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直线与圆锥曲线的位置关系


直线与圆锥曲线位置关系
一、基础知识: (一)直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系:相交(两个公共点) ,相切(一个公共点) ,相离(无公共点) 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤:通过方程根的个数进行判定,

x2 y 2 下面以直线 y ? kx ? m 和椭圆: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 为例 a b
(1)联立直线与椭圆方程: ?

? y ? kx ? m
2 2 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b

(2)确定主变量 x (或 y )并通过直线方程消去另一变量 y (或 x ) ,代入椭圆方程得到关
2 2 2 2 2 于主变量的一元二次方程: b x ? a ? kx ? m ? ? a b ,整理可得: 2

?a k
2

2

? b 2 ? x 2 ? 2a 2 kxm ? a 2 m 2 ? a 2b 2 ? 0

(3)通过计算判别式 ? 的符号判断方程根的个数,从而判定直线与椭圆的位置关系 ① ? ? 0 ? 方程有两个不同实根 ? 直线与椭圆相交 ② ? ? 0 ? 方程有两个相同实根 ? 直线与椭圆相切 ③ ? ? 0 ? 方程没有实根 ? 直线与椭圆相离 3、若直线上的某点位于椭圆内部,则该直线一定与椭圆相交 (二)直线与双曲线位置关系 1、直线与双曲线位置关系,相交,相切,相离 2、直线与双曲线位置关系的判定:与椭圆相同,可通过方程根的个数进行判定 以直线 y ? kx ? m 和椭圆:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 为例: a 2 b2
? y ? kx ? m
2 2 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b

(1)联立直线与双曲线方程: ?

,消元代入后可得:

?b

2

? a 2 k 2 ? x 2 ? 2a 2 kxm ? ? a 2 m 2 ? a 2b 2 ? ? 0
2 2 2

(2)与椭圆不同,在椭圆中,因为 a k ? b ? 0 ,所以消元后的方程一定是二次方程,但 双曲线中,消元后的方程二次项系数为 b ? a k ,有可能为零。所以要分情况进行讨论
2 2 2

当b ? a k ? 0 ? k ? ?
2 2 2

b 且 m ? 0 时,方程变为一次方程,有一个根。此时直线与双曲 a

线相交,只有一个公共点 当b ? a k ? 0 ? ?
2 2 2

b b ? k ? 时,常数项为 ? ? a 2 m 2 ? a 2b 2 ? ? 0 ,所以 ? ? 0 恒成立,此 a a b b 或 k ? ? 时,直线与双曲线的公共点个数需要用 ? 判断: a a

时直线与双曲线相交 当b ? a k ? 0 ? k ?
2 2 2

① ? ? 0 ? 方程有两个不同实根 ? 直线与双曲线相交 ② ? ? 0 ? 方程有两个相同实根 ? 直线与双曲线相切 ③ ? ? 0 ? 方程没有实根 ? 直线与双曲线相离 注:对于直线与双曲线的位置关系,不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与 双曲线有一个公共点时,如果是通过一次方程解出,则为相交;如果是通过二次方程解出相 同的根,则为相切 (3)直线与双曲线交点的位置判定:因为双曲线上的点横坐标的范围为

? ??, ?a? ? ?a, ??? ,所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上:当 x ? a 时,点
位于双曲线的右支;当 x ? a 时,点位于双曲线的左支。对于方程:

?b
2 2

2

? a 2 k 2 ? x 2 ? 2a 2 kxm ? ? a 2 m 2 ? a 2b 2 ? ? 0 ,设两个根为 x1 , x2

① 当b ? a k ? 0 ? ?
2

b b a 2 m 2 ? a 2b 2 ? k ? 时,则 x1 x2 ? ? 2 ? 0 ,所以 x1 , x2 异号,即 a a b ? a 2k 2

交点分别位于双曲线的左,右支
2 2 2 ② 当b ?a k ? 0? k ?

b b a 2 m 2 ? a 2b 2 ? ? 0 k ? ? ? 0 ,所以 或 ,且 时, x1 x2 ? ? 2 a a b ? a 2k 2

x1 , x2 同号,即交点位于同一支上
(4)直线与双曲线位置关系的几何解释:通过(2)可发现直线与双曲线的位置关系与直线 的斜率相关,其分界点 ? 关系的判定 ① k ??

