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微元法解几个物理习题


微元法解物理习题
如图所示,质量为 M,半径为 R 的均匀圆环,在其轴线上距离环心为 R 处放有一质量为 m 的质点,求环与质点间的万有引力大小。 解:取环上很小一段,质量为 ΔM 则 F= G

?Mm 2R 2

Fx=Fcos450= G

2?Mm 4R 2

R O R

m

万有引力 F=ΣFx=Σ G

2?Mm 2Mm =G 2 4R 4R 2

1、 一半径为 R,质量为 M 的均匀圆绳环,在光滑水平面上以角速度 ω 绕环心匀速转动, 求此时绳中的张力大小。 解:取一微元,其长度为 ΔS(ΔS ?0),则质量为 ΔSM/2πR T ∵θ=ΔS/R ∴2Tsin

? =ΔMω2R 2

∵θ 很小 sin

? ? ?S = = 2 2 2R

得 T=

M? 2 R 2?

2、 如图所示, 在光滑的水平面上有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为 a 的区域内, 现有 一个边长为 L(a>L)的正方形闭合线框以初速度 v1 垂直磁场边界滑过磁场后速度变为 v2, 求线框完全进入磁场时的速度。 解:线框开始进入磁场受安培力 v1 v2

B 2 L2v m?v ? R ?t

B 2 L2v?t ? m?v ∴ R

L a

B 2 L2 ?S ? m?v R
∵ΣΔS=L ΣΔv=v1-v ∴v1-v=

B 2 L3 mR

B 2 L3 同理 v-v2= mR

∴v=

v1 ? v2 2

1

3、 将质量为 m 的小球从某高处以初速度 v0 竖直抛出,当小球落回该抛出点时速度为 v1。 已知小球在运动过程中受到空气阻力大小与小球的速度大小成正比, 求小球从抛出到落回原 处所用时间。 解:上升 mg+kv=m

?v ?t

∴mgΔt+kvΔt=mΔv

∴mgΔt+KΔs=mΔv

得 Δt=

m?v ? k?s mg

ΣΔt=t 上=

m v0 ? kh mg
?v ?t
ΣΔt=t 下=

同理下降 mg-kv=m

m v1 ? kh mg

t=t 上+t 下=

v 0 ? v1 g

4、 如图所示,一质量分布均匀的绳子竖直地悬挂在天花板上,下端恰好触及水平地面。如 果把绳的上端放开, 试证明在绳下落的任一时刻, 绳作用于地面的压力 3 倍于已经落到地面 上那部分绳的重力。 证明:设某时刻 t1,落到地面上的绳长为 x,此时绳下落的速度为 v, 绳的线密度为 ρ。再经极短时间 Δt,则又有 Δm=vΔtρ 的绳落到地面上 静止。 v= 2gx 因 Δt 极短,则 Δm 的速度可视为 v 不变,

∴(F-Δmg) Δt=-Δmv=-v2Δtρ 得(F-Δmg) =-v2ρ=-2gxρ=-2mg 因时间极短 Δmg 可不计,F=-2mg N=F/+mg=3mg

5、 一架质量 M=810kg 的直升飞机,靠螺旋浆的转动使面积 S=30m2 内的空气以 v0 的速度 向下运动,从而使飞机悬停在空中。已知空气密度 ρ0=1.2kg/m3,试求空气速度 v0 的大小,并 计算飞机发动机的功率。 解:在极短时间 Δt 内,有体积为 v0ΔtS 的空气被螺旋浆推动向下运动, F=Δma=Δm

v0 v =v0ΔtSρ0 0 ?t ?t
4

∵Δt 极短空气重力不计,F=Mg,∴v0=

F =15m/s S?

P=F v =8100×7.5=6.1×10 W

2


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