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黄冈中学2006年秋高一年级期末考试数学试题及答案


湖北省黄冈中学 2006 年秋—2007 年春期末考试高一数学试卷
命题:汤彩仙 校对:汤彩仙

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中

,只 有一个符合题目要求.) 1.已知数列{an}中,a1=2, an+1-an=3(n∈N*)则数列{an}的通项 an 的表达式是( A.3n-1 B.3n-2
?1



C.3n-5

D. 2 ? 3

n ?1

2.若 f ( x) ? 3x ? 2 ,则 f A.

[ f ( x)] 为
C.





x?8 9

B.9x-8

x?2 3

2

D.x

3.若 a、b、c∈R 且 a>b,则下列不等式中一定成立的( A.a+b≥b-c B. a-b)c ≥0 (
2

c >0 a?b 2 4.如果 a、b、c 成等比数列,那么关于 x 的方程 ax +bx+c=0
C. A.一定有两不等实根 C.一定无实根 B.一定有两相等实根 D.有两符号不相同的实根

D.ac≥bc ( )

5.如果等比数列{an}的首项为正数,公比大于 1,那么数列{log 1 an}是
2

(

)

A.递增的等差数列 C.递增的等比数列

B.递减的等差数列 D.递减的等比数列

6.已知函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像如图所示,则不等式 A. [5, 25] C. (?15, ?5) ? (5, 25] B. (?5, 25] D. (?15, ?5] ? [5, 25]
?15

f ( x) ? 0 的解集是( ) g ( x) y ? f ( x) y
y ? g ( x)
?5 o 5 25 x

7. 若两个等差数列 {an } 、 bn } 的前 n 项和分别为 An 、 n , { B 且满足 的值为( A. ) B.

An 4n ? 2 a ? a13 , 5 则 ? Bn 5n ? 5 b5 ? b13
D.

8. f ( x) 是定义在 R 上恒不为零的函数, 设 对任意实数 x 、y ? R , 都有 f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) , 若 a1 ?

7 8

7 9

C.

8 7

19 20

1 , an ? f (n) ( n ? N? ) ,则数列 {an } 的前 n 项和 Sn 的取值范围是( 2



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?1 ? A. ? , 2 ? ?2 ?

?1 ? B. ? , 2 ? ?2 ?

?1 ? C. ? ,1? ?2 ?

?1 ? D. ? ,1? ?2 ?

9 . 设 M 是 具 有 以 下 性 质 的 函 数 f ( x ) 的 全 体 : 对 于 任 意 s ? 0 ,t ? 0, 都 有

f ( s)? f ( t ) f ( ? .给出函数 f1 ( x) ? log2 x, f 2 ( x) ? 2 x ? 1. 下列判断正确的是( ? s t) A. f1 ( x) ? M , f 2 ( x) ? M B. f1 ( x) ? M , f 2 ( x) ? M C. f1 ( x) ? M , f 2 ( x) ? M D. f1 ( x) ? M , f 2 ( x) ? M



10.如图,在公路 MN 的两侧有四个村镇:A1、B1、C1、D1 通过小路和公路相连,各路口分 别是 A、B、C、D,现要在公路上建一个长途汽车站,为使各村镇村民到汽车站所走的路程 总和最小,汽车站应建在( ) A.A 处 B.B 处 C.B、C 间的任何一处(包括 B、C) D.A、B 之间的任何一处(包括 A、B)

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11.函数 y ? lg

1 ? 2x 的定义域是 x ?1



1 1 1 x2 ,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f( )+f( )+f( )=__________________. 2 2 3 4 1? x 1 a 13.已知不等式 ( x ? y)( ? ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 x y
12.已知 f(x)= ___________________. 14. 定义符号运算 “#” 满足 x # y ? ax ? by(a, b 是常数) 且 2#2 ? 4,3#1 ? 8 , , 那么 2#(?3) 的值是____________________. 15 . 设 数 列 {an } 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 , 其 前 n 项 的 积 为 Tn , 并 且 满 足 条 件

a1 ? 1, a99 a1 0 0 ? 1 ? 0,

a99 ? 1 ? 0 .给出下列结论:①0<q<1;② T198 ? 1 ;③ a99 a101 ? 1 ; a100 ? 1


④使 Tn ? 1 成立的最小自然数 n 等于 199. 其中正确结论的编号是

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题号 答案 题号 答案 11 12 1 2 3 4


5


6 7 8 9 10

13

14

15

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解下列不等式: (1)

