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对一道圆内接正三角形问题的解法探究


2 0 1 5 年第 4 期 

数 学教 学 

一  

对 一 道 圆 内接 正 三 角形 问题 的解 法探 究 
2 0 0 0 2 3 上海市黄浦 区教育 学院 徐庆 惠  

原题 如 图 1 ,已知 正三 角 形 ABC边 长  为a , 点 P为 AABC外接 圆上一 点, 记 AAP B   与 AA PC的面积分别 为 S l 、   , 求S l +   的  最大值 .  

Pc ? AC   s i n   =   。 ( P B +P c) s i n   =  

去  i n   2 0 ( 0 <   <   ) .  
当  :   时, S 1 +   取 到最大值 百 a z
.  

解法 l ,   角法~ 正弦定理) :  

}  ̄ Z A B P :   f 0 < 0 <  ) , 根 据 同 弧 所  
对 圆周角相等, 得到 Z A CP: 0 .  
APBC  ̄ P, ZPB C =  +  , ZPC B = 

图1  

吾 一   , 由 正 弦 定 理 , 得   冬  = :  



题 目简析: 本题 的主题干 是一个 圆和 其 内  

接 正三 角形.从 图形上 看, 似一 个初 中的几 何 
问题, 从 设 问上看, 求两 个三 角形 面积和 的最  大 值, 是一个建 立函数关 系式 并求其最值 的 问  
题.  

一   墨一 =   丁  。 , - T - : P a   P B = 一  


笔 者从不 同的角度对 该 问题进行 求解 , 供 
大 家 参考 指 正 .  

( 三 一   ) , P C =   n (   ) .   I  ̄ I i L   P B + P C =   n (   一   ) +   n   s i n ( 吾 +   ) = 2 a c o s   , 下 同 解 法 、 1   .
解法简 析: 由于本题 的设 问是和三 角形面  积 的最 值有关 , 因此 该 问题涉及 高 中阶段解斜  三 角形和 三角 函数 的相 关知识 .求解 时, 首先 

解法 l ( 三角法一 余弦定理) :  

设Z A B P=0 ( 0 <0 <  ) , 根据同 弧所  
对 圆周角相等, 得到  P =0 .   在 AA PB中, 由余 弦定理 , 得A p 2 =  B  
+ PB2 — 2.  B. PB . C O S   0 , 即 

要设定一个 自变量, 在三角问题 中通常 以角作 
为 自变量, 然后建 立该角和三 角形面积 的函数  关系, 在 此过程 中需要 建立边 和角 的关 系,自   然就会利用 余弦定理或 正弦定理进 行转化, 最  后利用三 角函数 的有界性求得最值.  

P 2 =n   +P B2 —2 0. P  . C O S   0 , … …①  在 AA PC中,由余 弦 定 理, 得A P2 :A C  +  
pC2 — 2. AC . PC . C O S   0 , 即 

P 2 :n   +pC 2 —2 a. PC. C O S   0 , ……. ②  ①一 ② 得 
0 = p B 2— —p C2— —2 a. PB . C O S   0一 -2 a.   P C C O S   0 .  

解法 2 ( 解析法) :   如 图2 ,以三角 形外接 圆的 圆心 刀 '坐 A,   - : 原 

点, 平行于B C的直线为 轴, 建立平厘直角  

整 理得,  
PB + PC : 2 aC O S   0 .  
1   1  

坐 标 系 , 有   ( 0 , - -   5 - 口 ) 、  ( 一   (   - 们 K n ) .  
于 是 可 得 圆方 程 为  +  2: 百 a 2


。 ) 、  
直 线 

于是s 1 +   =言? P B?  B   s i n   0 +言?  



3 2  

数 学款 学 
的 
=  

2 0 1 5 年第 4 期 


B 的 方程 为  x-y+  n: 0 , 直 线 

1 ( 一2   c o s   a 一   a 2   s i n   a + 百 v / 3 “ 2 ) .  
于 是  +   =一   a 2  
c。s  

: y ̄

4 5 - x+y-   。-0 .  
J  

『 l  

(   <   <  ) ,  

0 

当  = 丌时,  1 +   取到最大值  .   解法简析 : 本解法是解析几何 的基本方法,  
,  

p  

”  

、  \ \  
图2  

即 建 立 平 面 直 角 坐 标 系, 将几何的“ 形” 转 化  为“ 数” , 即坐 标来求解 .因为本 题 中的点 P是  圆 上 一 点,所 以 利 用 圆 的 参 数 方 程 将 其 坐 标  设成 关 于 角 的函 数.此 后解 法 2   中所用 到 的  知识 点为直线方程 、点到直线 的距 离公式 , 解  法2 是直接根据 三角 形各个顶 点的坐标  利 用  行列式求三角形面积.  

一 (
0  



.  

1  



设 点 P 的坐 标 为 
3  

C OS   0 6-

 ̄ - a   s i n a ) ( 三 <   <   百 ) J . ‘   解 法 3( 几何法) :   如 图3 ,在 A d上 取 点 P   ,使 得 P A =   记   l =   一 a   c o s  ̄ - - -    ̄ - a   s i n   a + 乎 。 )   PA' , 连 结  P  、CP  , 易 证 AAPB ̄AAP  C,  
PP   / / sc, / AQ P =Z CQ P   =  .  
.  

