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1.1.1 正弦定理(一) 学案(人教A版必修5)


七台河市实验高级中学

高中数学◆必修五◆导学案

编写:韩琳琳

使用时间:2016 年





第一章 § 1.1.1
★知识梳理

解三角形

【知识点二】 已知两边及其中一边的对角解三角形 例 2

在△ABC 中,a=2 3,b=6,A=30° ,解三角形.

正弦定理(一)

1.一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的________.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做________________. 2.在 Rt△ABC 中,C=90° ,则有: (1) A+B=________,0° <A<90° ,0° <B<90° ; (2) a2+b2=________(勾股定理); (3) sin A=____________,cos A=____________,tan A=__________,sin B=________, cos B=________,tan B=________; a b c (4) =________, =________, =________. sin A sin B sin C 3.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即____________,这个比 值是________________________. 总结 已知三角形两边和其中一边的对角,解三角形时,首先求出另一边的对角的正弦值,

根据该正弦值求角时,需对角的情况加以讨论. 变式训练 2 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 A=60° ,a= 3,b=1, 则 c 等于( A.1 ) B .2 C. 3-1 D. 3

【知识点三】 已知两边及其中一边的对角,判断三角形解的个数 例 3 不解三角形,判断下列三角形解的个数.

★对点讲练
【知识点一】 已知两角和一边解三角形 例 1 在△ABC 中,a=5,B=45° ,C=105° ,解三角形. (1)a=5,b=4,A=120° ; (2)a=9,b=10,A=60° ; (3)c=50,b=72,C=135° .

总结 总结 已知一个三角形的三边和三内角这六个量中的三个量,其中至少有一个是边,可以求解 其余的三个量. 变式训练 1 在△ABC 中,已知 a=2 2,A=30° ,B=45° ,解三角形.

已知三角形的两边及其中一边的对角,此类问题可能出现一解、两解或无解的情况,具

体判断方法是:可用三角形中大边对大角定理,也可作图判断. 变式训练 3 不解三角形,判断下列三角形解的个数. (1)a=7,b=14,A=30° ; (2)a=30,b=25,A=150° ; (3)a=7,b=9,A=45° .

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★课时作业
一、选择题 1.在△ABC 中,下列等式中总能成立的是( A.asin A=bsin B C.absin C=bcsin B )

9.在△ABC 中,若 a=2 3,A=30° ,讨论当 b 为何值时(或在什么范围内),三角形有一解, 有两解或无解?

B.bsin C=csin A D.asin C=csin A )

2.在△ABC 中,已知 a=18,b=16,A=150° ,则这个三角形解的情况是( A.有两个解 C.无解 B.有一个解 D.不能确定 )

3.在△ABC 中,已知 a=8,B=60° ,C=75° ,则 b 等于( A.4 2 B .4 3 C .4 6 32 D. 3

4.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,如果 c= 3a,B=30° ,那么角 C 等 于( ) A.120° B.105° C.90° D.75° ) a 10.在锐角三角形 ABC 中,A=2B,a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,求 的取值范围. b

5.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( A.b=10,A=45° ,C=70° C.a=7,b=8,A=98° 二、填空题

B.a=30,b=25,A=150° D.a=14,b=16,A=45°

6.在△ABC 中,AC= 6,BC=2,∠B=60° ,则 C=________. 7. 在△ABC 中, 已知 a、 b、 c 分别为内角 A、 B、 C 的对边, 若 b=2a, B=A+60° , 则 A=__________. 8.在△ABC 中,a=x,b=2,B=45° ,若三角形有两解,则 x 的取值范围是______________.

三、解答题

答案详解

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第一章 解三角形 § 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理(一)
知识梳理 1.元素 解三角形 a b a b a b 2.90° (2)c2 (3) (4)c c c c c b c c a a b c 3. = = 三角形外接圆的直径 2R sin A sin B sin C 自主探究 证明 (1)若△ABC 为直角三角形,不妨设 C 为直角. a b 如图所示,根据正弦函数的定义, =sin A, =sin B, c c a b 所以 = =c=2R(2R 为外接圆直径). sin A sin B c ∵C=90° ,∴sin C=1, =c=2R. sin C a b c ∴ = = =2R. sin A sin B sin C → (2)若△ABC 为锐角三角形,过 A 点作单位向量 i⊥AC,则有: → → → → → i· AB=i· (CB-CA)=i· CB-i· CA, → → ∵i⊥AC,∴i· CA=0, → → ∴i· AB=i· CB,即 ccos(90° -A)=acos(90° -C), a c ∴csin A=asin C,∴ = . sin A sin C a b b c 同理可证: = ; = . sin A sin B sin B sin C a b c ∴ = = . sin A sin B sin C (3)若△ABC 为钝角三角形,可仿(2)证明. a b c 综上, = = . sin A sin B sin C 对点讲练 例 1 解 由三角形内角和定理知 A+B+C=180° , 所以 A=180° -(B+C)=180° -(45° +105° )=30° . a b c 由正弦定理 = = , sin A sin B sin C sin B sin 45° 得 b=a· =5· =5 2; sin A sin 30° +45° ? sin C sin 105° sin ?60° c=a· =5· =5· sin A sin 30° sin 30° sin 60° cos 45° +cos 60° sin 45° 5 =5· = ( 6+ 2). sin 30° 2

