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昌平区2016高三期末文科数学答案


昌平区 2015-2016 学年第二学期高二年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准 (文科) 2016.1

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.) 1 2 题号 答案 B D

3 C

4 D

5 C


6 A

7 B

8 A

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 5 (10) ?12 或 ?2 (11) 4

(12) 2

(13)3;

4 2 9

(14) 乙;甲

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 解: (1) f ( x) = 2sin x cos x + cos2 x ? sin 2 x

= sin 2 x + cos 2 x

=

2 sin(2 x +

π ). 4 2π 2π = = π. ω 2

?????????4 分 ?????????6 分

所以 最小正周期 T = (2)由 ? 得?

π π π + 2kπ ? 2 x + ? + 2kπ, k ? Z, 2 4 2 3π π + kπ ? x ? + kπ, k ? Z. 8 8
?????????12 分

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间是 [(16)(本小题满分 13 分)

3π π + kπ, + kπ], k ? Z. ?????13 分 8 8

解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d , 由 a2 = 1, a4 = 5, 得 a1 ? ?1, d ? 2 所以 an = a1 + (n ?1)d = 2n ? 3, n ? ??. (II) 由 a1 ? ?1, b1 ? 3, 得 c1 ? 2 . a2 ?, b2 ? 3, 得 c2 ? 4 . 因为 {cn } 是等比数列, ????????4 分

c2 ? 2, c1

所以 cn ? c1 ? (

c2 n ?1 ) ? 2n. c1

????????8 分

所以 bn ? cn ? an ? 2n ? (2n ? 3). 所以 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

2 ? 2n ?1 n(?1 ? 2n ? 3) ? 2n?1 ? n2 ? 2n ? 2 , n ?? ?. ? 1? 2 2
?????13 分

(17)(本小题满分 13 分) 解: (I) 小王这 8 天 每天“健步走”步数的平均数为
16 ? 3 ? 17 ? 2 ? 18 ?1 ? 19 ? 2 ? 17.25 (千步) . 8

????????6 分

(II)设小王这 2 天通过“健步走”消耗的能量和不小于 1000 卡路里为事件 A. “健步走”17 千步的天数为 2 天,记为 a1 , a2 ,“健步走”18 千步的天数为 1 天, 记为 b1 , “健步走”19 千步的天数为 2 天,记为 c1 , c2 . 5 天中任选 2 天包含基本事件有: a1a2 , a1b1 , a1c1 , a1c2 , a2b1 , a2c1 , a2c2 , b1c1 , b1c2 , c1c2 , 共 10 个. 事件 A 包含基本事件有: b1c1 , b1c2 , c1c2 共 3 个. 所以 P( A) ?
3 . 10

????????13 分

(18) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明: 连结 OD . 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

A1
因为 AB ? AA1 , 所以 四边形 AA1 B1 B 为正方形, 所以 O 为 A1 B 中点. 因为 D 为 BC 中点, 所以 OD 为 ?A1 BC 的中位线, 所以 OD / / A1C. 因为 A1C ? 平面 AB1 D ,

B1 O E

C1

A D B

C

OD ? 平面 AB1 D ,

所以 A1C // 平面 AB1 D .

????????4 分

(Ⅱ)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? AB , AC ? AA1 , AA1 I AB ? A , 所以 AC ? 平面 AA1 B1 B , 所以 AC ? A1 B. 在正方形 AA1 B1 B 中, A1 B ? AB1 , AC I AB1 ? A 所以 A1 B ? 平面 AB1C . (Ⅲ) 存在 取 B1C 中点 E ,连结 DE , AE . 所以 DE // BB1 . 所以 DE ? BC . 因为 AB ? AC , D 为 BC 中点, 所以 AD ? BC . 因为 AD I DE ? D , 所以 BC ? 平面 ADE . 所以 BC ? AE . 所以 当 E 为 B1C 中点时, BC ? AE . (19) (本小题满分 13 分) ??????14 分 ????????9 分

? c 3 , ?e ? ? a 2 ? 1 ?3 解:(I)由题意得 ? 2 ? 2 ? 1, 4b ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? ?
所以椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)法一:

解得 a ? 4, b ? 1 .
2 2

x2 ? y 2 ? 1. 4

????????5 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) . 将 y ? kx ? m 代入

x2 ? y 2 ? 1. 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 , 4

? ? (8km) 2 ? 4(4k 2 ? 1)(4m 2 ? 4) ? 0, x1 ? x2 ?
故 xM ?

?8km , 4k 2 ? 1

x1 ? x2 4km ?? 2 , 2 4k ? 1

yM ? kxM ? m ?

1 m y 1 .于是直线 OM 的斜率 kOM ? M ? ? ,即 kOM ? k ? ? . 2 4 4k ? 1 xM 4k
1 . 4
????????13 分

所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 ?

法二: 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) .则 xM ? 0, x1 ? x2 ? 0,

? x12 ? y12 ? 1 ? ( x ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4 ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , 由 ? 得 1 2 4 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ? 4


yM ( y1 ? y2 ) 1 ?? , xM ( x1 ? x2 ) 4

即 kOM ? k ? ?

1 . 4
1 . 4
???????13 分

所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 ? (20) (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:定义域为 (0, ??) , f ' ? x ? ? 由 题 意 , f ' ?1? ? 1 ,

1 . x

f ?1? ? 0 , 所 以 函 数 f ? x ? 在 点 ?1,f ?1? ? 处 的 切 线 方 程 为

y ? x ? 1 .???????4 分
(Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ,可转化为 当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? 0 恒成立. 设 g ( x) ? f ? x ? ? x ? 1 , 所以 g '( x) ?
1 1? x . ?1 ? x x

当 x ? 1 时, g '( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (1, ??) 上为减函数,所以 g ( x) ? g (1) ? 0 ,

所以当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 成立. (Ⅲ)设 h ? x ? ? f ? x ? ? k ? x ? 1? ,定义域为 (0, ??) , 所以 h ' ? x ? ?

????????8 分

1 1 ? kx ?k ? . x x

⑴当 k ? 0 时,对于任意的 x ? 0 , h '( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 (0, ??) 上为增函数,所以 h( x) 无最大值,即 k ? 0 不符合题意. ⑵当 k ? 0 时,令 h ' ? x ? ? 0 ,即 1 ? kx ? 0 ,则 x ? 所以 h( x) , h '( x) 变化如下:
x
h '( x)

1 ?0. k

0

1 (0, ) k

1 k
0 极大值

1 ( , ??) k

?
h(0)

? ↘

h( x )



1 ?1? 因为 h( x) max ? h ? ? ? ln ? 1 ? k . k ?k? 1 所以 ln ? 1 ? k ? 2k ? 2 成立,即 ln k ? ?k ? 1 , k

令 p(k ) ? ln k ? k ? 1 , k ? 0 , 所以 p '(k ) ?
1 ? 1 ? 0 ,即 p(k ) 在 (0, ??) 上为增函数. k

又因为 p(1) ? 0 ,所以当 0 ? k ? 1 时, p(k ) ? p(1) ? 0 . 所以, 0 ? k ? 1 时,命题成立. 综上, k 的取值范围为 (0,1) . ???????14 分


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