b 刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位置 a

b 且 m ? 0 时,此时直线与渐近线平行,可视为渐近线进行平移,则在平移过程 a

中与双曲线的一支相交的同时,也在远离双曲线的另一支,所以只有一个交点

② ?

b b ? k ? 时,直线的斜率介于两条渐近线斜率之中,通过图像可得无论如何平移直 a a
b b 或 k ? ? 时,此时直线比渐近线“更陡” ,通过平移观察可得: a a

线,直线均与双曲线有两个交点,且两个交点分别位于双曲线的左,右支上。 ③ b ?a k ?0?k ?
2 2 2

直线不一定与双曲线有公共点(与 ? 的符号对应) ,可能相离,相切,相交,如果相交则交 点位于双曲线同一支上。 (三)直线与抛物线位置关系:相交,相切,相离 1、位置关系的判定:以直线 y ? kx ? m 和抛物线: y2 ? 2 px ? p ? 0? 为例 联立方程: ?

? y ? kx ? m ? y ? 2 px
2

? ? kx ? m ? ? 2 px ,整理后可得:
2

k 2 x2 ? ? 2km ? 2 p ? x ? m2 ? 0
(1)当 k ? 0 时,此时方程为关于 x 的一次方程,所以有一个实根。此时直线为水平线, 与抛物线相交 (2)当 k ? 0 时,则方程为关于 x 的二次方程,可通过判别式进行判定 ① ? ? 0 ? 方程有两个不同实根 ? 直线与抛物线相交 ② ? ? 0 ? 方程有两个相同实根 ? 直线与抛物线相切 ③ ? ? 0 ? 方程没有实根 ? 直线与抛物线相离 2、焦点弦问题:设抛物线方程: y ? 2 px ,
2

过焦点的直线 l : y ? k ? x ?

? ?

p? ,对应倾斜角为 ? ,与抛物线交于 ? (斜率存在且 k ? 0 ) 2?

A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?
? y 2 ? 2 px 2 p? ? 2? 联立方程: ? p ? ? k ? x ? ? ? 2 px ,整理可得: ? 2? ? ?y ? k ? x ? 2 ? ? ? ?

k 2 x2 ? ? k 2 p ? 2 p ? x ?
(1) x1 ? x2 ?

k 2 p2 ?0 4

p2 4

y1 y2 ? ? p2

(2) AB ? x1 ? x2 ? p ?

k2 p ? 2p 2k 2 p ? 2 p 1? ? ? p ? ? 2 p ?1 ? 2 ? 2 2 k k ? k ?
? cos 2 ? ? 2p ? ?? ? ? 2 p ?1 ? 2 sin ? ? sin 2 ? ? ?

1 ? ? 2 p ?1 ? tan 2 ? ?
(3) S? AOB ?

1 1 1 p 2p p2 ? dO ?l ? AB ? ? ? OF ? sin ? ? ? AB ? ? ? sin ? ? 2 ? 2 2 2 2 sin ? 2sin ?

(四)圆锥曲线问题的解决思路与常用公式: 1、直线与圆锥曲线问题的特点: (1)题目贯穿一至两个核心变量(其余变量均为配角,早晚利用条件消掉) , (2)条件与直线和曲线的交点相关,所以可设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,至于 A, B 坐标是否需 要解出,则看题目中的条件,以及坐标的形式是否复杂 (3)通过联立方程消元,可得到关于 x (或 y )的二次方程,如果所求的问题与两根的和 或乘积有关,则可利用韦达定理进行整体代入,从而不需求出 x1, x2 , y1, y2 (所谓“设而不 求” ) (4)有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换,注重数形几何,注重整体代入。则可 简化运算的过程 这几点归纳起来就是“以一个(或两个)核心变量为中心,以交点 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 为两个基本点,坚持韦达定理四个基本公式( x1 ? x2 , x1x2 , y1 ? y2 , y1 y2 ,坚持数形结合, 坚持整体代入。直至解决解析几何问题“ 2、韦达定理:是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积,在解析几何中得到广泛 使用的原因主要有两个: 一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数, 进而导致直接利用 求根公式计算出来的实根形式非常复杂, 难以参与后面的运算; 二是解析几何的一些问题或 是步骤经常与两个根的和与差产生联系。 进而在思路上就想利用韦达定理, 绕开繁杂的求根 结果,通过整体代入的方式得到答案。所以说,解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代 入的思想,并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示(优先求点,以应 对更复杂的运算) ,或者所求的问题与两根和,乘积无关,则韦达定理毫无用武之地。 3、直线方程的形式:直线的方程可设为两种形式: (1)斜截式: y ? kx ? m ,此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去 y 则此形式比较好

用, 且斜率在直线方程中能够体现, 在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是 否符合条件 (2) x ? my ? b ,此直线不能表示水平线,但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方 程后消去 x 时使用,多用于抛物线 y 2 ? 2 px (消元后的二次方程形式简单) 。此直线不能直 接体现斜率,当 m ? 0 时,斜率 k ?

