段在直观图中依然与坐标轴 平行,原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连接,画端点时作坐标轴的平 行线为辅助线.原图中的曲线段可以通过取一些关键点,利用上述方法作出直观图中的相应 点后,用平滑的曲线连接而画出. 2.立体图形直观图的画法 画立体图形的直观图,在画轴时,要多画一条与平面 x′O′y′垂直的轴 O′z′,使 ∠x′O′z′=90° ,且平行于 O′z′的线段长度不变. 温馨提示:(1)三视图与直观图的区别:三视图在工程制图中被广泛采用,且线段的长度 有严格的规定,主要是平行投影中的正投影的直观性较差,而绘制物体的直观图一般采用斜 投影或中心投影,可以显示空间几何体的直观形象,但作图复杂,且线段的长度不如三视图 要求严格. (2)三视图与直观图的联系:空间几何体的三视图与直观 图有着密切的联系.三视图能帮助人们从不同侧面和不同角度认识几何体的结构特征, 直观图是对空间几何体的整体刻画,我们可以根据直观图的结构来想象实物的形象,同时能 由空间几何体的三视图得到它的直观图,也能够由几何体的直观图得到它的三视图. 探究点 1 如图(1)在平面直角坐标系 xOy 中,已知线段 AB 的端点 A(-1,2),B(2,-2), 试在给出的如图(2)坐标系 x′O′y′中(画出)它的直观图(不写画法)

提示

1

探究点 2 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(

).

提示 A,B 的正视图不符合要求,C 的俯视图显然不符合要求,答案选 D. 【题型探究】 类型一 画水平放置的平面图形的直观图 【例 1】 用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图. [思路探索] (1)以正五边形的中心为原点,一边的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系 (2)相邻两边不与坐标轴垂直的边的顶点可通过该顶点作轴的平行线来确定其在直观图 中的位置. 解 (1)如图①所示,在已知的正五边形 ABCDE 中,取正五边形的中心 O 为坐标原点, 对称轴 FA 为 y 轴,过点 O 与 y 轴垂直的直线为 x 轴,分别过点 B、E 作 BG∥y 轴,EH∥y 轴,与 x 轴分别交于 G、H,画对应的轴 O′x′、O′y′,使∠x′O′y′=45° .

(2)如图②所示,以点 O′为中点,在 x′轴上取 G′H′=GH,分别过 G′、H′在 x′ 1 1 轴的上方作 G′B′∥y′轴,H′E′∥y′轴,并使 G′B′= GB,H′E′= HE;在 y′ 2 2 1 1 轴上 x′轴的上方取 O′A′= OA,在 x′轴的下方,取 O′F′= OF,并以点 F′为中点 2 2 画 C′D′∥x′轴,且 C′D′=CD. (3)连接 A′B′, B′C′, C′D′, D′E′, E′A′, 所得的五边形 A′B′C′D′E′ 就是正五边形 ABCDE 的直观图,如图③所示. [规律方法] (1)建立平面直角坐标系的原则是让尽可能多的点落在坐标轴上或与坐标轴 平行的直线上,建系不同,画出直观图形状可能不同. (2) 注意 x′ 轴 y′ 轴的夹角为 45° ( 或 135° ) 且两单位一致把 xOy 中的线段转换到 x′O′y′中的线段时, 平行于 x 轴的线段长度不变, 平行于 y 轴的线段长度变为原来长度的 一半,是斜二测画法的根本. (3)要掌握非特殊顶点的确定方法,如本例中的 B、E 两点在 x′O′y′中对应点的确定 方法. 【活学活用 1】 用斜二测画法画如图所示边长为 4 cm 的水平放置的正三角形的直观图.

2

解 轴.

(1)如图①所示,以 BC 边所在的直线为 x 轴,以 BC 边上的高线 AO 所在的直线为 y

(2)画对应的 x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45° . 1 在 x′轴上截取 O′B′=O′C′=OB=OC=2 cm, 在 y′轴上取 O′A′= OA, 连接 2 A′B′,A′C′,则三角形 A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图,如图②所示. 类型二 由直观图还原平面图形

【例 2】 如图,一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平 面图形的面积为( ). 2 2 A. a B.2 2a2 C.a2 D.2a2 4 [思路探索] 关键计算出 O′B′在平面直角坐标系中对应线段的长度,O′B′= 2a, OB=2 2a.

解析 由直观图还原出原图,如图, 所以 S=a· 2 2a=2 2a2. 答案 B [规律方法] 由直观图还原平面图形关键有两点: (1)平行 x′轴的线段长度不变,平行 y′轴线段扩大为原来的 2 倍; (2)对于相邻两边不与 x′、 y′轴平行的顶点可通过作 x′轴, y′轴平行线变换确定其在 xOy 中的位置.

【活学活用 2】 (2012· 温州高一检测)一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯 形 OA′B′C′的面积为 2,则原梯形的面积为( ). A.2 B. 2 C.2 2 D.4 解析 如图,由斜二测画法原理知, 原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的, 不一样的是两个梯形的高

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原梯形的高 OC 是直观图中 OC′长度的 2 倍,OC′的长度是直观图中梯形的高的 2倍 由此知原梯形的高 OC 的长度是直观图中梯形高的 2 2倍, 故其面积是梯形 OA′B′C′ 面积的 2 2倍,梯形 OA′B′C′的面积为 2,所以原梯形的面积是 4. 答案 D 类型三 空间几何体的直观图 【例 3】 如图所示,由下列几何体的三视图画出直观图.