2x ? 3 ? x ?1 ;

(2)

5? x <-1 x ? 2x ? 3
2

17. (本题满分 12 分){an}为等差数列,公差 d>0,Sn 是数列{an}的前 n 项和,已知 a1a4 ? 27, S4 ? 24 , (1)求数列{an}的通项公式 an ; (2)令 bn ?

1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn . an an?1

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18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 8) x ? a ? ab , x ? (?,2 当 3) 当 x ? (??, ?3) ? (2,+?) 时, f ( x) ? 0 . (1)求 f ( x ) 在 [0,1] 内的值域; (2) c 为何值时 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 R .
2

时, f ( x) ? 0 ;

19. (本题满分 12 分)某公司一年内共需购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元. (1)要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次购买多少吨? (2)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过 200 万元,则每次购买量在什么范围?

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20. (本题满分 13 分)若数列 ?an ? 对任意 n ? N ,满足
*

?an ? 为等差比数列. (1)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S n ? 2(an ? 1) ,求数列 ?an ? 的通项公式,并判断数列 ?an ? 是否为等差比数列; (2)若数列 ?an ? 为等差数列,试判断数列 ?an ? 是否一定为等差比数列,并说明理由;
(3)试写出一个等差比数列的通项公式 an ,使此数列既不是等差数列,也不是等比数列,并证 明之.

an ? 2 ? an ?1 ? k (k 为常数),则称数列 an ?1 ? an

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21. (本题满分 14 分)本大题分甲、乙两题,其中乙题为 9 班学生必做题,其余各班的学生 可从这两题中任选一题作答,若两题都选,则只以得分较少的题给分. (甲)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? x ( a ? R, a ? 0) . (I)当0< a <

1 , x ?[?1,1] 时, f ( x ) ( x ? R)的最小值为 5 ,求实数 a 的值. 2 4

(II)如果 x ?[0,1]时,总有| f ( x ) | ? 1 .试求 a 的取值范围. (III)令 a ? 1 ,当 x ?[ n, n ? 1] (n ?N? )时, f ( x ) 的所有整数值的个数为 g (n) ,数列

{

g (n) } 的前 n 项的和为 Tn ,求证: Tn ? 7 . 2n
?1

(乙)设函数 f (x) 的定义域、值域均为 R, f (x) 的反函数为 f 有 f ( x) ? f
?1

( x) ,且对任意实数 x,均

( x) ?

5 x. .定义数列 {an }: a0 ? 8, a1 ? 10, an ? f (an?1 ), n ? 1, 2,?. 2 5 a n (n ? 1,2, ?); 2 1 2
n ?

(1)求证: a n ?1 ? a n ?1 ?

(2)设 bn ? a n ?1 ? 2a n , n ? 0,1,2, ?, 求证 : bn ? (?6)( ) (n ? N ); (3)是否存在常数 A 和 B,同时满足 ①当 n=0 及 n=1 时,有 a n ? ②当 n=2,3,?时,有 a n ?

A ? 4n ? B 成立; 2n A ? 4n ? B 成立. 2n

如果存在满足上述条件的实数 A,B,求出 A,B 的值;如果不存在,证明你的结论.

第 6 页,共 6 页

湖北省黄冈中学 2006 年秋—2007 年春期末考试高一数学试题参考答案 ADBCBCACDC

7 13.4 14.9 15.①③④ 2 ?2 x ? 3 ? 0 3 ? 16.解: (1)原不等式等价于 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 且 x ? 2. 2 ?2 x ? 3 ? ( x ? 1) 2 ? 3 故原不等式的解集为: {x | x ? 且 x ? 2} . 2 2 x ? 3x ? 2 2 2 (2)原不等式移项,整理得 2 <0 ,同解于(x -3x+2)(x -2x-3)<0,即: x ? 2x ? 3
11. (?1, ) 12.