1 m

l 上两点 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 4、 弦长公式: (已知直线上的两点距离) 设直线 l : y ? kx ? m ,
所以 AB ? 1 ? k
2

?1? x1 ? x2 或 AB ? 1 ? ? ? y1 ? y2 ?k?
? y1 ? kx1 ? m ? y2 ? kx2 ? m

2

(1)证明:因为 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 在直线 l 上,所以 ?

? AB ?

? x1 ? x2 ?
2

2

? y1 ? kx1 ? m 2 可得: ? ? y1 ? y2 ? ,代入 ? ? y2 ? kx2 ? m
2

AB ?

? x1 ? x2 ?

?? ?? kx1 ? m ? ? ? kx2 ? m ?? ? ?
2

? x1 ? x2 ?

2

?? ?k ? x1 ? x2 ?? ?

2

? 1? k2

? x1 ? x2 ?

? 1 ? k 2 x1 ? x2
2

?1? 同理可证得 AB ? 1 ? ? ? y1 ? y2 ?k?
(2)弦长公式的适用范围为直线上的任意两点,但如果 A, B 为直线与曲线的交点(即 AB 为 曲 线 上 的 弦 ), 则

x1 ? x2
2

( 或

y1 ? y2

) 可 进 行 变 形 :

x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ?

2

?

? x1 ? x2 ?

? 4 x1x2 ,从而可用方程的韦达定理进行整体代入。

5、点差法:这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法,适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方 程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 为例,设直线 y ? kx ? m 与椭圆交于 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点, a 2 b2

则该两点满足椭圆方程,有:

? x12 y12 ? ?1 ? ? a 2 b2 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? a 2 b2

考虑两个方程左右分别作差, 并利用平方差公式进行分解, 则可得到两个量之间的联系:

1 2 1 2 2 x ? x2 ? 2 ? y12 ? y2 ? ??0 ① 2 ? 1 a b 1 1 ? 2 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? 2 ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 a b

?

?x ? x ? 1 ? y ? y2 ? ? 0 1 x ? x2 ? 1 2 ? 2 ? y1 ? y2 ? 1 2 ? 1 a 2 b 2



由等式可知: 其中直线 AB 的斜率 k ?

y1 ? y2 ? x ? x2 y1 ? y2 ? ,AB 中点的坐标为 ? 1 , ?, x1 ? x2 2 ? ? 2

这些要素均在②式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线 AB 的斜率与 AB 中点 的联系,从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由①可得在涉及 A, B 坐标的平方差问 题中也可使用点差法。 二、典型例题

x2 y 2 ? ? 1 有公共点,则实数 m 的取值范围 例 1:不论 k 为何值,直线 y ? kx ? 1 与椭圆 7 m
是( A. )

? 0,1?

B.

?1, ???

C.

?1,7? ? ?7, ???

D.

? 0,7 ?

思路一:可通过联立方程,消去变量(如消去 y ) ,得到关于 x 的二次方程,因为直线与椭 圆有公共点,所以 ? ? 0 在 x ? R 恒成立,从而将问题转化为恒成立问题,解出 m 即可 解: ?

? y ? kx ? 1 ?mx ? 7 y ? 7 m
2 2
2 2

? mx 2 ? 7 ? kx ? 1? ? 7 m ,整理可得:
2

? m ? 7k ? x

? 14kx ? 7 ? 7m ? 0

?? ? ?14k ? ? 4 ? m ? 7k 2 ? ? 7 ? 7m ? ? 0
2

即 ?1 ? m ? 7k ? 0 ? m ? ?7k ? 1
2 2

? m ? ? ?7k 2 ? 1?
?m ? 7

max

?1

?m ??1, 7 , ? ? ?? 7? ?

