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1.6微积分基本定理(用)


复习:1、定积分是怎样定义?
设函数f(x)在[a,b]上连续,在[a,b]中任意插入n-1个分点:

a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? b 把区间[a,b]等分成n个小区间,
在每个小区间 [ xi ?1 , xi ] 任取?i ?[ xi ?1 , xi ] ?Si ? f (?i )?x

作和式: ? f (?i )?x ? ? f (?i )(b ? a) / n.
i ?1
i ?1

n

n

且有, lim ? f (?i )(b ? a) / n ? A(常数)
n?0 i ?1

n

则,这个常数A称为f(x)在[a,b]上的定积分(简称积分) b 记作 f ( x)dx

?

a

即A ?

?

b

a

f ( x)dx ? lim ? f (? i ( ) b - a) / n
n ?0 i ?1

n

积分上限

积分和
b n

即A ? ? f ( x)dx ? lim ? f (?i( ) b - a) / n
a n ?0 i ?1
积分下限

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

[a , b] 积分区间

复习:2、定积分的几何意义是什么?
1、如果函数f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0时,那么: 定积分

?

b

a

f ( x)dx 就表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。

S1 S2

S3

2、定积分

形面积的代数和来表示。

?

b

a

f ( x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯

?

b

a

f ( x )dx ? S1 ? S 2 ? S 3

说明:
f ( x ) ? 0, f ( x ) ? 0,

?a f ( x )dx ? A ?a f ( x )dx ? ? A
A3 A4
b

b

曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值

A1

A2

?a f ( x )dx ? A1 ? A2 ? A3 ? A4
b

定积分的简单性质
(1)? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx (k为常数)
a a b b

(2) ? [f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a a a

b

b

b

(3)? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (a<c<b)
a a c

b

c

b

题型1:定积分的简单性质的应用
1、化简? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? ? ?
0 1 2 1 2 3 2008 2007

f ( x)dx ?

2、已知, ? dx ? 3, ?
0

3

3

0

求:
3 0

3 9 3 2 81 3 xdx ? , ? x dx ? 9, ? x dx ? 0 2 0 4

3 2 ( 1 ) ( 4 x ? 3 x ? 6 x ? 8)dx ? ? ?

(2) ? (?8 x 3 ? 21x 2 ? 12x ? 15)dx ? ?
0

3

点评:运用定积分的性质可以化简定积分计算,也可以 把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差

题型2:定积分的几何意义的应用

问题1:你能求出下列格式的值吗?不妨试试。

1、 4 dx =? ?
1

3

8

1 2 2、 xdx =? ?0 a 2
a
3 0

3、 ? ( 2 ? x)
0

3

2

5 dx=? 4、 ? 2

9 9 ? x dx=? ? 4
2

问题2:一个作变速直线运动的物体的运动规
律S=S(t)。由导数的概念可以知道,它在任意 时刻t的速度v(t)=S’(t)。设这个物体在时间 段〔a,b〕内的位移为S,你能分别用S(t),v(t) 来表示S吗?从中你能发现导数和定积分的内在 联系吗?

从定积分角度来看:如果物体运动的速度函数为
v=v(t),那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定 积分表示为

s ? ?a v(t )dt.
b

另一方面,从导数角度来看:如果已知该变速直
线运动的路程函数为s=s(t),则在时间区间[a,b]内物 体的位移为s(b)–s(a), 所以又有 ? v(t )dt
a b

? s(b) ? s(a).

由于 s' (t ) ? v(t ),即s(t)是v(t)的原函数,这就是说,
b 定积分 ?a v(t )dt 等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间

[a,b]上的增量s(b)–s(a).

微积分基本定理:
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,并且F'(x)=f(x),则,

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

这个结论叫微积分基本定理(fundamental theorem of calculus),又叫牛顿-莱布尼茨公式(Newton-Leibniz Formula).
b a

或记作

? f ( x)dx ? F ( x) ? F (b) ? F (a).
b a

说明:
牛顿-莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便 的基本方法,即求定积分的值,只要求出被积 函数 f(x)的一个原函数F(x),然后计算原函数 在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把 计算定积分归结为求原函数的问题。

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) | ? F (b) ? F (a)
b a

例1 计算下列定积分

?1??

2

1

1 dx x
2

?2?? 2 xdx
3 1
'

找出f(x)的原 函数是关键

1 解(1) ? ?ln x ? ? x
? ?1
b

1 b 公式1: dx ? ln x ? ln b ? ln a a ?a x

1 2 dx ? ln x 1 ? ln 2 ? ln1 ? ln 2 x

?2?? 2 xdx ? x
3 1

2 3 1

? 3 ?1 ? 8
2 2

练习1:

1 ?1?? 1dx ? ____
1 0

?2?? xdx ?
1 0

?3?? ?4??
b a

1 3 x dx ? ____ 4 0 15 2 3 x dx ? ____ 4 ?1
1

1 ____ 2

x 公式 2: ? x dx ? n ? 1
n?1 n

b a

例2.计算定积分

?
解:

3

1

1 ? ? ? 3x ? ?dx x ? ?
2 2

? x

? ?

3 '

1 ?1? ? 3x ,? ? ? ? 2 x ? x?
2
3 2 3 1 1

'

? 原式 ? ? 3 x dx ? ?
3 3 1 3 1

1 dx ? ? 3 x dx ? ? x
3 2 2 1

3

1

? 1 ?? ? x

2

? ?dx ?

1 ? 1 1 ? 76 ?x ? ? ?3 ? 1 ? ? ? ? ? ? x ? 3 1? 3
3 3

达标练习:

?1?? ?? 3t
1 0

2

1 ? 2?dt ? ___
x?

?2??

2

1 2

3 ? ln 2 1? ? 2 ? x ? ?dx ? ___

?

?3?? ?3 x
?1 2

2

9 ? 2 x ? 1?dx ? ___
2

?4?? ?e
1

x

? 1?dx ? e ___ ?e ?1
初等函数

1.计算定积分

例 13 计算下列定积分 : 例

?

?

0

sin xdx , ? sin xdx , ? sin xdx .
?
0

2?

2?

解 因为? ? cos x ? ? sin x ,
'

?

?

0

sin xdx ? ? ? cos x ? |? 0 ? ?? cos π ? ? ?? cos 0? ? 2;

? ?



π 2π

π sin xdx ? ?? cos x ? |2 π ? ?? cos 2π ? ? ?? cos π ? ? ?2; 2π ? ?? cos 2π? ? ?? cos 0? ? 0. sin xdx ? ?? cos x ? |0

0

我们发现:
(1)定积分的值可取正值也可取负值,还可以是0; (2)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值取正值,且等于 曲边梯形的面积; (3)当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值取负值,且等于 曲边梯形的面积的相反数; (4)当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方 的面积时,定积分的值为0,且等于位于轴上方的曲边梯形面 积减去位于轴下方的曲边梯形的面积.
y
1

y ? sin x

?1

o

π



y 1

y ? sin x

y


1
x
?1

y ? sin x

x

?1

o

π



o

π

x

得到定积分的几何意义:曲边梯形面积的代数和

三、小结:
1、微积分基本定理

?a f ( x )dx ? F (b) ? F (a )

b

1 b 公式1: dx ? ln x a ? ln b ? ln a a x n?1 b x b n 公式 2: x dx ? a a n?1

?

b

?

2.基本初等函数的原函数公式

被积 函数f(x)
一个原 函数F(x)

c cx

x

n

sin x cos x

a

x
x

e e

x

1 x
lnx

a 1 n ?1 x ? cos x sin x n ?1 ln a

x

3、定积分的几何意义:曲边梯形面积的代数和


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