因 此 s 1 +  =   A B -   1 + 去 A C .  :  
): 一   2 。
cos   a

当  : 7 r 时,  1 +   取到最大值  a 2
.  

(  < Q <  ) ,  
图3   分 别 过 P、 P  作 AC 的 垂 线 ,点 D 、 E 为 

解 法2   f 解 析 法一 行 列 式 三 角 形 面 积 公 
式1 :  

垂足.  

设 P (   …, T  ̄ a s i n a ) 、   ( 。 ,  。 ) 、  

在 直角 三角 形 PDQ 中, PD = P Q   s i n  
:  

B ( _ _ a j 一  n ) 、  ( . a   广 。 ) .  

在 直 角 三 角 形 P   Q 中 , 尸   E : P   Q   s i n 吾  
:  

尸, Q.  

于 是 s 1 +   = 去 A C ? P   E + 丢  ? P D =  
。×   (   +PQ) =   。   , P P   为 
直径时, S 1 +  取 到 最 大 值 .  

。  
1  
2  

百 , / 5

由正三 角 形 A BC边 长 为 a , 可得 其 外 接 
1  

n  

圆半径为 了 , / 5
2   a2  

n , 故s l +   的 最 大 值 为 

n×  

… s   丁 , / 5   了  丁  n   l  
a 

丁 口= = =   ‘  
一  

2  

6   。  

生  4 塑 
一  

数学教学  
’   其中X n + 1: X 1 .  

。 4 9  

—o , 或 

L   Y  c ;  

【 Y : = = 一 a ‘  

( 0 5 0 0 4 8 河北省石 家庄  王玉怀供题)  
9 4 3 . 如图3 ,在 椭 圆  x 2+  


故 由三 交 点确 定 的 圆 当 a c= 1 时 过 一 

个定点 ( 0 , c ) ;当 a c≠ 1 时经 过两 个不 同的定 

1 ( a>  

点( 0 , c ) 及( 0 ,  ) .  
2 0 1 4 年第 4期 问题 
9 4 1 .   过 圆A B弦 上 任 一 点 C,作 两 弦  DE、FG, 若 B 点 的切 线 与 DE、FE、DG、   F G 的 延 长 线 分 别 交 于 点 、   、   、   图2 ) , 求证:丽 1 + 1 =丽 1 + 1 f 如 

b> 0 ) 中, 点 尸为不 同于椭 圆顶 点的动 点, 直  线A C与 P B相 交 于 点  , 直线 C P与 X 轴 相  交 于 点 Ⅳ, 求证 :   1   一面 1  =   a
.  

KM N 

RPC 

b  

M 

C 





. 



 

\ \ \  
图3  

一 :  

/  
D 

\ \  
题1  

( 2 7 1 4 0 0   山东 宁阳第 一 中学

刘 才 华 供 

\\  \ \  

\ \  

9 4 4 . 函数 f ( x 1 的定义域 M , 存在常数 C>  

/ 

0 , 当 X∈ M 时 X+C∈ M .另有整 数 n ≥ 3 ,  

使. 厂 ( z ) +f ( x+2 c ) =2   C O S   f ( x+c ) 对于所 
有 的 X∈M 都成立. 求证: f ( x ) 是周期 函数 .   f 2 1 0 0 4 8 南 京 市大 厂 街道 葛 关 路 6 1 6 号  扬子 2 1 村7 幢2 0 1 号  薛 大庆供题1  
图2  

( 3 3 5 0 0 0 江 西师 大鹰 潭学 院
题)  

王 建 荣供 

9 4 5 .已知 空 间一 点 P 到 正 △A  三 个 顶  点的距离分别 为 PA= 1 , PB =   , P C:2 ,  

求i E :1≤ J A BI ≤  

, 当 且 仅 当 P点位 于 
邬天 泉 

9 4 2 .   设 佗 ∈ N  ,几 ≥ 2 ,0 ≤ X i≤ 1 ,   求证 :  n
n 
…  
一  

△AB   所 在 平 面 上 时 取等 号 .  

≤ 

f 3 1 8 0 1 5 浙 江 台州 市椒 江 中学 供题1  

( 上接 第4 — 3 2 页)   解 法 简 析 :本 解 法 借 助 几 何 中 的 对 称 性 ,  

利 用 三角 形相 似和 锐 角三 角 比进 一 步转 化为 
求 PP  的 最 大 值 ,显 然 当 PP  为 该 圆 的 直 径  时, 两 个 三 角 形 面 积和 取 到最 大 值 .  

将 两个 有 部分 重 叠 的三 角 形通 过对 称 性转 化  为 以正三 角形 一条 边 为公共 底 边 的两 个三 角  形, 于 是 这 两 个 三 角 形 就 没 有 重 叠 部 分 .通 过  这 一 作 法 使 得 所 求 的 两 个 三 角 形 有 公 共 的底  边, 且为定值, 于是利用这条 边作为底边, 分别  在两 个三 角 形 内作 出该 边上 的 高 P  E和 PD,   至 此 ,已将 问题 转 化 为求 P  +J F ) D 的最 大 值 .  

几何 图形 中 的问题 可 以涉 及 的知 识点 很  多, 在 初 中阶 段 以几 何 图形 “ 形” 的特 征 为主 ,   在 高中阶段则会将 其转化 为“ 数” 进行求解 , 解  法各 有千秋 .总之, 要善 于将数 与形有机地 结  合, 多角度地 思考和解决 问题.  


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