思路二:从所给含参直线 y ? kx ? 1 入手可知直线过定点 ? 0,1? ,所以若过定点的直线均与

椭圆有公共点,则该点位于椭圆的内部或椭圆上,所以代入 ? 0,1? 后

x2 y 2 ? ? 1 ,即 7 m

1 ? 1 ? m ? 1 ,因为是椭圆,所以 m ? 7 ,故 m 的取值范围是 ?1,7? ? ? 7, ??? m2
答案:C 小炼有话说: (1)比较两种思路,第一种思路比较传统,通过根的个数来确定直线与椭圆 位置关系, 进而将问题转化为不等式恒成立问题求解; 第二种思路是抓住点与椭圆位置关系 的特点,即若点在封闭曲线内,则过该点的直线必与椭圆相交,从而以定点为突破口巧妙解 决问题。在思路二中,从含参直线能发现定点是关键 (2)本题还要注意细节,椭圆方程中 x2 , y 2 的系数不同,所以 m ? 7

例 2:已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一 12 4


个交点,则此直线斜率的取值范围是( A.

? 3 3? ? ? ? 3 , 3 ? ? ? ?

B.

??

3, 3

?

C.

? 3 3? , ?? ? 3 3 ? ?

D.

? ? 3, 3 ? ? ?

思路:由

x2 y 2 3 ? ? 1 可得渐近线方程为: y ? ? x ,若过右焦点的直线与右支只有一个 12 4 3

交点,则直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值,即

k ?

3 3 3 ?? ?k ? 3 3 3

答案:C 小 炼 有 话 说 :本题是利用“基础知识”的结论直接得到的答案,代数的推理如下: 由

x2 y 2 ? ? 1 可知 F ? 4,0? ,设直线 l : y ? k ? x ? 4? ,联立方程可得: 12 4

2 2 ? 2 ? x ? 3 y ? 12 ? x 2 ? 3k 2 ? x ? 4 ? ? 12 ,整理后可得: ? ? ? y ? k ? x ? 4?

?1 ? 3k ? x
2

2

? 24k 2 x ? ? 48k 2 ? 12 ? ? 0

当 1 ? 3k ? 0 ? k ? ?
2

7 3 时, 8 x ? 28 ? 0 ? x ? ,即位于双曲线右支,符合题意 2 3

当 1 ? 3k ? 0 时, ? ? 24k
2

?

2 2

?

2 2 ? ? 4 ?1 ? 3k 2 ? ? ? ? ? ? 48k ? 12 ?? ? 48 ? k ? 1? ? 0

?直线与双曲线必有两个交点,设为 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ?
因为直线与双曲线的右支有且只有一个交点

? x1 x2 ? 0 ,即 ?

48k 2 ? 12 ?0 1 ? 3k 2

? 3k 2 ? 1 ? 0 ? ?

3 3 ?k? 3 3

综上所述: ?

3 3 ?k? 3 3
2

例 3:已知抛物线 C 的方程为 x ? 公共点,则实数 t 的取值范围是( A.

1 y ,过点 A? 0, ?1? 和点 B ? t,3? 的直线与抛物线 C 没有 2
) B.

? ??, ?1? ? ?1, ???

? ? 2? ? 2 , ?? ? ? ??, ? ??? 2 ? ? 2 ? ?

C.

? ??, ?2 2 ? ? ? 2

2, ??

?

D.

? ??, ? 2 ? ? ?

2, ??

?

思路:由 A, B 两点可确定直线 AB 的方程(含 t ) ,再通过与抛物线方程联立,利用 ? ? 0 即 可得到关于 t 的不等式,从而解得 t 的范围 解:若 t ? 0 ,则直线 AB : x ? 0 与抛物线有公共点,不符题意 若 t ? 0 ,则 k AB ?

4 t

? AB : y ?

4 x ? 1 ,与椭圆联立方程: t

? 2 1 x ? y ? 2 1 ? 2 ? x2 ? x ? ? t 2 ?y ? 4 x ?1 ? t ?
? 2tx 2 ? 4 x ? t ? 0

?直线与抛物线无公共点

?? ? 16 ? 8t 2 ? 0 ? t ? 2 或 t ? ? 2
答案:D 例 4 :过双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A, B 两点,若实数 ? 使得 2

AB ? ? 的直线恰有 3 条,则 ? ? _______

思路:由双曲线方程可知 F

?

3,0 ,当 l 斜率不存在时,可知 AB 为通径,计算可得:

?

