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北师大版数学选修1-1《3.4导数的四则运算法则》备课精选同步练习含答案


§ 4
课时目标 导数.

导数的四则运算法则

1.理解导数的四则运算法则.2.能利用导数公式和四则运算法则求解函数的

导数的运算法则: (1)[f(x)+g(x)]′=______________; (2)[f(x)-g(x)]′=______________; (3)[f(x)· g(x)]′=____

____________; f?x? ? ? (4) ?g?x??′=____________________.

一、选择题 1.下列结论不正确的是( ) A.若 y=3,则 y′ =0 1 1 B.若 y= ,则 y′=- x 4 2 x 1 C.若 y=- x,则 y′=- 2 x D.若 y=3x,则 y′=3 2.曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) 1 2 9 2 A. e B. e 2 4 2 C.2e D.e2 3.已知 f(x)=x3+3x+ln 3,则 f′(x)为( ) 1 A.3x2+3x B.3x2+3x· ln 3+ 3 2 x 3 x C.3x +3 · ln 3 D.x +3 · ln 3 4.曲线 y=xex+1 在点(0,1)处的切线方程是( ) A.x-y+1=0 B.2x-y+1=0 C.x-y-1=0 D.x-2y+2=0 5.已知函数 f(x)=x4+ax2-bx,且 f′(0)=-13,f′(-1)=-27,则 a+b 等于( ) A.18 B.-18 C.8 D.-8 6.正弦曲线 y=sin x 上一点 P,以点 P 为切点的切线为直线 l,则直线 l 的倾斜角的范 围是( ) π ? ?3π ? A.? B.[0,π) ?0,4?∪? 4 ,π? π 3π? π? ?π 3π? C.? D.? ?4, 4 ? ?0,4?∪?2, 4 ? 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 7.已知 f(x)=xa,a∈Q,若 f′(- 1)=-4,则 a=___________________.

8.若函数 y=f(x)满足 f(x-1)=1-2x+x2,则 y′=f′(x)=________. 3 9.某物体作直线运动,其运动规律是 s=t2+ (t 的单位:s,s 的单位 :m),则它在第 t 4 s 末的瞬时速度应该为_______ _ m/s. 三、解答题 10.求下列函数的导数. (1)y=10x; x+cos x (2)y= ; x-cos x (3)y=2xcos x-3xlog2 009x; (4)y=x· tan x.

11.求过点(1,-1)与曲线 y=x3-2x 相切的直线方程.

能力提升 5π? sin θ 3 3cos θ 2 12.设函数 f(x)= x+ x +tan θ,其中 θ∈? ?0,12?,则导数 f′(1)的取值范 3 2 围是( ) A.[-2,2] B.[ 2, 3] C.[ 3,2] D.[ 2,2] 13.求抛物线 y=x2 上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离.

1.理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件. 2.对于一些应用问题如切线、速度等,可以结合导数的几何意义,利用公式进行计算.

§ 4

导数的四则运算法则

知识梳理 (1)f′(x)+g′(x) (2)f′(x)-g′(x) (3)f′(x)g(x)+f(x)g′(x) f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (4) (g(x)≠0) [g?x?]2 作业设计 1 ? 1 ?1 1 ?3 2 )′=- 2 1.B [y′=? ′=( 2 4 ?2 x? 1 =- .] 4x x 2.A [∵y′=(ex)′=ex,∴k=y′|x=2=e2. ∴曲线在点(2,e2)处的切线方程为 y-e2=e2(x-2), 即 y=e2x-e2. 当 x=0 时,y=-e2, 当 y=0 时,x=1. 1 1 ∴S△= ×1×|-e2|= e2.] 2 2 1 3.C [(ln 3)′=0,注意避免出现(ln 3)′= 的错误.] 3 4.A [y′=ex+xex,当 x=0 时,导数值为 1,故所求的切线方 程是 y=x+1,即 x-y +1=0.] 5.A [∵f′(x)=4x3+2ax-b, ?f′?0?=-13 ?-b=-13, ? ? 由? ?? ?f′?-1?=-27 ?-4-2a-b=-27. ? ?

x

x

? ?a=5, ∴? ∴a+b=5+13=18.] ?b=13. ? 6.A [∵y′=cos x,而 cos x∈[-1,1]. ∴直线 l 的斜率的范围是[-1,1],

π? ?3 ? ∴直线 l 倾斜角的范围是? ?0,4?∪?4π,π?.] 7.4 - 解析 ∵f′(x)=axa 1, - ∴f′(-1)=a(-1)a 1=-4,∴a=4. 8.2x 解析 ∵f(x-1)=1- 2x+x2=(x-1)2, ∴f(x)=x2,f′(x)=2x. 125 9. 16 3 3 125 解析 ∵s′=2t- 2,∴v=s′(4)=8- = (m/s). t 16 16 10.解 (1)y′=(10x)′=10xln 10. (2)y′= ?x+cos x?′?x-cos x?-?x+cos x??x-cos x?′ ?x-cos x?2 ?1-sin x??x-cos x?-?x+cos x??1+sin x? = ?x-cos x?2 -2?cos x+xsin x? = . ?x-cos x?2 (3)y′=(2x)′cos x+(cos x)′2x-3[x′log2 009 x+(log2 009x)′x] 1 ? =2xln 2· cos x-sin x· 2x-3[log2 009 x+? ?xlog2 009 e?x] =2xln 2· cos x-2xsin x-3log2 009 x-3log2 009 e. xsin x? (4)y′=(xtan x)′=? ? cos x ?′ ?xsin x?′cos x-xsin x?cos x?′ = ?cos x?2 ?sin x+xcos x?cos x+xsin2x = ?cos x?2 sin xcos x+x?cos2x+sin2x? = ?cos x?2 1 sin 2x+x 2 sin 2x+2x = . 2 = 2cos2x ?cos x? 11.解 设 P(x0,y0)为切点, 则切线斜率为 k=3x2 0-2. 故切线方程为 y-y0=(3x2 0-2)(x-x0).① ∵(x0,y0)在曲线上,∴y0=x3 0-2 x0.② 又∵(1,-1)在切线上, ∴将②式和(1,-1)代入①式得 2 -1-(x3 0-2x0)=(3x0-2)(1-x0). 1 解得 x0=1 或 x0=- . 2 故所求的切线方程为 5 y+1=x-1 或 y+1=- (x-1). 4 即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0. 12.D [由已知 f′(x)=sin θ·x2+ 3cos θ·x, π? ∴f′(1)=sin θ+ 3cos θ=2sin? ?θ+3?,

5π? π π 3π 又 θ∈? ?0,12?.∴3≤θ+3≤ 4 , π? 2 ∴ ≤sin? ?θ+3?≤1,∴ 2≤f′(1)≤2.] 2 13. 解 依题意知与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x2 的切线的切点到直线 x-y-2 2 =0 的距离最短,设切点坐标为(x0,x0 ). 1 2 ∵y′=(x )′=2x,∴2x0=1,∴x0= . 2 1 1 ? 切点坐标为? ?2,4?. ?1-1-2? ?2 4 ? 7 2 ∴所求的最短距离 d= = . 8 2


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