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高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.2知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修2-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用

一、学习任务 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义;会用待定系数法求平面的法向量. 2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系. 3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);能用向量方法判断 一些简单的空间线面的平行和垂直关系. 4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题;体会向量方法在研究几何问题中的 作用.

二、知识清单
异面直线所成的角 空间向量的应用 线面角 二面角

三、知识讲解
1.异面直线所成的角 描述: 设直线 a, b 是异面直线,过空间一点 O 分别作直线 a, b 的平行线 a′ , b ′ ,我们把直线 a′ , b ′ 所成的锐角或直角叫做异面直线 a, b 所成的角,或异面直线 a, b 的夹角. 例题: 如图,在正方体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 中,求: (1)异面直线 AB 与 A 1 D 1 所成的角; (2)AD 1 与 DC1 所成的角.

解:(1)因为 A 1 B 1 ∥ AB,而 A 1 D 1 ⊥ A 1 B 1 ,所以 A 1 D 1 ⊥ AB ,即 AB 与 A 1 D 1 所 成角为 90? . (2)如下图,连接 AB 1 ,B 1 D 1 ,因为 AB 1 ∥ DC1 ,所以 AB 1 与 AD 1 所成的角即为 DC1 与 AD 1 所成的角. 又 AD 1 = AB 1 = B 1 D 1 ,所以 △AB 1 D 1 为正三角形,所以 AD 1 和 AB 1 所成的角为

A

60? ,即 AD 1 与 DC1 所成的角为 60? .

2.线面角 描述: 一条直线P A 和一个平面α相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平 面的交点A 叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线P O ,过垂足O 和斜足A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条 直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,则称直线和平面所成的角是90? ;一条直线和 平面平行,或在平面内,则称直线和平面所成的角是0 ? .

例题: 如图,在三棱锥 A ? BCP 中,∠BP C = 90? ,∠AP B = ∠AP C = 60?,P A = P B = P C . 求直线 AP 与 平面 P BC 所成角.

解:因为 ∠AP B = ∠AP C = 60?,P A = P B = P C ,所以 △AP B 与 △P AC 都是等边三 角形.因此,AB = AC.如下图,取 BC 的中点 D ,连接 AD ,P D ,则 AD ⊥ BC.设

P A = a ,则在 Rt△P BC 中,BC = √2 a ,CD = P D =

? ?? ? ? ? ? ? ? ? √2 AD = √AC 2 ? C D 2 = a,则 AD 2 + P D 2 = P A 2 ,所以 AD ⊥ P D.又 2 BC ∩ P D = D,所以 AD ⊥ 面 P BC .因此, ∠AP D 即为直线 AP 与平面 P BC 所成的 √2 角 .在 Rt△AP D 中,P D = AD = a ,所以 ∠AP D = 45? . 2

√2 a .在 Rt△ADC 中, 2

3.二面角 描述: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(dihedral angle).这条直线叫做二面 角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.棱AB 、面分别为α ,β 的二面角记作二面角 α ? AB ? β.有时为了方便,也可在 α,β 内(棱以外的半平面部分)分别取点P ,Q ,将这 个二面角记作二面角P ? AB ? Q.如果棱记作l ,那么这个二面角记作二面角α ? l ? β 或 P ? l ? Q.

在二面角α ? l ? β 的棱l 上任取一点O ,以点O 为垂足,在半平面α和β 内分别作垂直于棱l 的射线 OA 和OB ,则射线OA 和OB 构成的∠AOB叫做二面角的平面角.

两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

例题: 如图,在正方体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 中,E,F ,M ,N 分别是 A 1 B 1 ,BC ,C1 D 1 和 B 1 C1 的中点. (1)求证:平面 MNF ⊥ 平面 ENF ; (2)求二面角 M ? EF ? N 的平面角的正切值.