AB ? 4 ,当 l 斜率存在时,设直线 l : y ? k x ? 3 ,与椭圆方程联立,利用弦长公式可
得 AB ?

?

?

4 ?1 ? k 2 ? 2?k
2

为关于 k 的表达式,即

4 ?1 ? k 2 ? 2?k
2

? ? 。可解得: k2 ?

2? ? 4 或 ??4

2? ? 4 2? ? 4 2? ? 4 ?0或 ? 0 ,即 ? ? ?2 时,可得 k ? 0 ,仅有一解,不符 。若 ? ?4 ??4 ? ?4 2? ? 4 2? ? 4 ?0且 ? 0 ,则每个方程只能无解或两解。所以可知当 ? ? 4 时, 题意。若 ??4 ? ?4 k2 ?
方程有两解,再结合斜率不存在的情况,共有 3 解。符合题意,所以 ? ? 4 解:由双曲线 x ?
2

y2 ? 1 可得 a ? 1, b ? 2, c ? 3 2

?F

?

3,0 ,

?

当 AB 斜率不存在时, l 的方程为 x ? 若直线 l 斜率存在,不妨设为 k

3

? AB 为通径,即 AB ?

2b2 ?4 a

则设 l : y ? k x ? 3 , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?
2 2 ? ?2 x ? y ? 2 2 2 联立直线与椭圆方程: ? 消去 y 可得: 2 x ? k x ? 3 y ? k x ? 3 ? ?

?

?

?

?

?

?

2

? 2 ,整理可得:

?2 ? k ? x
2

2

? 2 3k 2 x ? ? 3k 2 ? 2 ? ? 0

?? ? 2 3k 2

?

?

2

? 4 ? 2 ? k 2 ?? 3k 2 ? 2 ? ? 16k 2 ? 16
2

4 ?1 ? k 2 ? ? ? AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? k ? ? ?? 2 ? k2 2 ? k2
2

?可得: k 2 ?


2? ? 4 ? 0 时,即 ? ? 2 ,则方程①的解为 k ? 0 ,只有一解,不符题意 ??4 2? ? 4 ? 0 ,即 ? ? ?2 ,则方程①的解为 k ? 0 ,只有一解,不符题意 同理,当 ? ?4 2? ? 4 2? ? 4 ?0且 ? 0 时,则每个方程的解为 0 个或两个,总和无法达到 3 个,不符 当 ??4 ? ?4
题意 所以若 AB ? ? 的直线恰有 3 条,只能 ? ? 4 ,方程①解得: k ? ?

2? ? 4 2? ? 4 2 或k ? ??4 ? ?4



2 2

? 满足条件的直线 AB 的方程为: x ? 3 , y ?
答案: ? ? 4 例 5:已知椭圆

2 2 x? 3 ,y?? x? 3 2 2

?

?

?

?

x2 y2 ? ? 1 ,则当在此椭圆上存在不同两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称,则 4 3
) B. ?

m 的取值范围是(
A.

?

13 13 ?m? 13 13 13 13 ?m? 13 13

2 13 2 13 ?m? 13 13 2 13 2 13 ?m? 13 13
? 2 x0 ? x1 ? x2 ,由 ? 2 y0 ? y1 ? y2

C.

?

D. ?

思路:设椭圆上两点 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,中点坐标为 ? x0 , y0 ? ,则有 ?

中点问题想到点差法,则有 ?

2 2 ? ?3x1 ? 4 y1 ? 12 2 2 ? 3 ? x12 ? x2 ? 4 ? y12 ? y2 ? ? ? 0 ,变形可得: 2 2 3 x ? 4 y ? 12 ? ? 2 2

3? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? 4 ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 ①由对称关系和对称轴方程可得,直线
AB 的斜率 k ? ?

1 y1 ? y2 ? 1? ,所以方程①转化为: 6 x0 ? 8 y0 ? ? ? ? ? 0 ? y0 ? 3x0 , ? 4 x1 ? x2 ? 4?
? x0 ? ?m , ? y0 ? ?3m

由对称性可知 AB 中点 ? x0 , y0 ? 在对称轴上, 所以有 y0 ? 4 x0 ? m , 所以解得:?