[思路探索] 据三视图可知几何体为正五棱柱,按画立体图形直观图的画法步骤即可. 解 (1)画轴.画 x′轴、y′轴和 z′轴,使∠x′O′y′=45° (或 135° ),∠x′O′z′= 90° ,如图①所示.

(2)画底面.按 x′轴、y′轴画正五边形的直观图 ABCDE. (3)画侧棱.过点 A、B、C、D、E 分别作 z′轴的平行线,并在这些平行线上分别截取 AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正视图的高. (4)成图,顺次连接 A′、B′、C′、D′、E′,去掉辅助线,改被挡部分为虚线,如 图(2)所示. [规律方法] 画立体图形的直观图关键是正确画其底面的直观图,然后再确定不在底面 上点的位置. 【活学活用 3】 一个机器部件,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底 面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为 3 cm,高为 3 cm,圆锥的高为 3 cm,画出此机 器部件的直观图. 解 这个几何体(部件)是一个简单的组合体,可以先画出下面的圆柱,再画出上面的圆 锥. 画法:(1)画 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45° ,∠xOz=90° . (2)画圆柱的两底面.按 x、y 轴画出底面⊙O,使直径为 3 cm,在 z 轴上截取 OO′,使 OO′=3 cm,过 O′作 Ox 的平行线 O′x′,Oy 的平行线 O′y′,利用 O′x′与 O′y′ 画出底面⊙O′,使其直径为 3 cm. (3)画圆锥的顶点.在 z 轴上画出点 P,使 PO′等于圆锥的高 3 cm. (4)成图.连接 A′A、B′B、PA′、PB′,擦去辅助线,得到此几何体(部件)的直观图, 如图所示.

4

易错辨析 直观图还原平面图形易发生的错误 【示例】 已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为 a 的正三角形,求原△ABC 的面积________. [错解] 如图①, 1 3 法一 S△ABC= B′C′· A′O= a2. 2 4 6 1 6 6 法二 O′A′= a,∴S△ABC= a× a= a2 2 2 2 4 [错因分析] 错解中法一,误把 A′D′作为△ABC 的高,属于不理解画法,思维混乱. 错解法二,虽然计算出了 O′A′,忽略△ABC 的高,OA=2O′A′,属不能正确变换 或粗心马虎所致. [正解] 平面直观图及实际图形分别如图①②.

取 B′C′所在直线为 x′轴,以过 B′C′的中点 O′且与 x′轴正方向成 45° 角的直线 为 y′轴.过 A′点作 A′N′∥O′x′,交 y′轴于 N′点,过 A′点作 A′M′∥O′y′, 3 交 x′轴于 M′点, 连接 O′A′, 则在 Rt△A′O′M′中, 因为 O′A′= a, ∠A′M′O′ 2 3 6 6 =45° ,所以 M′O′=O′A′= a,故 A′M′= a.所以 O′N′= a.在平面直角坐 2 2 2 a 标系中,在 x 轴上 O 点左、右两侧分别取点 B、C,使 OB=OC= ,在 x 轴上 O 点左侧取点 2 3 M,使 OM= a,在 y 轴上 O 点上方取点 N,使 ON= 6a,分别过 M、N 作 y 轴、x 轴的平 2 1 6 行线相交于点 A,连接 AB、AC,则△ABC 即为原图形.显然 S△ABC= a· 6a= a2. 2 2 [防范措施] (1)理解平面图形直观图的画法,能正确地进行平面图形与直观图的相互转 换,特别是 y′轴上或与 y′轴平行的线段长度回复到平面图形时才与 x 轴垂直,但长度需加 倍. 2 (2)S 直观图= S 平面图形. 4 【拓展提升】 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法错误的是( ). A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直 C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点 解析 根据斜二测画法,原来垂直的未必垂直. 答案 B

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2 . (2013· 聊城高一检测 ) 如图所示为一个平面图形的直观图,则它的实际形状四边形 ABCD 为( ). A.平行四边形 B.梯形 C.菱形 D.矩形 解 析 因 为 ∠D′A′B′ = 45° , 由 斜 二 测 画 法 规 则 知 ∠DAB = 90° ,又因四边形 A′B′C′D′为平行四边形,所以原四边形 ABCD 为矩形. 答案 D

3.(2012· 嘉兴高一检测)如图,平行四边形 O′P′Q′R′是四边形 OPQR 的直观图,若 O′P′=3,O′R′=1,则原四边形 OPQR 的周长为________. 解析 由四边形 OPQR 的直观图可知原四边形是矩形,且 OP=3,OR=2,所以原四边 形 OPQR 的周长为 2×(3+2)=10. 答案 10

4.如图所示的直观图△A′O′B′,其平面图形的面积为________. 解析 由直观图可知其对应的平面图形 AOB 中 ∠AOB=90° ,OB=3,OA=4, 1 ∴S△AOB= OA· OB=6. 2 答案 6

5.圆的直观图是椭圆(用正等测画法,较复杂一般不预介绍),请借助椭圆画板(如图)画 出一个圆柱,一个圆锥的直观图.(尺寸自定,不写画法) 解

【课堂小结】 1. 斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁, 可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联 系;在求直观图的面积时,可根据斜二测画法,画出直观图,从而确定其高和底边等,而求 原图形的面积可把直观图还原为原图形. 2.在用斜二测画法画直观图时,平行线段仍然平行,所画平行线段之比仍然等于它的真 实长度之比,但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.

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