解:(1)因为 N ,F 均为所在棱的中点,所以 NF ⊥ 平面 A 1 B 1 C1 D 1 . 而 MN ? 平面 A 1 B 1 C1 D 1 ,所以 NF ⊥ MN . 又因为 M ,E 均为所在棱的中点,所以 △C1 MN 和 △B 1 NE 均为等腰直角三角形. 所以 ∠MN C1 = ∠B 1 NE = 45? ,所以 ∠MNE = 90? , MN ⊥ NE ,故 MN ⊥ 平面 NEF . 而 MN ? 平面 MNF ,所以 平面 MNF ⊥ 平面 NEF . (2)在平面 NEF 中,过点 N 作 NG ⊥ EF 于点 G,连接 MG . 由(1)知 MN ⊥ 平面 NEF ,又 EF ? 平面 NEF ,所以 MN ⊥ EF .

EF ⊥

MNG

又 MN ∩ NG = N ,所以 EF ⊥ 平面 MNG,所以 EF ⊥ MG. 所以 ∠MGN 为二面角 M ? EF ? N 的平面角.  设该正方体的棱长为 2 ,在 Rt△NEF 中,NG =

NE ? NF 2√3 , = EF 3 MN √2 √6 所以在 Rt△MNG 中,tan ∠MGN = . = = 2 NG 2√3 3 √6 所以二面角 M ? EF ? N 的平面角的正切值为 . 2

4.空间向量的应用 描述: 通过建立空间直角坐标系,或直接用空间向量的方法去解决立体几何相关的问题 例题: 如图,已知 O 为坐标原点,在四面体 OABC 中,A(0, 3, 5) ,B(1, 2, 0) ,C (0, 5, 0) ,直线 AD ∥ BC ,并且 AD 交坐标平面 xOz 于点 D ,求点 D 的坐标.

解:因为点 D ∈ 平面 xOz,所以设点 D(x, 0, z),则 AD = (x, ?3, z ? 5),BC = (?1, 3, 0). 因为 AD ∥ BC,所以 AD = λBC ,所以 (x, ?3, z ? 5) = λ(?1, 3, 0),所以 λ = ?1 ,故 x = 1,z = 5,即 D(1, 0, 5).

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2, 1, 0) ,B(0, 2, 3) ,C (1, 1, 3) ,试求出平面 ABC 的一个法向量. 解:设平面 ABC 的法向量为 n = (x, y, z) .



因为 A(2, 1, 0) ,B(0, 2, 3) ,C (1, 1, 3) ,所以 AB = (?2, 1, 3) ,BC = (1, ?1, 0).

? n ? AB = 0, 则有 ? 即 { ?2x + y + 3z = 0, 解得 { x = 3z, ? ? → ?→ x ? y = 0. x = y. n ? BC = 0, ? → ?→ →

?→ ?

?→ ?

令 z = 1,则 x = y = 3 ,故平面 ABC 的一个法向量为 n = (3, 3, 1).

如图,P D ⊥ 平面 ABCD,四边形 ABCD 为直角梯形,AB ∥ CD,∠ADC = 90? , P D = CD = 2AD = 2AB = 2,EC = 2P E . (1)求证:P A ∥ 平面 BDE; (2)求证:平面 BDP ⊥ 平面 P BC.

证明:建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)A(1, 0, 0) ,B(1, 1, 0) ,C (0, 2, 0) ,D(0, 0, 0),P (0, 0, 2) ,E (0,

?→ ? ?→ ? ?→ ? 1 4 BE = (?1, ? , ) ,DB = (1, 1, 0) ,P A = (1, 0, ?2) . 3 3 → 设平面 BDE 的法向量为 n = (x, y, z) , y ?→ ? 4 ? ?→ n ? BE = 0, 得 ? ?x ? + z = 0, 由 ? 3 3 ? → ?→ ? ? n ? DB = 0 x + y = 0. ? ?→ ? → → ?→ → 令 z = 3,则 n = (6, ?6, 3) ,则 n ? P A = 0 ,得到 P A ⊥ n . 因为 P A ?? 平面 BDE,所以 P A ∥ 平面 BDE. ?→ ? ?→ ? ?→ ?→ ? ? (2)因为 BC = (?1, 1, 0),DB = (1, 1, 0) ,所以 BC ? DB = 0 ,即 BC ⊥ BD,因为 P D ⊥ 平面 ABCD,所以 BC ⊥ P D ,所以 BC ⊥ 平面 P BD,故 平面 BDP ⊥ 平面 P BC.
如图,在平行四边形 ABCD 中,AB = AC = 1,∠ACD = 90? ,将它沿对角线 AC 折起, 使 AB 和 CD 成 60? 角,求 B 、D 间的距离.