2 2 依 题 意 可 得 : 点 ? x0 , y0 ? 必 在 椭 圆 内 , 所 以 有 3x0 ? 4 y0 ? 12 , 代 入 可 得 :

3 ? ?m ? ? 4 ? ?3m ? ? 12 ,解得: ?
2 2

2 13 2 13 ?m? 13 13

答案:D 例 6:过点 M ? ?2,0? 的直线 m 与椭圆

x2 P, ? y 2 ? 1 交于 P 1 2 的中点为 1, P 2 两点,线段 PP 2
) D.

设直线 m 的斜率为 k1 ? k1 ? 0? ,直线 OP 的斜率为 k2 ,则 k1k2 的值为( A.

2

B.

?2

C.

1 2

?

1 2

思路一:已知 m 与椭圆交于 P ? , P2? x2, y? 1, P 2 两个基本点,从而设 P 1 ? x1, y1 2 ,可知

y ? y2 ? x ? x2 y1 ? y2 ? 即 k2 ? 1 , 从结构上可联想到韦达定理, 设 m : y ? k1 ? x ? 2? , P? 1 , ?, x1 ? x2 2 ? ? 2

? x2 2 ? ? y ?1 联 立 椭 圆 方 程 : ?2 ? ? 2k12 ? 1? x 2 ? 8k12 x ? 8k12 ? 2 ? 0 , 可 得 : ? y ? k ? x ? 2? 1 ?
x1 ? x2 ? ?
k1k 2 ? ? 1 2

4k 1 8k12 , 所 以 y1 ? y 2 ? k 1 ,即 ? 4k ?1 2 1 , 则 k2 ? ? ?x ? 1 x ?2 2 2k1 ? 1 2k1 2k1 ? 1

思路二:线段 PP 1 2 为椭圆的弦,且问题围绕着弦中点 P 展开,在圆锥曲线中处理弦中点问

? x12 ? y12 ? 1 ? ?2 题 可 用 “ 点 差法” ,设 P , 两 式 作差 , 可 得: 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? , 则 有 ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ?2
1 2 1 2 2 x1 ? x2 ? ? y12 ? y2 ? 0 ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 , 发现等式中 ? ? ? 2 2
出现与中点和 PP 1 2 斜率相关的要素,其中 P ?

y1 ? y2 ? x1 ? x 2 y 1 ? y 2 ? ,且 , ? ,所以 k2 ? x1 ? x2 2 ? ? 2

k1 ?

1 1 y1 ? y2 1 ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ,所以等式化为 ? ? 0 即 ? k1k2 ? 0 ,所以 k1k2 ? ? 2 2 x1 ? x2 2 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ?

答案:D 小 炼 有 话 说 :两类问题适用于点差法,都是围绕着点差后式子出现平方差的特点。 (1)涉及弦中点的问题,此时点差之后利用平方差进行因式分解可得到中点坐标与直线斜 率的联系 (2)涉及到运用两点对应坐标平方差的条件,也可使用点差法 例 7:已知点 A ?1,2 ? 在抛物线 C : y ? 4x 上,过点 A 作两条直线分别交抛物线于点 D, E ,
2

直线 AD, AE 的斜率分别为 k AD , k AE ,若直线 DE 过点 P ? ?1, ?2? ,则 k AD ? k AE ? ( A.



4

B.

3

C.

2

D.

1
,所以可从直

思路:设 D ? x1, y1 ? , E ? x2 , y2 ? ,进而所求? k AD ? k AE ?

y1 y2 ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 4 x1x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1

线 DE 入手,设直线 DE : y ? 2 ? k ? x ? 1? ,与抛物线方程联立,利用韦达定理即可化简

k AD ? k AE ? 2
解:设 D ? x1, y1 ? , E ? x2 , y2 ?

? k AD ?

y1 ? 2 y ?2 , k AE ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

? k AD ? k AE ?

y1 ? 2 y2 ? 2 y1 y2 ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 4 ① ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1

设 P ? ?1, ?2? ,则 DE : y ? 2 ? k ? x ? 1?
2 ? ? y ? 4x 联立方程: ? ,消去 x 可得: ? ? y ? 2 ? k ? x ? 1?

ky 2 ? 4 y ? 4k ? 8 ? 0
? y1 ? y2 ? 4 4k ? 8 , y1 y2 ? k k

y ? y2 ? 4 ? 2k 4 ? 4k ? 2k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k k2
代入①可得:

x1 x2

?y y ? ? 1 2
16

2

?

k 2 ? 4k ? 4 k2

? k AD ? k AE

4k ? 8 4 ? 2? ? 4 k k ? 2 ?2 k ? 4k ? 4 4 ? 4k ? 2k 2 ? ?1 k2 k2

答案:C 例 8 :已知抛物线 C : y ? 4x 的焦点为 F ,过点 F 的直线 l 交抛物线于 M , N 两点,且
2

MF ? 2 NF ,则直线 l 的斜率为(
A.