1 2

(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)<0 , 由数轴标根法可有:-1<x<1 或 2<x<3 。 故原不等式的解集为{x|-1<x<1 或 2<x<3 } . 4(a1 ? a4 ) ? 24,? a1 ? a4 ? 12 17.解:(1) S4 ? 2 又 a1a4 ? 27 , d>0,∴ a1 ? 3, a4 ? 9, d ? 2, ,∴ an ? 2n ? 1. 1 1 1 1 1 (2) bn ? ? ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ( ? )= . 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 2 3 2n ? 3 6n ? 9 18.解:由题意可知 f ( x) ? ax2 ? (b ? 8) x ? a ? ab ? 0 的两根分别为 ?3, 2 ,且 a ? 0 ,则由
b ?8 ? ??3 ? 2 ? ? a ?a ? ?3 ? ?? 韦达定理可得: ? . ?b ? 5 ??3 ? 2 ? ? ab ? a ? a ? 1 2 75 2 故 f ( x) ? ?3x ? 3x ? 18 ? ?3( x ? ) ? , 2 4 (1) f ( x ) 在 [0,1] 内单调递减,故 f ( x)min ? f (1) ? 12, f ( x)max ? f (0) ? 18, 故 f ( x ) 在 [0,1] 内的值域为 [12,18] .
( 2 ) g ( x) ? ax2 ? bx ? c ? ?3x2 ? 5x ? c , 则 要 使 g ( x ) ? 0的 解 集 为 R , 只 需 要 方 程

?3x 2 ? 5x ? c ? 0 的判别式 ? ? 0 ,即 ? ? 25 ? 12c ? 0 ,解得 c ? ?
∴当 c ? ?

25 . 12

25 2 时, ax ? bx ? c ? 0 的解集为 R . 12

400 次,运费为 4 x 400 ? 4 ? 4x 万元. 万元/次, 一年的总存储费用为 4x 万元, 一年的总运费与总存储费用之和为 x 400 1600 ? 4 ? 4x ≥160,当且仅当 ? 4x 即 x ? 20 吨时取等号, (1)∵ x x
19.解:某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,则需要购买 ∴每次购买 20 吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小. (2)由

400 ? 4 ? 4 x ? 200 ,得 x2 ? 50x ? 400 ? 0?( x ?10)( x ? 40) ? 0 ,∴10 ? x ? 40 . x
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∴每次购买量在大于或等于 10 吨且小于或等于 40 吨的范围内. 20.解: (1)当 n ? 2 时, S n ? 2(an ? 1) ①-②得: S n ? S n?1 ? 2an ? 2an?1 ①, S n?1 ? 2(an?1 ? 1) ②

所以 an ? 2an ? 2an?1 ,∴
*

an ? 2. a n ?1

又 S1 ? a1 ? 2(a1 ? 1) ,所以 a1 ? 2 ,所以 an ? 2 n ( n ? N )

an? 2 ? an?1 2 n?2 ? 2 n?1 ? n?1 ? 2 ∴数列 {an } 为等差比数列 an?1 ? an 2 ? 2n (2)令等差数列 {an } 的公差为 d ,则 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ? d . a ? a n?1 d 当 d ? 0 时, n ? 2 ,所以数列 {an } 是等差比数列 ? ? 1(1 为常数) a n?1 ? a n d 当 d ? 0 ,即数列 {an } 是常数数列时,不是等差比数列
∵任给 n ? N ,
*

(3)通项如 an ? aqn ? b ( a , b 为非零的常数)形式的数列,如 an ? 2 ? 3n ? 1 ,既不是等 差数列,也不是等比数列,但

an? 2 ? an?1 2 ? 3n? 2 ? 1 ? 2 ? 3n?1 ? 1 ? ? 3 为常数, an?1 ? an 2 ? 3n?1 ? 1 ? 2 ? 3n ? 1
1 1 5 ? ?1 ,故当 x ? ?1 时 f ( x) 取得最小值为 , 知? 2 2a 4

数列 {an } 是等差比数列(只要写出一个通项即可) 21. (甲)解: (1) 由 0 ? a ? 即 f ? ?1? ? a ? 1 ?