2 4 , ), 3 3

?→ ? ?→ ?

?→ ? ?→ ?

解:因为 ∠ACD = 90? ,所以 AC ? CD = 0 ,同理 AC ? BA = 0 . 因为 AB 与 CD 成 60? 角,所以?BA, CD? = 60? 或 120 ? . 又 BD = BA + AC + CD ,所以

?→ ? ?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ?

?→ ? ?→ ?

?→ ? ?→ ?

?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? BD ? BD = |BA| 2 + |AC | 2 + |CD| 2 + 2BA ? AC + 2BA ? CD + 2AC ? CD ?→ ? ?→ ? = 3 + 2 × 1 × 1 × cos?BA, CD?.
所以,当 ?BA, CD? = 60? 时,BD ? BD = 4 ;当 ?BA, CD? = 120 ? 时,BD ? BD = 2 . 所以 |BD| = 2 或 √2 ,即 B 、D 间的距离为 2 或 √2 .

?→ ?

?→ ? ?→ ?

?→ ? ?→ ?

?→ ? ?→ ?

?→ ? ?→ ?

已知正方形 ABCD 的边长为 1 ,P D ⊥ 平面 ABCD,且 P D = 1,E、F 分别为 AB 、BC 的中点. (1)求点 D 到平面 P EF 的距离; (2)求直线 AC 到平面 P EF 的距离. 解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 P (0, 0, 1) ,A(1, 0, 0) ,C (0, 1, 0) ,

E (1,

1 1 , 0),F ( , 1, 0) . 2 2

?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? 1 1 DH = xDE + yDF + zDP = (x + y, x + y, z),其中 x + y + z = 1. 2 2 ?→ ? ?→ ? 1 1 又 P E = (1, , ?1) ,P F = ( , 1, ?1) . 2 2 ?→ ? ?→ ? 1 1 1 5 所以 DH ? P E = x + y + ( x + y) ? z = x + y ? z = 0. 2 2 2 4 5 4 9 同理 x + y ? z = 0,又因为 x + y + z = 1,所以可解得 x = y = ,z = ,所以 4 17 17 ?→ ? ?→ ? 3 3 ? ? (2, 2, 3),|DH | = DH = √17 . 17 17 3 ? ?. 因此,点 D 到平面 P EF 的距离为 √17 17 ? ? ? → ?→ ? (2)设 AH ′ ⊥ 平面 P EF ,垂足为 H ′ ,则 AH ′ ∥ DH ,设 ? ? ? → AH ′ = λ(2, 2, 3) = (2λ, 2λ, 3λ)(λ ≠ 0),则 ? ? ? → ?→ ? ? ? → ? 1 1 EH ′ = EA + AH ′ = (0, ? , 0) + (2λ, 2λ, 3λ) = (2λ, 2λ ? , 3λ) , 2 2
所以 AH ′ ? EH ′ = 4λ2 + 4λ2 ? λ + 9λ2 = 0 ,即 λ = 所以 AH ′ =

设 DH ⊥ 平面 P EF ,垂足为 H ,则

? ? ? → ? ? ? → ? ? ? →

? ? ? ? ? → 1 √17 ,而 AC ∥ 平面 P EF ,所以 AC 到平面 P EF 的 (2, 2, 3),|AH ′ | = 17 17

1 . 17

17 ? √? 17 距离为 . 17

17

如图所示,在五面体 ABCDEF 中,F A ⊥ 平面 ABCD,垂足为 A ,AD ∥ BC ∥ F E,

AB ⊥ AD 于 A ,M 为 EC 的中点,AF = AB = BC = F E =
(1)求异面直线 BF 和 DE 所成角的大小; (2)求证:平面 AMD ⊥ 平面 CDE; (3)求二面角 A ? CD ? E 的余弦值.