? 2

B.

?2 2

C.

?

2 2

D.

?

2 4

思 路 一 : 从 点 的 坐 标 出 发 , 因 为 M , F , N 三 点 共 线 , 从 而 MF ? 2 NF 可 转 化 为

???? ???? MF ? ?2 NF , 考 虑 将 向 量 坐 标 化 , F ?1,0? , 设 M ? x , ? , ?N 2x 1, y 1

,有 ? 2y

???? ? ? ?? M F? ?1 ? 1x, ? 1 ,? ?,所以 y1 ? ?2 y2 ,设直线 l : x ? my ? 1 ,联立抛物 ?y , N F ?? 1 ?2 x 2 y
线方程消元后可得: y ? 4my ? 4 ? 0 ,利用韦达定理可得: ?
2

? y1 ? y2 ? 4m ,再结合 ? y1 y2 ? ?4

y1 ? ?2 y2 ,消去 y1 , y2 即可得 m ? ?

2 2 ,直线 l : x ? ? y ? 1 ,即可得到斜率为 ?2 2 4 4

思路二:从所给线段关系 MF ? 2 NF 恰好为焦半径出发,联系抛物线的定义,可考虑

M , N 向准线引垂线,垂足分别为 P, Q ,便可得到直角梯形 PMNQ ,由抛物线定义可知:

MP ? MF , NQ ? NF ,将所求斜率转化为直线的倾斜角,即为 ?PMF 。不妨设 M 在
第一象限。 考虑将角放入直角三角形, 从而可过 N 作 NT ? MP 于 T , 则a n t 因 为 M F? 2

NMT ?

TN TM



而 TM ? PM ? PT ? PM ? QN ? MF ? NF ? NF , 且 NF

M N?

MF ?

N3 ? F
TN TM

,利用勾股定理可得: TN ? NF

MN ? MT

2

2

? 2 2 NF ,

从而 tan NMT ?

? 2 2 ,即 k ? 2 2 ,当 M 在第四象限时,同理,可得 k ? ?2 2

综上所述: k ? ?2 2 答案:B 例 9: 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 设 A, B 2

是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行,

AF2 与 BF1 交于点 P , AF1 ? BF2 ?
率是( A. ) B.

2 3 ,则直线 AF1 的斜 3

3

2

C.

2 2

D.

1

思路:先设出直线 AF1 : x ? my ? 1, BF2 : x ? my ? 1 ,只需一个等量条件即可求出 m ,进 而求出斜率。 考虑与椭圆联立方程, 分别解出 A, B 的纵坐标, 然后利用弦长公式即可用 m 表 示 AF1 , BF2 : AF1 ?

2 ? m 2 ? 1? ? m m 2 ? 1 m2 ? 2

, BF2 ?

2 ? m 2 ? 1? ? m m 2 ? 1 m2 ? 2

,可将已

知等式转化为关于 m 的方程,从而解出 m ? 1 ,所以斜率为

1 ?1 m

解:由椭圆方程可得: F1 ? ?1,0? , F2 ?1,0? 设 AF1 : x ? my ? 1, BF2 : x ? my ? 1 , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,依图可知: y1 ? 0, y2 ? 0 联立 AF1 与椭圆方程可得:

? x2 ? 2 y2 ? 1 2 ? ? my ? 1? ? 2 y 2 ? 1 ,整理可得: ? ? x ? my ? 1

?m

2

? 2 ? y 2 ? 2my ? 1 ? 0

?y ?

2m ? 2 2 ? m2 ? 1? 2 ? m2 ? 2 ?
m ? 2 ? m 2 ? 1? m2 ? 2
2

?

m ? 2 ? m2 ? 1? m2 ? 2

? y1 ?

? AF1 ? 1 ? m y1 ? y F1 ? 1 ? m y1 ?
2

2 ? m 2 ? 1? ? m m 2 ? 1 m2 ? 2

同理可得:? BF2 ?

