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三角函数练习课 文档 (2)


§3.3 三角函数的图像和性质
一、复习: sin30= cos30= tan30=

那么 300 度,30000 度呢? 导入: 我们已经学习了锐角三角函数,知道它是以锐角为自变量,以比值为函数值 的函数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一 象限。在 ? 的终边上任取一点 P(a,b) ,它与原点的距离 r= a 2 ? b2 >0,表示三角
b a b b 函数;sin ? = , cos ? = , tan ? = .取 P,使 r=1,则 sin ? =b cos ? =a tan ? = , r r a a 二、新授: 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y) ,那么,

(1) y 叫做 ? 的正弦,记作 sin?,即 sin?=y; (2) x 叫做 ? 的余弦,记作 cos?,即 cos?=x;

(3)

y y 叫做 ? 的正切,记作 tan?,即 tan?= 。 x x

正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数 值的函数,我们将它们统称为三角函数。 5? 例 1、 求 的正弦,余弦和正切值。 3 解:sin
5? 1 ? 3 =sin(2 ? - ? )=-sin =3 3 3 2

☆:让学生熟悉三角函数的概念,用单位圆表示三角函数。 例 2、 已知角 ? 的终边经过 p(-3,-4) ,求角 ? 的正弦,余弦,正切值。 解:

y -4 x -3 P(-4,-3)

☆:通过这道题的求解,让学生知道质押知道终边上一个点的左边就可以求出三 角函数值,于是用角的终边上任意点坐标的比值来定义三角函数和用单位圆是等 价的。引导学生思考这种“等价性”的原因,并让他们自己给出新的定义: 角 ? 的终边上一点 P(a,b) ,它与原点的距离 r= a 2 ? b2 >0,则
b b 叫做三角形的正弦,即 sin?= ; r r a a (2) 叫做三角形的余弦,即 cos?= ; r r b b (3) 叫做三角形的正切,即 tan?=. a a 点明:用单位圆定义的好处就在于 r=1,这样,点的横坐标表示余弦值,纵坐标 表示正弦值。 ① 当 ? 的终边不在坐标轴上时,? 的某一三角函数值唯一确定 ② 当 ? 的终边在纵轴上时,tan? 不存在 ③当 ? 的终边在横在横轴上时,? 的三角函数质唯一确定 三、练习
(1)

1、若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 ? 在 ( ) A.第一、四象限 B.第一、三象限 C.第一、二象限 D.第二、四象限 2、角 ? 终边上有一点(a,a)则 sin ? = ( ) A.
2 2

B.-

2 或 2

2 2

C.-

2 2

D.1

3、下列说法正确的是(B )

A.正角的正弦值是正的,负角的正弦值是负的,零角的正弦值是零。 A A A B.设 A 是第三象限的角,且 | sin |? ? sin ,则 是第四象限的角。 2 2 2 C.对任意的角 ? ,都有 sin ? ? cos? ? sin ? ? cos? 。 D.若 cos? 与 tan ? 同号,则 ? 是第二象限的角。 4、sin2·cos3·tan4 的符号是 ( ) A.小于 0 B.大于 0 C.等于 0 二,四 D.不确定 象限角或 y 轴负半

5、适合条件|sin ? |=-sin ? 的角 ? 是第 轴。

6、若点 P(-3,y)是角α 终边上一点,且 sin ? ? ?

2 ,则y的值是 3



7、已知角θ 的终边上一点 P 的坐标是(x,–2)(x≠0),且 cos ? ? θ 和 tanθ 的值。 四、小结:本节内容 (1)三角函数值的两种求法: (2)三角函数值在各个象限的符号。 五、布置作业:习题 1.2 A 组 1. 2.

x ,求 sin 3

练习课
一、复习:1 设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一
王新敞
奎屯 新疆

点 P(x,y) 则 P 与原点的距离

r?

x ? y ? x2 ? y2 ? 0
记作:

2

2

y 2.比值 叫做 ? 的正弦 r y sin ? ? r x 比值 叫做 ? 的余弦 r y 比值 叫做 ? 的正切 x

P (x, y)
r

x 记作: cos ? ? r y 记作: tan ? ? x

?