1 AD. 2

解:(1)如图,以点 A 为坐标原点,AB 、AD 、AF 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建 立空间直角坐标系.

设 AB = 1,依题意得 A(0, 0, 0) ,B(1, 0, 0) ,C (1, 1, 0) ,D(0, 2, 0),E(0, 1, 1),F (0, 0, 1) ,

?→ ? ?→ ? 1 1 , 1, ) ,所以 BF = (?1, 0, 1),DE = (0, ?1, 1),于是 2 2 ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? 0+0+1 1 BF ? DE ,所以异面直线 BF 与 DE 所成角的大小为 cos?BF , DE ? = ?→ = = ? ?→ ? 2 √2 ? √2 |BF ||DE | 60? . ? ? → ?→ ? ?→ ? 1 1 (2)由(1)知 AM = ( , 1, ) ,CE = (?1, 0, 1),AD = (0, 2, 0) ,所以 2 2 ?→ ? ? ? → ?→ ? ?→ ? CE ? AM = 0 ,CE ? AD = 0 ,因此 CE ⊥ AM,CE ⊥ AD,又 AM ∩ AD = A,所以 CE ⊥ 平面 AMD,又 CE ? 平面 CDE,所以 平面 AMD ⊥ 平面 CDE. ?→ ? ?→ → u ? CE = 0, 于是 { ?x + z = 0, (3)设平面 CDE 的一个法向量为 u = (x, y, z) ,则 ? ? → ?→ ? ?y + z = 0. u ? DE = 0, → → 令 x = 1,可得 u = (1, 1, 1).由题意知平面 ACD 的一个法向量为 v = (0, 0, 1).所以 → → → → 0+0+1 u ?v √3 . cos? u , v ? = = = → → 3 ? 1 √ 3 | u || v | √3 故二面角 A ? CD ? E 的余弦值为 . 3 M(

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 如图,正方体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 的棱长为 1 ,E 是 A 1 B 1 的中点,则 E 到平面 ABC1 D 1 的 距离为 (

).

A.

√3 2

B.

√2 2

C.

1 2

D.

√3 3 1 √2 . B1 C = 2 2 )

答案: B 解析: 因为在正方体

ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 中,A 1 B 1 平行于平面 ABC1 D 1 .

所以点 E 到平面 ABC1 D 1 距离转化为点 B 1 到平面 ABC1 D 1 距离,即 2. 已知正方体 ABCD一A 1 B 1 C1 D 1 的棱长为 1 ,则 BC1 与 DB 1 的距离为 ( A.√6
答案: C 解析: 连接

B.

√6 3

C.

√6 6

D.2√6

BD 1 , BD 1 ∩ DB 1 = O ,取 C1 D 1 中点 E ,连接 DE , EB 1 ,则 OE ∥ BC1 . ∵ BC1 ?? 平面 DB 1 E , OE ? 平面 DB 1 E . ∴ BC1 ∥ 平面 DB 1 E . ∴ BC1 与 DB 1 的距离为 BC1 与平面 DB 1 E 的距离,即 C1 到平面 DB 1 E 的距离. √5 √5 √2 在 △DB 1 E 中, DE = , EB 1 = , DB 1 = √3 , EO = . 2 2 2 1 √2 √6 . ∴ S △DB1 E = × √3 × = 2 2 4 设 C1 到平面 DB 1 E 的距离为 d ,则由 VC 1?DB1 E =VD?B1 C 1E ,可得 1 1 1 1 √6 × d = × ×1× ×1 . 3 4 3 2 2 √6 . ∴d= 6

3. 已知棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 ,直线 BD 与平面 A 1 BC1 所成角的余弦值为 .
答案: 解析:

√3 3

如图所示建立空间直角坐标系,然后用向量法求出结果. 4. ABCD 是直角梯形,∠ABC = ∠BAD = 90?,又 SA ⊥ 平面 ABCD,

SA = AB = BC = 1, AD =
答案: 解析:

1 ,面 SCD 与面 SAB 所成二面角的正切值为 2



√2 2

以 A 为原点建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz,然后向量法求解.

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