2 ? m 2 ? 1? ? m m 2 ? 1 m2 ? 2 2 ? m 2 ? 1? ? m m 2 ? 1 m ?2
2

2 3 ? AF1 ? BF2 ? ? 3


?

2 ? m 2 ? 1? ? m m 2 ? 1 m ?2
2

?

2 3 3

2m m 2 ? 1 2 2 ,解得: m ? 1 ? m2 ? 2 3
1 ?1 m

? 直线 AF1 的斜率 k ?
答案:D

小炼有话说: (1)在运用弦长公式计算 AF 1 , BF 2 时,抓住焦点的纵坐标为 0 的特点,使 用纵坐标计算线段长度更为简便,因此在直线的选择上,本题采用 x ? my ? b 的形式以便 于消去 x 得到关于 y 的方程 (2)直线方程 x ? my ? b ,当 m ? 0 时,可知斜率 k 与 m 的关系为: k ?

1 m

例 10:过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于 A, B, C, D 四 4 3

点,则

1 1 的值为( ? AB CD
B.



A.

1 8

1 6

C.

1

D.

7 12

思路:首先先考虑特殊情况,即 AB 斜率不存在。则 AB 为通径, AB ? 3 ; CD 为长轴, 所以 CD ? 4 ,从而

1 1 7 ? ? 。再考虑一般情况,所求 AB , CD 为焦点弦,所以 AB CD 12

考虑拆成两个焦半径的和,如设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 AB ? 2a ? e ? x1 ? x2 ? ,从而想 到联立直线与椭圆方程并使用韦达定理整体代入,同理 CD 也为焦半径。设 AB 的斜率为

k ,则 CD 的斜率为 ?


1 1 1 ,所以 AB , CD 均可用 k 进行表示,再求出 的值即 ? k AB CD

解:若 AB, CD 分别与坐标轴平行,不妨设 AB ? x 轴, 则 AB 为椭圆的通径,? AB ?

2b2 a



x2 y 2 ? ? 1 可得: a ? 2, b ? 3, c ? 1 4 3 2b2 3 ? 2? ? 3 a 2
? CD 为长轴长,即 CD ? 2a ? 4

? AB ?

因为 CD ? AB

?

1 1 7 ? ? AB CD 12
1 k

当 AB, CD 斜率均存在时,设 AB 斜率为 k ,由 CD ? AB 可得 CD 斜率为 ? 由椭圆方程可得: F ?1,0 ? 联立方程可得:

? 设 AB : y ? k ? x ? 1? , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?

? 2 ? y ? k ? x ? 1? 2 2 消去 y 可得: 3 x ? 4k ? x ? 1? ? 12 ,整理后为: ? 2 2 ? ?3 x ? 4 y ? 12

? 4k

2

? 3? x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0

? x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 3

? AB ? AF ? BF ? a ? ex1 ? a ? ex2 ? 2a ? e ? x1 ? x2 ?
?4? 1 1 8k 2 12k 2 ? 12 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ? 2 ? 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3
1 ? x ? 1? ,与椭圆联立方程: k

设 C ? x3 , y3 ? , D ? x4 , y4 ? , CD : y ? ?

1 ? 1 ? y ? ? ? x ? 1? ,则同理,求 CD 只需用 ? 替换 AB 中的 k 即可 k ? k ?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ?

? 1? 12 ? ? ? ? 12 12k 2 ? 12 k? ? ? CD ? ? 2 3k 2 ? 4 ? 1? 4? ? ? ? 3 ? k?

2

?

1 1 4k 2 ? 3 3k 2 ? 4 7k 2 ? 7 7 ? ? ? ? ? 2 2 2 AB CD 12k ? 12 12k ? 12 12k ? 12 12
1 1 7 ? ? AB CD 12

综上所述:

答案:D 小炼有话说: (1)本题的亮点在于处理 CD ,因为发现 CD 与 AB 的直线方程结构基本相 同(只有斜率不同) ,并且用的是相同的步骤(联立方程,消元,韦达定理,代入焦半径公 式) ,所以在解决 CD 的问题时就可参照 AB 的结果,进行对应字母的替换,即可得到答 案。所以在处理两条直线与同一曲线的问题时,可观察两直线处理过程的异同,进而简化运 算步骤 (2)本题是选择题,通过题意可发现尽管过焦点相互垂直的直线有无数多对,但从选项中 暗示结果是个常数,所以就可以利用特殊情况(通径与长轴长)求出结果,从而选择正确的 选项


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