a b c 变式训练 1 解 ∵ = = , sin A sin B sin C 2 2 2× 2 asin B 2 2sin 45° ∴b= = = =4. sin A sin 30° 1 2 ∵C=180° -(A+B)=180° -(30° +45° )=105° , asin C 2 2sin 105° 2 2sin 75° ∴c= = = =2+2 3. sin A sin 30° 1 2 例 2 解 a=2 3,b=6,a<b,A=30° <90° . 又因为 bsin A=6sin 30° =3,a>bsin A, 所以本题有两解,由正弦定理得: bsin A 6sin 30° 3 sin B= = = ,故 B=60° 或 120° . a 2 2 3 当 B=60° 时,C=90° ,c= a2+b2=4 3; 当 B=120° 时,C=30° ,c=a=2 3. 所以 B=60° ,C=90° ,c=4 3或 B=120° , C=30° ,c=2 3. a b 变式训练 2 B [由正弦定理 = , sin A sin B 3 1 可得 = , sin 60° sin B 1 ∴sin B= ,故∠B=30° 或 150° .由 a>b, 2 得∠A>∠B,∴∠B=30° ,故∠C=90° , 由勾股定理得 c=2.] b 4 3 3 例 3 解 (1)sin B= sin 120° = × < , a 5 2 2 所以三角形有一解. b 10 3 5 3 3 5 3 (2)sin B= sin 60° = × = ,而 < <1, a 9 2 9 2 9 所以当 B 为锐角时, 5 3 满足 sin B= 的角有 60° <B<90° , 9 故对应的钝角 B 有 90° <B<120° , 也满足 A+B<180° ,故三角形有两解. bsin C 72 2 (3)sin B= = sin C>sin C= , c 50 2 所以 B>45° ,所以 B+C>180° ,故三角形无解. 变式训练 3 解 (1)A=30° ,a=bsin A,故三角形有一解. (2)A=150° >90° ,a=30>b=25,故三角形有一解. (3)A=45° ,bsin 45° <a<b,故三角形有两解. 课时作业 1.D [由余弦定理知 D 正确.]

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2.B [因为 a>b,A 为钝角,所有只有一个解.] 3.C asin B [方法一 根据三角形内角和定理,A=180° -(B+C)=45° .根据正弦定理,b= = sin A 8sin 60° =4 6. sin 45°

故所求的范围是( 2, 3).

方法二 如图,过点 C 作 CD⊥AB,由条件可知 A=45° , 而由 CD=asin 60° =bsin 45° ,得 b=4 6.] 4.A [∵c= 3a,∴sin C= 3sin A= 3sin(180° -30° -C) 3 1 ? ? = 3sin(30° +C)= 3 , ? 2 sin C+2cos C? 即 sin C=- 3cos C.∴tan C=- 3. 又 C∈(0,π),∴C=120° .] 5.D [对于 A,由三角形的正弦定理知其只有一解;对于 B,∵a>b,即 A>B,且 A=150° , ∴只有一解;对于 C,a<b,即 A<B,且 A=98° ,∴无解.] 6.75° 2 6 2 解析 由正弦定理 = ,∴sin A= . sin A sin 60° 2 ∵BC=2<AC= 6,∴A 为锐角,∴A=45° .∴C=75° . 7.30° 解析 b=2a?sin B=2sin A, 又∵B=A+60° ,∴sin(A+60° )=2sin A, 即 sin Acos 60° +cos Asin 60° =2sin A, 3 3 化简得 sin A= cos A,∴tan A= ,∴A=30° . 3 3 8.2<x<2 2 解析 因三角形有两解,所以 asin B<b<a, 2 即 x<2<x,∴2<x<2 2. 2 9.解 当 a<bsin 30° ,即 b>2a,b>4 3时,无解; 当 a≥b 或 a=bsin A, 即 b≤2 3或 b=4 3时,有一解; 当 bsin A<a<b,即 2 3<b<4 3时,有两解. 10.解 在锐角三角形 ABC 中,A、B、C<90° , B<90° , ? ? , 即?2B<90° ? -3B<90° , ?180° ∴30° <B<45° .

由正弦定理知: a sin A sin 2B = = =2cos B∈( 2, 3), b sin B sin B


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