5 9 ?a ? . 4 4

2 2 ⑵ 由 f ?x ? ? 1得 ax ? x ? 1, ? 1 ? ax ? x ? 1 对于任意 x ? ?0,1? 恒成立,

当 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 ,则 f ?x ? ? 1恒成立;
2 ? 1 1 ?1 1? 1 a? 2 ? ?? ? ? ? ? x ? x 2? 4 x 当 x ? 0 时,有 ? ? 2 ?a ? ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? x 4 x2 ? x 2? ?

① ②
2

1 ?1 1? 1 ? 对于任意的 x ? ?0,1? 恒成立; x ? ?0,1?? ? 1 , ? ? ? ? ? 0 ,故要使①式恒成立, 则 x 4 ? x 2?

?1 1? 1 ? 则有 a ? 0 , a ? 0 ? a ? 0 ; ? ? ? ? ? ? ?2 , 又 又 则有 a ? ?2 , 综上所述: 2 ? a ? 0 . ? x 2? 4
2 ⑶ 当 a ? 1 时, f ?x? ? ax ? x ,则此二次函数的对称轴为 x ? ?

2

1 ,开口向上, 2

故 f ?x ? 在 ?n, n ? 1? 上为单调递增函数,且当 x ? n, n ? 1 时, f ?n?, f ?n ? 1? 均为整数, 故 g ?n? ? f ?n ? 1? ? f ?n? ? 1 ? ?n ? 1? ? ?n ? 1? ? n 2 ? n ? 1 ? 2n ? 3
2

?n ? N ?,
?

则数列 ?

g ? n ? 2n ? 3 5 7 9 2n ? 1 2n ? 3 ? g ?n ?? 的通项公式为 n ? n ,故 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n n ? 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 ?



第 8 页,共 6 页



1 5 7 9 2n ? 1 2n ? 3 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2n 2



由①-②得 Tn ?

1 2

5 1 1 ? 2n ? 3 7 2n ? 7 ? 1 ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n?1 ? ? n?1 . 2 2 2 2 ? 2 2 ?2

?Tn ? 7 ?

2n ? 7 ,∴ Tn ? 7 . 2n
?1

21. (乙) (1)证明:? f ( x) ? f 即 a n ?1 ? a n ?1 ?

( x) ?

5 5 x ,令 x ? an ? f (an ) ? f ?1 (an ) ? an , 2 2

5 an . 2 5 a n ? a n ?1 2 ? an ?1 ? 2an ? 1 (an ? 2an ?1 ) 2

(2)证明:? a n ?1 ?

1 1 1 1 即bn ? bn ?1 ,? bn ? bn ?1 ? ( ) 2 bn ? 2 ? ? ? ( ) n b0 2 2 2 2 1 1 ?b0 ? a1 ? 2a0 ? ?6 ,? bn ? ( ) n b0 ? (?6)( ) n (n ? N ? ) . 2 2
(3)解:由(2)可知: a n ?1 ? 2a n ? (?6)( ) 假设存在常数 A 和 B,使得 an ?

1 2

n

A ? 4n ? B 对 n ? 0,1 成立,则 2n

a0 ? A ? B ? 8, a1 ?

4A ? B ? 10 ,解得 A=B=4 2 1 2
n

由(2)可知 an ?1 ? 2an ? (?6)( ) ,∴

an ?1 an 1 ? n ? (?6)( ) 2 n ?1 , n ?1 2 2 2

an an ?1 a a a a 1 1 1 ? n ?1 ? (?6)( ) 2 n ?1 , n ?1 ? n ? 2 ? (?6)( ) 2 n ?3 ,? , 1 ? 0 ? (?6)( )1 n n ?1 n?2 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 [1 ? ( ) 2 n ] an a0 11 1 2 n ?3 1 2 n ?1 2 累加可得 n ? 0 ? (?6)( ) ? ? ? (?6)( ) ? (?6)( ) ? 8 ? 6? 2 1 2 2 2 2 2 1? 4
1 ? 4 ? 4 ? ( )2n , 2
∴ an ?

4 ? 4n ? 4 2n

∴A=B=4 满足题设.

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