导入:如何作出正弦函数、余弦函数的图象? 二、讲授新课: 第一步:列表 在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单位
王新敞
奎屯 新疆

圆,从这个圆与 x 轴的交点 A 起把圆分成几等份,过圆上的各分点作 x 轴的 ? ? ? 垂线,可以得到对应于角 0, , , ,?,2π 的正弦线即列表。 6 3 2 第二步:描点.我们把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成几等份,把角 x 的 正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正弦 线的终点就是正弦函数图象上的点. 第三步:连线 用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函 数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象. 以上我们作出了 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象,现在把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为 2π ,就得到 y=sinx,x ∈R 叫做正弦曲线 3.用五点法作正弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:
王新敞
奎屯 新疆

(0,0)

( ,1)

? 2

(?,0)

(

3? ,-1) 2

(2?,0)

只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高 时,常采用五点法作正弦函数的简图,要求熟练掌握.

例 1 作函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的简图 解:列表 X Sinx 0 0

? 2
1

?
0

3? 2

2?

-1

0

描点连线(如右下图所示) 给出正弦的图象,让学生观察:

(1) 定义域:R (2) 值域:[-1,1] 最值情况:正弦函数 y ? sin x ,当且仅当 x ? 最大值 1; 当且仅当 x ? ?

?
2

? 2k? (k ? Z ) 时,函数值 y 有

?
2

? 2k? (k ? Z ) 时,函数值 y 有最小值 ? 1 。

余弦函数 y ? cos x ,当且仅当 x ? 2k? (k ? Z ) 时,函数值 y 有最大值 1; 当且仅当 x ? (2k ? 1)? (k ? Z ) 时,函数值 y 有最小值 ? 1 。 (3)对称性: ? 对称轴: x ? ? k? , k ? Z ;对称中心: ?k? ,0?(k ? Z ) 2 操作:引导学生尽可能地从图象中得到相关的性质,老师不必追求各个性质 的先后顺序,老师也可给出思考的方向。

例 1、求下列函数的定义域 (1) y ? 2 ? sin x ; (2) y ? sin x ? 25 ? x 2 例 2、 求使下列函数取得最大值、 最小值的自变量 x 的集合, 并说出最大 (小) 值是什么。 (1) y ? cos x ? 1, x ? R (2) y ? sin 2 x, x ? R (3) y ? cos x ? 3 sin x, x ? R (4) y ? sin 2 x ? sin x ? 1, x ? R
cos x ? 2 ,x?R cos x ? 2 变式、限制 x 的范围,求对应的值域。 分析:用三角函数值的情况进行分析,再求值。 解略

(5) y ?

三、当堂练习:
1.已知

x ?[0,2 π], 如果y=cosx是增函数,且y=sinx是减函数,那么

π π 3π 3π A .0 ? x ? , B. ? x ? π; C . π ? x ? ; D. ? x ? 2π 2 2 2 2
2.cos1,cos2,cos3的大小关系是

A.cos1>cos2>cos3
3.如果

B.cos1>ccos3>cos2

C.cos3>cos2>cos1

D.cos2>cos1>cos3

f ?x ? ? ? ? f ?? x ?,且 f ?? x ? ? f ?x ? ,则 f ?x ? 可以是
B.cosx C.sinx D.|sinx|

A.sin2x

4.

若0 ? ? ? ? ?

?
4

, sin? ? cos ? ? a, sin ? ? cos ? ? b,则
C. ab ? 1 D. ab ? 2

A. a ? b

B. a ? b

5.若 sin ? cos ? ? 0 则 ? 在

A.第一、二象限

B.第二、三象限

C.第一、三象限

D.第二、四象限

四、小结:本节内容 (1)三角函数的求法 (2) 三角函数的值的符号 (3)同角三角涵上的基本关系 五、作业:练习册 30、31 页。


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